5.(2022,青海,26)两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,那么形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

(1)问题发现:如图①,若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形,BC,DE分别是底边,连接BD,CE,求证BD=CE；
(2)解决问题:如图②,若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.

5.(1)证明:
∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△BAD和△CAE中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=CE.
(2)解:∠AEB=90°,AE=BE+2CM.理由如下：
由(1)同理可证得△ACD≌△BCE，
∴AD=BE,∠ADC=∠BEC.
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°−∠CDE=135°.
∴∠DEC=∠ADC=135°.
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=90°.
∵CM⊥DE，
∴∠CME=90°.
∴∠DCM=∠ECM=45°.
∴DM=ME=CM.
∴DE=2CM.
∴AE=AD+DE=BE+2CM.

【分析】
(1) 要证明BD=CE，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。已知△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，可得AB=AC、AD=AE，且顶角∠BAC=∠DAE，两个角同时减去公共角∠CAD可推得夹角∠BAD=∠CAE，利用SAS判定△BAD≌△CAE，根据全等三角形对应边相等即可得证。
(2) 首先沿用(1)的手拉手全等思路，证△ACD≌△BCE，得到AD=BE、∠ADC=∠BEC；再结合等腰直角三角形的性质，求出∠ADC=135°，进而得到∠BEC=135°，减去∠CED的45°即可得到∠AEB的度数；最后根据等腰直角三角形斜边上的高的性质，得到DE=2CM，结合AE=AD+DE进行等量代换，即可得到CM、AE、BE之间的数量关系。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
即∠BAD=∠CAE。
在△BAD和△CAE中，
$\begin{cases} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE, \end{cases}$
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE。
(2) 解：∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由如下：
由(1)同理可证得△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC。
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ADC=180°−∠CDE=135°，
∴∠BEC=∠ADC=135°，
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°。
∵CM⊥DE，△DCE是等腰直角三角形，
∴CM是等腰Rt△DCE斜边DE上的中线，
∴DM=ME=CM，
∴DE=DM+ME=2CM。
又
∵AE=AD+DE，AD=BE，
∴AE=BE+2CM。
【答案】
(1) BD=CE，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠AEB=90°}$，$\boldsymbol{AE=BE+2CM}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰三角形的性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题以“手拉手”几何模型为载体，第一问考查基础的全等三角形证明，第二问在第一问的基础上结合特殊等腰三角形的性质推导角度与线段数量关系，能够有效考查学生的模型迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7