15. 学科特色多解法「2026陕西渭南潼关月考，★★☆」如图,在平面直角坐标系中,点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象上,$AC⊥x$轴于点C,延长AC交反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＜0)$的图象于点B,点D为OC的中点,连接AD,BD,若$△ ABD$的面积为4,则k的值为.

15.答案 -12
解析 【解法一】设点坐标法:设点 A 的坐标为$(a,\frac{k}{a})(a＜0,k＜0)$,则点 B 的坐标为$(a,\frac{4}{a})$,易知$OC=-a$,$AB=AC+BC= \left|\frac{k}{a}\right| + \left|\frac{4}{a}\right| = \frac{k}{a} - \frac{4}{a} = \frac{k-4}{a}$,
∵ 点 D 为 OC 的中点,
∴ $CD=OD=\frac{1}{2}OC=-\frac{1}{2}a$,
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2}AB · CD = \frac{1}{2}×\frac{k-4}{a}×(-\frac{1}{2}a)=\frac{k-4}{-4}=4$,解得$k=-12$.
【解法二】k 的几何意义法:如图,连接 AO,BO,由反比例函数的比例系数 k 的几何意义得$S_{△AOC}=\frac{|k|}{2}$,$S_{△BOC}=\frac{1}{2}×4=2$.
∵ 点 D 为 OC 的中点,
∴ $S_{△ACD}=\frac{|k|}{4}$,$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×2 = 1$.
∵ $△ABD$ 的面积为 4,
∴ $S_{△ABD}=S_{△ACD}+S_{△BCD}=\frac{|k|}{4}+1=4$,
∴ $|k|=12$,
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象在第二象限,
∴ $k＜0$,
∴ $k=-12$.

16.「2026辽宁大连庄河期末，★★☆」某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑OA，雕塑从A点向四周喷水，喷出的水柱形状相同且为抛物线.如图，以水平方向为x轴，点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，第一象限内水柱所在抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2 +5$，则CD的长为m.

16.答案 18
解析 将$y=0$代入$y=-\frac{1}{5}(x-4)^2 +5$,得$0=-\frac{1}{5}(x-4)^2 +5$,解得$x_1=9$,$x_2=-1$(舍去),
∴ $D(9,0)$,
∴ $OD=9$ m,
∵ 喷出的水柱形状相同,
∴ $OC=OD=9$ m,
∴ $CD=OC+OD=9+9=18( m )$.

17.「2026江苏连云港期末，★★☆」如图，D是△ABC的内心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，若∠BCA=50°，则∠BDE=°。

17.答案 65
解析
∵ D 是$△ABC$的内心,
∴ AD 平分$∠BAC$,BD 平分$∠ABC$,
∴ $∠BAD=\frac{1}{2}∠BAC$,$∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC$,
∵ $∠BCA=50°$,
∴ 在$△ABC$中,$∠BAC+∠ABC=180°-50°=130°$,
∴ $∠BDE=∠BAD+∠ABD=\frac{1}{2}(∠BAC+∠ABC)=65°$.

18.「2026四川凉山州期末，★★☆」如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC=6$,以点$C$为圆心,2为半径作$\odot C$,过$AB$上的动点$P$作$\odot C$的切线$PD$,$PE$,过劣弧$DE$上一点$Q$作$\odot C$的另一条切线,分别交$PD$,$PE$于点$M$,$N$,则$△ PMN$周长的最小值为。

18.答案 $2\sqrt{14}$
解析
∵ PD,PE,MN 是$\odot C$的切线,
∴ $PD=PE$,$MD=MQ$,$NQ=NE$,
∴ $△PMN$ 的周长$=PM+MQ+NQ+PN=PM+MD+NE+PN=PD+PE=2PE$.连接 PC,CE,如图,由切线的性质得$∠CEP=90°$,
∵ $\odot C$ 的半径不变,
∴ PE 的长随着 PC 长的变化而变化,
∴ 当 PC 的长最小时,PE 的长最小,此时$△PMN$ 的周长最小.当$PC ⊥ AB$时,PC 的长最小,在$Rt△ABC$中,$∠ACB=90°$,$AC=BC=6$,由三线合一得点 P 是 AB 的中点,由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$,
∴ $PC=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$.在$Rt△PCE$中, 由 勾 股 定 理 得 $PE = \sqrt{PC^2-CE^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2-2^2} = \sqrt{14}$,
∴ $△PMN$ 周长的最小值为$2\sqrt{14}$.