登录
1.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为$B'$,AB'与DC相交于点E,则下列结论一定正确的是(
A.$∠ DAB'=∠ CAB'$
B.$∠ ACD=∠ B'CD$
C.$AE=CE$
D.$AD=AE$
C
).A.$∠ DAB'=∠ CAB'$
B.$∠ ACD=∠ B'CD$
C.$AE=CE$
D.$AD=AE$
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先结合折叠的性质和长方形的性质推导角的关系，再利用等腰三角形的判定定理判断边的关系，最后逐一排除错误选项即可。首先，折叠前后对应角相等，可得∠BAC=∠B'AC；再根据长方形对边平行的性质，AB//DC，可得内错角∠BAC=∠DCA，由此推出∠B'AC=∠DCA，根据等角对等边即可得到对应边相等，再验证其他选项是否成立即可。
【解析】
解：
∵ 长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为$B'$
∴ $∠ BAC = ∠ B'AC$（折叠前后对应角相等）
∵ 四边形ABCD是长方形
∴ $AB// DC$
∴ $∠ BAC = ∠ DCA$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ B'AC = ∠ DCA$，即$∠ EAC = ∠ ECA$
∴ $AE = CE$（等角对等边），故C选项正确。
对其余选项分析：
A选项：无已知条件证明AC平分$∠ DAB'$，$∠ DAB'=∠ CAB'$不一定成立，A错误；
B选项：折叠可得$∠ ACB=∠ ACB'$，无法推出$∠ ACD=∠ B'CD$，B错误；
D选项：在$Rt△ ADE$中，AE是斜边，AD是直角边，故$AD＜AE$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是折叠类基础题，将图形折叠的性质、矩形的性质与等腰三角形的判定结合考查，解题的关键是通过折叠和平行线的性质得到相等的角，进而推导边的关系，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合折叠的性质和长方形的性质推导角的关系，再利用等腰三角形的判定定理判断边的关系，最后逐一排除错误选项即可。首先，折叠前后对应角相等，可得∠BAC=∠B'AC；再根据长方形对边平行的性质，AB//DC，可得内错角∠BAC=∠DCA，由此推出∠B'AC=∠DCA，根据等角对等边即可得到对应边相等，再验证其他选项是否成立即可。
【解析】
解：
∵ 长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为$B'$
∴ $∠ BAC = ∠ B'AC$（折叠前后对应角相等）
∵ 四边形ABCD是长方形
∴ $AB// DC$
∴ $∠ BAC = ∠ DCA$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ B'AC = ∠ DCA$，即$∠ EAC = ∠ ECA$
∴ $AE = CE$（等角对等边），故C选项正确。
对其余选项分析：
A选项：无已知条件证明AC平分$∠ DAB'$，$∠ DAB'=∠ CAB'$不一定成立，A错误；
B选项：折叠可得$∠ ACB=∠ ACB'$，无法推出$∠ ACD=∠ B'CD$，B错误；
D选项：在$Rt△ ADE$中，AE是斜边，AD是直角边，故$AD＜AE$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是折叠类基础题，将图形折叠的性质、矩形的性质与等腰三角形的判定结合考查，解题的关键是通过折叠和平行线的性质得到相等的角，进而推导边的关系，是几何部分的常见考法。
【难度系数】
0.7
2.(2022,泰安,5)如图，$l_1 // l_2$，点A在直线$l_1$上，点B在直线$l_2$上，$AB=BC$，$∠ C=25°$，$∠ 1=60°$，则$∠ 2$的度数是(
A.$70°$
B.$65°$
C.$60°$
D.$55°$
A
).A.$70°$
B.$65°$
C.$60°$
D.$55°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知条件AB=BC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠BAC的度数；再结合三角形内角和定理求出△ABC的顶角∠ABC的度数；然后利用l₁//l₂的平行线性质，得到与∠1相等的内错角；最后根据角的和差关系即可求出∠2的度数。
思考步骤：①看到等腰三角形边相等的条件，优先推导对应相等的底角；②利用三角形内角和求出等腰三角形顶角的度数；③结合平行线性质找到已知角∠1对应的等角，建立和未知角∠2的数量关系求解。
【解析】
解：
∵ $AB=BC$，$∠ C=25°$，
∴ $∠ BAC=∠ C=25°$（等腰三角形等边对等角）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180°-∠ C-∠ BAC=180°-25°-25°=130°$。
∵ $l_1// l_2$，AB是两平行线的截线，$∠ 1=60°$，
∴ AB与$l_2$的夹角（和$∠ 1$为内错角）$=∠ 1=60°$（两直线平行，内错角相等）。
由图中角的位置关系可得：$∠ ABC=∠ 2+60°$，
∴ $∠ 2=130°-60°=70°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查等腰三角形与平行线性质的结合应用，解题时需要准确识别图中角的位置关系，逐步推导即可，整体计算量小。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据已知条件AB=BC，利用等腰三角形“等边对等角”的性质求出∠BAC的度数；再结合三角形内角和定理求出△ABC的顶角∠ABC的度数；然后利用l₁//l₂的平行线性质，得到与∠1相等的内错角；最后根据角的和差关系即可求出∠2的度数。
思考步骤：①看到等腰三角形边相等的条件，优先推导对应相等的底角；②利用三角形内角和求出等腰三角形顶角的度数；③结合平行线性质找到已知角∠1对应的等角，建立和未知角∠2的数量关系求解。
【解析】
解：
∵ $AB=BC$，$∠ C=25°$，
∴ $∠ BAC=∠ C=25°$（等腰三角形等边对等角）。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ABC=180°-∠ C-∠ BAC=180°-25°-25°=130°$。
∵ $l_1// l_2$，AB是两平行线的截线，$∠ 1=60°$，
∴ AB与$l_2$的夹角（和$∠ 1$为内错角）$=∠ 1=60°$（两直线平行，内错角相等）。
由图中角的位置关系可得：$∠ ABC=∠ 2+60°$，
∴ $∠ 2=130°-60°=70°$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查等腰三角形与平行线性质的结合应用，解题时需要准确识别图中角的位置关系，逐步推导即可，整体计算量小。
【难度系数】
0.7
3.下面给出的5个图中,能判定△ABC是等腰三角形的有图
②③④⑤
.（请填上所有正确图形的序号）答案
3.②③④⑤
解析
【分析】
要判定△ABC是等腰三角形，核心依据是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”，因此我们只需逐个计算5个图中△ABC的三个内角，判断是否存在两个相等的角即可。
【解析】
我们逐个分析图形：
1. 图①：△ABC中，∠A=70°，∠B=66°，根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-70°-66°=44°，三个角均不相等，不是等腰三角形。
2. 图②：点A处的外角为140°，因此∠BAC=180°-140°=40°，已知∠B=70°，则∠C=180°-40°-70°=70°，可得∠B=∠C，△ABC是等腰三角形。
3. 图③：已知AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠C=∠DAC=50°，又∠B=50°，因此∠B=∠C，△ABC是等腰三角形。
4. 图④：已知AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BCA=∠CAD=30°；再根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠B+∠BAD=180°，已知∠B=120°，因此∠BAD=60°，则∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-30°=30°，可得∠BAC=∠BCA，△ABC是等腰三角形。
5. 图⑤：已知AB//DE，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠B=∠D=30°；又∠BCD是△ABC的外角，根据“三角形外角等于不相邻两个内角和”，得∠BCD=∠A+∠B=60°，代入∠B=30°得∠A=30°，因此∠A=∠B，△ABC是等腰三角形。
综上，能判定△ABC是等腰三角形的是图②③④⑤。
【答案】
②③④⑤
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题将等腰三角形的判定与三角形内角和、外角性质、平行线性质结合考查，难度不大，解题时需要逐一分析每个图形，仔细计算角度，避免看错角的位置或误用性质。
【难度系数】
0.7
要判定△ABC是等腰三角形，核心依据是“有两个内角相等的三角形是等腰三角形”，因此我们只需逐个计算5个图中△ABC的三个内角，判断是否存在两个相等的角即可。
【解析】
我们逐个分析图形：
1. 图①：△ABC中，∠A=70°，∠B=66°，根据三角形内角和为180°，得∠C=180°-70°-66°=44°，三个角均不相等，不是等腰三角形。
2. 图②：点A处的外角为140°，因此∠BAC=180°-140°=40°，已知∠B=70°，则∠C=180°-40°-70°=70°，可得∠B=∠C，△ABC是等腰三角形。
3. 图③：已知AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠C=∠DAC=50°，又∠B=50°，因此∠B=∠C，△ABC是等腰三角形。
4. 图④：已知AD//BC，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BCA=∠CAD=30°；再根据“两直线平行，同旁内角互补”，得∠B+∠BAD=180°，已知∠B=120°，因此∠BAD=60°，则∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-30°=30°，可得∠BAC=∠BCA，△ABC是等腰三角形。
5. 图⑤：已知AB//DE，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠B=∠D=30°；又∠BCD是△ABC的外角，根据“三角形外角等于不相邻两个内角和”，得∠BCD=∠A+∠B=60°，代入∠B=30°得∠A=30°，因此∠A=∠B，△ABC是等腰三角形。
综上，能判定△ABC是等腰三角形的是图②③④⑤。
【答案】
②③④⑤
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题将等腰三角形的判定与三角形内角和、外角性质、平行线性质结合考查，难度不大，解题时需要逐一分析每个图形，仔细计算角度，避免看错角的位置或误用性质。
【难度系数】
0.7
4.如图,已知P是射线ON上一动点(即点P可在射线ON上运动),∠AON=30°,当∠A=
30°或120°或75°
时,△AOP为等腰三角形.答案
4.30°或120°或75°
解析
【分析】
要解决本题，首先明确△AOP为等腰三角形时未指定腰和底，因此需要分三种情况讨论两条边相等的情况：①OA=OP；②OA=AP；③OP=AP。再结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°，分别计算每种情况下∠A的度数，最终验证所有情况均符合点P在射线ON上运动的前提即可。
【解析】
已知∠AON=30°，△AOP为等腰三角形，分三类讨论：
1. 当OA=OP时，等腰三角形顶角为∠AON=30°，两底角∠A=∠APO，根据三角形内角和：
$∠ A=(180°-30°)÷2=75°$
2. 当OA=AP时，等腰三角形两底角为∠AON和∠APO，即$∠ AON=∠ APO=30°$，顶角为∠A：
$∠ A=180°-30°×2=120°$
3. 当OP=AP时，等腰三角形两底角为∠AON和∠A，即$∠ A=∠ AON=30°$
以上三种情况均符合题意，均成立。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形未明确腰和底时需要分类讨论，容易出现漏解的问题，解题时要逐一验证每种情况是否符合题设前提，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确△AOP为等腰三角形时未指定腰和底，因此需要分三种情况讨论两条边相等的情况：①OA=OP；②OA=AP；③OP=AP。再结合等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和为180°，分别计算每种情况下∠A的度数，最终验证所有情况均符合点P在射线ON上运动的前提即可。
【解析】
已知∠AON=30°，△AOP为等腰三角形，分三类讨论：
1. 当OA=OP时，等腰三角形顶角为∠AON=30°，两底角∠A=∠APO，根据三角形内角和：
$∠ A=(180°-30°)÷2=75°$
2. 当OA=AP时，等腰三角形两底角为∠AON和∠APO，即$∠ AON=∠ APO=30°$，顶角为∠A：
$∠ A=180°-30°×2=120°$
3. 当OP=AP时，等腰三角形两底角为∠AON和∠A，即$∠ A=∠ AON=30°$
以上三种情况均符合题意，均成立。
【答案】
$30°$或$75°$或$120°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略等腰三角形未明确腰和底时需要分类讨论，容易出现漏解的问题，解题时要逐一验证每种情况是否符合题设前提，保证答案的完整性。
【难度系数】
0.6
