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5. 如图，圭表是度量日影长度的一种天文仪器，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上，刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长，$\frac{表高}{影长} \approx \frac{1}{2}$；夏至日影最短，$\frac{表高}{影长} \approx 3$.若圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4 m，则表高为 （
A.2.1 m
B.2.4 m
C.5.6 m
D.5.8 m
B
）A.2.1 m
B.2.4 m
C.5.6 m
D.5.8 m
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先明确未知量为表高，我们可以设表高为未知数，再根据题干给出的冬至、夏至时表高和影长的比例关系，分别用表高表示出冬至、夏至对应的影长；结合“圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m”，可知冬至影长减去夏至影长等于4m，据此列方程求解即可得到表高。
【解析】
设表高为$ h \, \mathrm{m} $。
根据题意：
冬至时，$\frac{表高}{影长} \approx \frac{1}{2}$，因此冬至影长$ L_{\mathrm{冬}} \approx 2h \, \mathrm{m} $；
夏至时，$\frac{表高}{影长} \approx 3$，因此夏至影长$ L_{\mathrm{夏}} \approx \frac{h}{3} \, \mathrm{m} $。
已知冬至线与夏至线的距离为4m，即冬至影长与夏至影长的差为4m，可得方程：
$ 2h - \frac{h}{3} = 4 $
合并同类项得：$ \frac{5h}{3} = 4 $
解得：$ h = \frac{12}{5} = 2.4 $
因此表高为2.4m，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行投影，比例的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合我国古代天文仪器圭表的工作原理，考查数学知识在实际场景中的应用，解题关键是从题干中提取正确的比例关系和等量关系，建立方程求解，能够培养学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确未知量为表高，我们可以设表高为未知数，再根据题干给出的冬至、夏至时表高和影长的比例关系，分别用表高表示出冬至、夏至对应的影长；结合“圭面上冬至线与夏至线之间的距离为4m”，可知冬至影长减去夏至影长等于4m，据此列方程求解即可得到表高。
【解析】
设表高为$ h \, \mathrm{m} $。
根据题意：
冬至时，$\frac{表高}{影长} \approx \frac{1}{2}$，因此冬至影长$ L_{\mathrm{冬}} \approx 2h \, \mathrm{m} $；
夏至时，$\frac{表高}{影长} \approx 3$，因此夏至影长$ L_{\mathrm{夏}} \approx \frac{h}{3} \, \mathrm{m} $。
已知冬至线与夏至线的距离为4m，即冬至影长与夏至影长的差为4m，可得方程：
$ 2h - \frac{h}{3} = 4 $
合并同类项得：$ \frac{5h}{3} = 4 $
解得：$ h = \frac{12}{5} = 2.4 $
因此表高为2.4m，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行投影，比例的应用，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合我国古代天文仪器圭表的工作原理，考查数学知识在实际场景中的应用，解题关键是从题干中提取正确的比例关系和等量关系，建立方程求解，能够培养学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
6如图，一块含$30°$角的直角三角形木板$ABC$，将它的直角顶点$C$放置于直线$l$上，点$A$、$B$在直线$l$上的正投影分别是点$P$、点$Q$，若$AB=20$，$BQ=6\sqrt{3}$，则$AB$在直线$l$上的投影的长是（
A.$10\sqrt{3}$
B.$8\sqrt{3}$
C.$6+8\sqrt{3}$
D.$8+8\sqrt{3}$
C
）A.$10\sqrt{3}$
B.$8\sqrt{3}$
C.$6+8\sqrt{3}$
D.$8+8\sqrt{3}$
答案
6.C 解析:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ABC=30°$,$AB=20$,
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=10$,$BC=AB· \cos 30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△ CBQ$中,
$CQ=\sqrt{CB^2-BQ^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(6\sqrt{3})^2}=8\sqrt{3}$.
$\because ∠ CAP+∠ ACP=90°$,$∠ BCQ+∠ ACP=90°$,
$\therefore ∠ CAP=∠ BCQ$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ACP∽\mathrm{Rt}△ CBQ$,
$\therefore \frac{CP}{BQ}=\frac{AC}{BC}$,$\therefore CP=\frac{AC· BQ}{BC}=\frac{10×6\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}=6$.
$\therefore PQ=CP+CQ=6+8\sqrt{3}$,
即$AB$在直线$l$上的投影的长是$6+8\sqrt{3}$. 故选C.
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=10$,$BC=AB· \cos 30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. 在$\mathrm{Rt}△ CBQ$中,
$CQ=\sqrt{CB^2-BQ^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(6\sqrt{3})^2}=8\sqrt{3}$.
$\because ∠ CAP+∠ ACP=90°$,$∠ BCQ+∠ ACP=90°$,
$\therefore ∠ CAP=∠ BCQ$,$\therefore \mathrm{Rt}△ ACP∽\mathrm{Rt}△ CBQ$,
$\therefore \frac{CP}{BQ}=\frac{AC}{BC}$,$\therefore CP=\frac{AC· BQ}{BC}=\frac{10×6\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}=6$.
$\therefore PQ=CP+CQ=6+8\sqrt{3}$,
即$AB$在直线$l$上的投影的长是$6+8\sqrt{3}$. 故选C.
解析
【分析】
解题首先从含30°角的Rt△ABC入手，利用30°角直角三角形的边长关系求出AC、BC的长度；接着在Rt△CBQ中，用勾股定理算出CQ的长；再根据同角的余角相等证明△ACP与△CBQ相似，借助相似三角形对应边成比例求出CP的长度；最后AB在直线l上的投影为PQ，将CP与CQ相加即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=30°$，$AB=20$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=10$，$BC=AB· \cos 30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ CBQ$中，由勾股定理得：
$CQ=\sqrt{CB^2-BQ^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$。
$\because AP⊥ l$，$BQ⊥ l$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ APC=∠ CQB=90°$，
又$\because ∠ CAP+∠ ACP=90°$，$∠ BCQ+∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAP=∠ BCQ$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACP∽\mathrm{Rt}△ CBQ$，
$\therefore \frac{CP}{BQ}=\frac{AC}{BC}$，
代入数值得：$CP=\frac{AC· BQ}{BC}=\frac{10×6\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}=6$。
$\therefore PQ=CP+CQ=6+8\sqrt{3}$，即$AB$在直线$l$上的投影长为$6+8\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、相似三角形及投影的相关知识，解题关键是通过角的互余关系证明三角形相似，结合勾股定理分别求出两段投影的长度，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题首先从含30°角的Rt△ABC入手，利用30°角直角三角形的边长关系求出AC、BC的长度；接着在Rt△CBQ中，用勾股定理算出CQ的长；再根据同角的余角相等证明△ACP与△CBQ相似，借助相似三角形对应边成比例求出CP的长度；最后AB在直线l上的投影为PQ，将CP与CQ相加即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ABC=30°$，$AB=20$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=10$，$BC=AB· \cos 30°=20×\frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ CBQ$中，由勾股定理得：
$CQ=\sqrt{CB^2-BQ^2}=\sqrt{(10\sqrt{3})^2-(6\sqrt{3})^2}=\sqrt{192}=8\sqrt{3}$。
$\because AP⊥ l$，$BQ⊥ l$，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ APC=∠ CQB=90°$，
又$\because ∠ CAP+∠ ACP=90°$，$∠ BCQ+∠ ACP=90°$，
$\therefore ∠ CAP=∠ BCQ$，
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACP∽\mathrm{Rt}△ CBQ$，
$\therefore \frac{CP}{BQ}=\frac{AC}{BC}$，
代入数值得：$CP=\frac{AC· BQ}{BC}=\frac{10×6\sqrt{3}}{10\sqrt{3}}=6$。
$\therefore PQ=CP+CQ=6+8\sqrt{3}$，即$AB$在直线$l$上的投影长为$6+8\sqrt{3}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
含30°角的直角三角形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、相似三角形及投影的相关知识，解题关键是通过角的互余关系证明三角形相似，结合勾股定理分别求出两段投影的长度，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
7.如图,在A时测得某树的影长为4 m,在B时又测得该树的影长为16 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为
8 m
.答案
7.8 m
解析
【分析】
解题时先将实际投影问题转化为几何模型：树与地面垂直，两次日照光线互相垂直，可得到两个有公共锐角的直角三角形，证明这两个三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可建立树高与两次影长的关系，代入数值计算即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树底部与地面的交点为$ D $，树顶为$ C $，A时影长$ AD=4\,\mathrm{m} $，B时影长$ BD=16\,\mathrm{m} $。
由题意得：$ CD⊥ $地面，即$ ∠ ADC=∠ CDB=90° $，两次日照光线互相垂直，即$ ∠ ACB=90° $。
因为$ ∠ A+∠ ACD=90° $，$ ∠ ACD+∠ BCD=90° $，所以$ ∠ A=∠ BCD $。
因此$ △ ACD ∽ △ CBD $（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得$ \frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD} $，即$ CD^2=AD· BD $。
代入数值：$ h^2=4×16=64 $，结合$ h＞0 $，解得$ h=8 \, \mathrm{m} $。
【答案】
8 m
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行投影
【点评】
本题是投影类实际应用问题，解题的关键是将实际场景转化为几何相似模型，准确识别出相似三角形后即可利用相似性质求解，题目难度不大，侧重对学生模型转化能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先将实际投影问题转化为几何模型：树与地面垂直，两次日照光线互相垂直，可得到两个有公共锐角的直角三角形，证明这两个三角形相似后，利用相似三角形对应边成比例的性质，即可建立树高与两次影长的关系，代入数值计算即可得到树高。
【解析】
设树的高度为$ h \, \mathrm{m} $，记树底部与地面的交点为$ D $，树顶为$ C $，A时影长$ AD=4\,\mathrm{m} $，B时影长$ BD=16\,\mathrm{m} $。
由题意得：$ CD⊥ $地面，即$ ∠ ADC=∠ CDB=90° $，两次日照光线互相垂直，即$ ∠ ACB=90° $。
因为$ ∠ A+∠ ACD=90° $，$ ∠ ACD+∠ BCD=90° $，所以$ ∠ A=∠ BCD $。
因此$ △ ACD ∽ △ CBD $（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得$ \frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD} $，即$ CD^2=AD· BD $。
代入数值：$ h^2=4×16=64 $，结合$ h＞0 $，解得$ h=8 \, \mathrm{m} $。
【答案】
8 m
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行投影
【点评】
本题是投影类实际应用问题，解题的关键是将实际场景转化为几何相似模型，准确识别出相似三角形后即可利用相似性质求解，题目难度不大，侧重对学生模型转化能力的考查。
【难度系数】
0.7
8甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍.当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子(太阳光照射)刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子(太阳光照射)刚好在对角线BD上，则CE的长为
8 m
.答案
8.8 m 解析:如图,连接EF.
由题意知$EF// BD$,
$\therefore △ CEF∽△ CDB$,
$\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{CF}{CB}$.
$\because$两人同时从点B出发,沿着平行四边形边缘顺时针跑步,且甲的速度是乙的速度的2倍,
$\therefore BC+CE=2BF=40+CE$,
$\therefore BF=\frac{1}{2}(40+CE)=20+\frac{1}{2}CE$,
$\therefore CF=BC-BF=40-20-\frac{1}{2}CE=20-\frac{1}{2}CE$,
$\therefore \frac{CE}{20}=\frac{20-\frac{1}{2}CE}{40}$,$\therefore CE=8\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
首先，太阳光属于平行光线，结合“甲、乙的影子在同一直线，点B处杆子的影子在对角线BD上”的条件，可推出$EF// BD$，进而得到$△ CEF$与$△ CDB$相似。其次根据甲乙的速度关系：相同时间内甲的路程是乙的2倍，设CE的长度为未知数，分别表示出CF、CB、CD的长度，代入相似三角形对应边成比例的关系式，解方程即可求出CE的长度。
【解析】
如图，连接EF。
由题意知太阳光线为平行光线，因此$EF// BD$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CDB$，根据相似三角形的性质可得$\frac{CE}{CD}=\frac{CF}{CB}$。
已知平行四边形中$CD=20\mathrm{m}$，$BC=AD=40\mathrm{m}$，两人同时从B点出发，甲的速度是乙的2倍，相同时间内甲的路程是乙的2倍，甲跑的路程为$BC+CE$，乙跑的路程为$BF$，因此：
$BC+CE=2BF$，即$40+CE=2BF$，
变形得$BF=\frac{1}{2}(40+CE)=20+\frac{1}{2}CE$，
则$CF=BC-BF=40-(20+\frac{1}{2}CE)=20-\frac{1}{2}CE$，
将各线段长度代入比例式：$\frac{CE}{20}=\frac{20-\frac{1}{2}CE}{40}$，
解方程：两边同乘40得$2CE=20-\frac{1}{2}CE$，
移项合并得$\frac{5}{2}CE=20$，解得$CE=8\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题将生活中的投影问题与几何、行程知识结合，需要先将实际问题转化为数学中的相似三角形模型，再结合行程的路程速度关系列方程求解，考查了知识综合运用能力和数学建模思想。
【难度系数】
0.6
首先，太阳光属于平行光线，结合“甲、乙的影子在同一直线，点B处杆子的影子在对角线BD上”的条件，可推出$EF// BD$，进而得到$△ CEF$与$△ CDB$相似。其次根据甲乙的速度关系：相同时间内甲的路程是乙的2倍，设CE的长度为未知数，分别表示出CF、CB、CD的长度，代入相似三角形对应边成比例的关系式，解方程即可求出CE的长度。
【解析】
如图，连接EF。
由题意知太阳光线为平行光线，因此$EF// BD$，
$\therefore △ CEF ∽ △ CDB$，根据相似三角形的性质可得$\frac{CE}{CD}=\frac{CF}{CB}$。
已知平行四边形中$CD=20\mathrm{m}$，$BC=AD=40\mathrm{m}$，两人同时从B点出发，甲的速度是乙的2倍，相同时间内甲的路程是乙的2倍，甲跑的路程为$BC+CE$，乙跑的路程为$BF$，因此：
$BC+CE=2BF$，即$40+CE=2BF$，
变形得$BF=\frac{1}{2}(40+CE)=20+\frac{1}{2}CE$，
则$CF=BC-BF=40-(20+\frac{1}{2}CE)=20-\frac{1}{2}CE$，
将各线段长度代入比例式：$\frac{CE}{20}=\frac{20-\frac{1}{2}CE}{40}$，
解方程：两边同乘40得$2CE=20-\frac{1}{2}CE$，
移项合并得$\frac{5}{2}CE=20$，解得$CE=8\mathrm{m}$。
【答案】
$\boldsymbol{8\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1. 平行投影的性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题将生活中的投影问题与几何、行程知识结合，需要先将实际问题转化为数学中的相似三角形模型，再结合行程的路程速度关系列方程求解，考查了知识综合运用能力和数学建模思想。
【难度系数】
0.6
9. 如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的投影为$A_1B_1C_1D_1$，其中边AB、CD与投影面平行，AD、BC与投影面不平行，若正方形ABCD的边长为4厘米，$∠ BCC_1 = 45°$，求投影$A_1B_1C_1D_1$的面积.
答案
9.解:如图,过点B作$BH⊥ CC_1$于点H.
$\because ∠ BCC_1=45°$,
$\therefore BH=\sin 45° · BC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$(厘米).
$\because$正方形纸板ABCD在投影面$α$上的投影为$A_1B_1C_1D_1$,
$\therefore B_1C_1=BH=2\sqrt{2}$厘米,$C_1D_1=CD=4$厘米,
$\therefore$四边形$A_1B_1C_1D_1$的面积$=2\sqrt{2}×4=8\sqrt{2}$(平方厘米).
解析
【分析】
要解决该题，需结合平行投影的性质分步思考：首先明确平行投影中，与投影面平行的线段，其投影长度和原线段长度相等，因此可直接得到投影的一边$C_1D_1$等于正方形边长4厘米；其次求倾斜边$BC$的投影长度，已知$∠BCC_1=45°$，可通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出$BC$在垂直于$CD$方向的投影长度，也就是投影矩形的另一条邻边长度；最后用矩形面积公式即可算出投影的面积。
【解析】
解：如图,过点B作$BH⊥ CC_1$于点H。
$\because ∠ BCC_1=45°$,
$\therefore BH=\sin 45° · BC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$(厘米)。
$\because$正方形纸板ABCD在投影面$α$上的投影为$A_1B_1C_1D_1$,
$\therefore B_1C_1=BH=2\sqrt{2}$厘米,$C_1D_1=CD=4$厘米,
$\therefore$四边形$A_1B_1C_1D_1$的面积$=2\sqrt{2}×4=8\sqrt{2}$(平方厘米)。
【答案】
投影$A_1B_1C_1D_1$的面积为$8\sqrt{2}$平方厘米。
【知识点】
平行投影的性质，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题是平行投影与三角函数结合的基础应用题，解题核心是找准倾斜边的投影长度，将未知的投影面积问题转化为熟悉的矩形面积计算问题，能够帮助学生巩固平行投影的相关性质。
【难度系数】
0.7
要解决该题，需结合平行投影的性质分步思考：首先明确平行投影中，与投影面平行的线段，其投影长度和原线段长度相等，因此可直接得到投影的一边$C_1D_1$等于正方形边长4厘米；其次求倾斜边$BC$的投影长度，已知$∠BCC_1=45°$，可通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出$BC$在垂直于$CD$方向的投影长度，也就是投影矩形的另一条邻边长度；最后用矩形面积公式即可算出投影的面积。
【解析】
解：如图,过点B作$BH⊥ CC_1$于点H。
$\because ∠ BCC_1=45°$,
$\therefore BH=\sin 45° · BC=\frac{\sqrt{2}}{2}×4=2\sqrt{2}$(厘米)。
$\because$正方形纸板ABCD在投影面$α$上的投影为$A_1B_1C_1D_1$,
$\therefore B_1C_1=BH=2\sqrt{2}$厘米,$C_1D_1=CD=4$厘米,
$\therefore$四边形$A_1B_1C_1D_1$的面积$=2\sqrt{2}×4=8\sqrt{2}$(平方厘米)。
【答案】
投影$A_1B_1C_1D_1$的面积为$8\sqrt{2}$平方厘米。
【知识点】
平行投影的性质，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题是平行投影与三角函数结合的基础应用题，解题核心是找准倾斜边的投影长度，将未知的投影面积问题转化为熟悉的矩形面积计算问题，能够帮助学生巩固平行投影的相关性质。
【难度系数】
0.7
