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4. 已知三角形的第一条边长是$(a+2b)$，第二条边比第一条边长$(b-2)$，第三条边比第二条边短5.
（1）求三角形的周长；
（2）当$a=2,b=3$时，求三角形的周长；
（3）当$a=2$，三角形的周长是29时，求各边长.
（1）求三角形的周长；
（2）当$a=2,b=3$时，求三角形的周长；
（3）当$a=2$，三角形的周长是29时，求各边长.
答案
(1) $3a+8b-9$；(2) $21$；(3) 三角形三边长分别为10,12,7。
解析
【分析】
解题时先根据题目给出的边长关系，依次表示出第二条边、第三条边的代数式：（1）三角形周长等于三条边长度之和，将三条边的代数式相加，合并同类项即可得到周长的表达式；（2）将$a=2$、$b=3$直接代入第（1）问得到的周长表达式计算即可；（3）将$a=2$、周长29代入周长表达式，先求出$b$的值，再分别代入三条边的代数式计算得到各边长。
【解析】
（1）先求各边长度：
第二条边长：$(a+2b)+(b-2)=a+3b-2$
第三条边长：$(a+3b-2)-5=a+3b-7$
三角形周长 = 第一条边长 + 第二条边长 + 第三条边长
即：
$\begin{aligned}&(a+2b)+(a+3b-2)+(a+3b-7)\\=&a+2b+a+3b-2+a+3b-7\\=&3a+8b-9\end{aligned}$
（2）当$a=2,b=3$时，代入周长表达式：
$3×2 + 8×3 -9=6+24-9=21$
（3）当$a=2$，周长为29时，代入周长公式得：
$3×2 +8b -9=29$
$6+8b-9=29$
$8b=32$
解得$b=4$
则第一条边长：$a+2b=2+2×4=10$
第二条边长：$a+3b-2=2+3×4-2=12$
第三条边长：$a+3b-7=2+3×4-7=7$
【答案】
(1) $3a+8b-9$；(2) $21$；(3) 三角形三边长分别为10,12,7。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题考查整式加减在几何边长计算中的应用，解题核心是准确根据边长关系列出各边的代数式，合并同类项和代入计算时注意运算符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时先根据题目给出的边长关系，依次表示出第二条边、第三条边的代数式：（1）三角形周长等于三条边长度之和，将三条边的代数式相加，合并同类项即可得到周长的表达式；（2）将$a=2$、$b=3$直接代入第（1）问得到的周长表达式计算即可；（3）将$a=2$、周长29代入周长表达式，先求出$b$的值，再分别代入三条边的代数式计算得到各边长。
【解析】
（1）先求各边长度：
第二条边长：$(a+2b)+(b-2)=a+3b-2$
第三条边长：$(a+3b-2)-5=a+3b-7$
三角形周长 = 第一条边长 + 第二条边长 + 第三条边长
即：
$\begin{aligned}&(a+2b)+(a+3b-2)+(a+3b-7)\\=&a+2b+a+3b-2+a+3b-7\\=&3a+8b-9\end{aligned}$
（2）当$a=2,b=3$时，代入周长表达式：
$3×2 + 8×3 -9=6+24-9=21$
（3）当$a=2$，周长为29时，代入周长公式得：
$3×2 +8b -9=29$
$6+8b-9=29$
$8b=32$
解得$b=4$
则第一条边长：$a+2b=2+2×4=10$
第二条边长：$a+3b-2=2+3×4-2=12$
第三条边长：$a+3b-7=2+3×4-7=7$
【答案】
(1) $3a+8b-9$；(2) $21$；(3) 三角形三边长分别为10,12,7。
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题考查整式加减在几何边长计算中的应用，解题核心是准确根据边长关系列出各边的代数式，合并同类项和代入计算时注意运算符号，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
已知多项式$3x^2 + my - 8$与多项式$-nx^2 + 2y + 7$的差中，不含有$x^2,y$的项，求$n^m + mn$的值。
答案
3
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要求出两个多项式的差，再对差合并同类项；题目说明差中不含$x^2$和$y$的项，意思就是$x^2$项、$y$项的系数都为0，据此列方程求出$m$、$n$的值，最后代入$n^m + mn$计算即可。
【解析】
第一步：计算两个多项式的差
$\begin{aligned}&(3x^2 + my - 8) - (-nx^2 + 2y + 7)\\=&3x^2 + my - 8 + nx^2 - 2y - 7\\=&(3 + n)x^2 + (m - 2)y - 15\end{aligned}$
第二步：根据“差中不含有$x^2$、$y$的项”，可知这两项的系数为0，即：
$3 + n = 0$，解得$n = -3$
$m - 2 = 0$，解得$m = 2$
第三步：将$m=2$，$n=-3$代入$n^m + mn$计算：
$\begin{aligned}n^m + mn&=(-3)^2 + 2×(-3)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是理解“多项式不含某一项则该项的系数为0”的规则，计算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要求出两个多项式的差，再对差合并同类项；题目说明差中不含$x^2$和$y$的项，意思就是$x^2$项、$y$项的系数都为0，据此列方程求出$m$、$n$的值，最后代入$n^m + mn$计算即可。
【解析】
第一步：计算两个多项式的差
$\begin{aligned}&(3x^2 + my - 8) - (-nx^2 + 2y + 7)\\=&3x^2 + my - 8 + nx^2 - 2y - 7\\=&(3 + n)x^2 + (m - 2)y - 15\end{aligned}$
第二步：根据“差中不含有$x^2$、$y$的项”，可知这两项的系数为0，即：
$3 + n = 0$，解得$n = -3$
$m - 2 = 0$，解得$m = 2$
第三步：将$m=2$，$n=-3$代入$n^m + mn$计算：
$\begin{aligned}n^m + mn&=(-3)^2 + 2×(-3)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
整式的加减，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型题型，解题核心是理解“多项式不含某一项则该项的系数为0”的规则，计算时要注意去括号的符号变化，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.7
1. 下列去括号，正确的是 （
A.$x-(y-z)=x-y-z$
B.$x^2-2(x+1)=x^2-2x+2$
C.$s+3(r-t)=s+3r-t$
D.$a-4(b+c)=a-4b-4c$
D
）A.$x-(y-z)=x-y-z$
B.$x^2-2(x+1)=x^2-2x+2$
C.$s+3(r-t)=s+3r-t$
D.$a-4(b+c)=a-4b-4c$
答案
D
解析
【分析】
解这道题要先掌握去括号的核心规则：①如果括号前是“+”号，去括号后括号里所有项的符号都不变；②如果括号前是“-”号，去括号后括号里所有项的符号都要改变；③如果括号前带数字系数，要根据乘法分配律把系数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。我们按照这个规则逐个验证4个选项就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项的去括号结果：
A选项：$x-(y-z)$，括号前是负号，去括号后$y$变$-y$，$-z$变$+z$，正确结果为$x-y+z$，和选项给出的$x-y-z$不符，A错误。
B选项：$x^2-2(x+1)$，将$-2$乘遍括号内两项得$-2x-2$，整体结果为$x^2-2x-2$，和选项给出的$x^2-2x+2$不符，B错误。
C选项：$s+3(r-t)$，将$3$乘遍括号内两项得$3r-3t$，整体结果为$s+3r-3t$，选项漏乘了$-t$项，C错误。
D选项：$a-4(b+c)$，将$-4$乘遍括号内两项得$-4b-4c$，整体结果为$a-4b-4c$，和选项一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则、乘法分配律
【点评】
本题是整式运算的基础题，易错点主要有两处：一是括号前为负号时，漏改括号内部分项的符号；二是括号前带系数时，漏乘括号内的部分项，计算时要重点注意这两类问题。
【难度系数】
0.8
解这道题要先掌握去括号的核心规则：①如果括号前是“+”号，去括号后括号里所有项的符号都不变；②如果括号前是“-”号，去括号后括号里所有项的符号都要改变；③如果括号前带数字系数，要根据乘法分配律把系数乘遍括号内的每一项，不能漏乘。我们按照这个规则逐个验证4个选项就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项的去括号结果：
A选项：$x-(y-z)$，括号前是负号，去括号后$y$变$-y$，$-z$变$+z$，正确结果为$x-y+z$，和选项给出的$x-y-z$不符，A错误。
B选项：$x^2-2(x+1)$，将$-2$乘遍括号内两项得$-2x-2$，整体结果为$x^2-2x-2$，和选项给出的$x^2-2x+2$不符，B错误。
C选项：$s+3(r-t)$，将$3$乘遍括号内两项得$3r-3t$，整体结果为$s+3r-3t$，选项漏乘了$-t$项，C错误。
D选项：$a-4(b+c)$，将$-4$乘遍括号内两项得$-4b-4c$，整体结果为$a-4b-4c$，和选项一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则、乘法分配律
【点评】
本题是整式运算的基础题，易错点主要有两处：一是括号前为负号时，漏改括号内部分项的符号；二是括号前带系数时，漏乘括号内的部分项，计算时要重点注意这两类问题。
【难度系数】
0.8
2. 下列等式成立的是 （
A.$-a^2 - 3a + 2 = -(a^2 - 3a + 2)$
B.$x - 2y + a - b = x + (2y + a - b)$
C.$a - 2b + 3c - 4d = (a - 2b) - (3c + 4d)$
D.$x - (a + b - m) = (x - a) - (b - m)$
D
）A.$-a^2 - 3a + 2 = -(a^2 - 3a + 2)$
B.$x - 2y + a - b = x + (2y + a - b)$
C.$a - 2b + 3c - 4d = (a - 2b) - (3c + 4d)$
D.$x - (a + b - m) = (x - a) - (b - m)$
答案
D
解析
【分析】
本题主要考查去括号与添括号法则的应用，解题思路是对每个选项的等号一侧按照法则变形，再和另一侧对比是否相等。需牢记法则：添/去括号时，括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内所有项都要改变符号，逐个验证选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：对右侧式子去括号，$-(a^2 - 3a + 2) = -a^2 + 3a - 2$，和左侧$-a^2 -3a +2$不相等，A错误；
B选项：对右侧式子去括号，$x + (2y + a - b) = x + 2y + a - b$，和左侧$x - 2y + a - b$不相等，B错误；
C选项：对右侧式子去括号，$(a - 2b) - (3c + 4d) = a - 2b - 3c - 4d$，和左侧$a - 2b + 3c - 4d$不相等，C错误；
D选项：分别化简左右两侧，左侧：$x - (a + b - m) = x - a - b + m$；右侧：$(x - a) - (b - m) = x - a - b + m$，左右两侧相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则，添括号法则，整式加减变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对去括号、添括号法则的掌握程度，易错点是括号前为负号时，容易漏改变括号内部分项的符号，只要熟练掌握法则、细心验证就能正确解答。
【难度系数】
0.8
本题主要考查去括号与添括号法则的应用，解题思路是对每个选项的等号一侧按照法则变形，再和另一侧对比是否相等。需牢记法则：添/去括号时，括号前是正号，括号内各项符号不变；括号前是负号，括号内所有项都要改变符号，逐个验证选项即可得出答案。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A选项：对右侧式子去括号，$-(a^2 - 3a + 2) = -a^2 + 3a - 2$，和左侧$-a^2 -3a +2$不相等，A错误；
B选项：对右侧式子去括号，$x + (2y + a - b) = x + 2y + a - b$，和左侧$x - 2y + a - b$不相等，B错误；
C选项：对右侧式子去括号，$(a - 2b) - (3c + 4d) = a - 2b - 3c - 4d$，和左侧$a - 2b + 3c - 4d$不相等，C错误；
D选项：分别化简左右两侧，左侧：$x - (a + b - m) = x - a - b + m$；右侧：$(x - a) - (b - m) = x - a - b + m$，左右两侧相等，D正确。
【答案】
D
【知识点】
去括号法则，添括号法则，整式加减变形
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对去括号、添括号法则的掌握程度，易错点是括号前为负号时，容易漏改变括号内部分项的符号，只要熟练掌握法则、细心验证就能正确解答。
【难度系数】
0.8
3. 先去括号，再合并同类项：
(1) $(3x-1)-(3-5x)$；
(2) $-3(2a-5)+6a$；
(3) $3(-ab+2a)-(3a-b)$；
(4) $1-(2y-1)-(3y+3)$。
(1) $(3x-1)-(3-5x)$；
(2) $-3(2a-5)+6a$；
(3) $3(-ab+2a)-(3a-b)$；
(4) $1-(2y-1)-(3y+3)$。
答案
(1) $8x-4$；(2) $15$；(3) $-3ab+3a+b$；(4) $-5y-1$。
解析
【分析】
解决这类去括号合并同类项的题目分两步进行：第一步去括号，牢记去括号法则：括号外因数为正，去括号后括号内各项符号不变；括号外因数为负，去括号后括号内各项符号全部变号；若括号前有数字因数，要将数字因数乘到括号内每一项，不能漏乘。第二步合并同类项，先识别出所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3x-1-3+5x\\&=(3x+5x)+(-1-3)\\&=8x-4\end{aligned}$
(2) 先将$-3$乘入括号内各项再去括号，之后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-6a+15+6a\\&=(-6a+6a)+15\\&=15\end{aligned}$
(3) 先将$3$乘入第一个括号，再去掉第二个括号，最后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-3ab+6a-3a+b\\&=-3ab+(6a-3a)+b\\&=-3ab+3a+b\end{aligned}$
(4) 依次去掉两个括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=1-2y+1-3y-3\\&=(-2y-3y)+(1+1-3)\\&=-5y-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $8x-4$；(2) $15$；(3) $-3ab+3a+b$；(4) $-5y-1$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减运算的基础常规题，核心考查去括号时的符号处理、系数分配规则以及合并同类项的方法，解题时需注意避免漏乘括号内的项、符号判断错误两类常见失误，熟练掌握后能为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
解决这类去括号合并同类项的题目分两步进行：第一步去括号，牢记去括号法则：括号外因数为正，去括号后括号内各项符号不变；括号外因数为负，去括号后括号内各项符号全部变号；若括号前有数字因数，要将数字因数乘到括号内每一项，不能漏乘。第二步合并同类项，先识别出所含字母相同、相同字母指数也相同的同类项，再把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变即可。
【解析】
(1) 先去括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=3x-1-3+5x\\&=(3x+5x)+(-1-3)\\&=8x-4\end{aligned}$
(2) 先将$-3$乘入括号内各项再去括号，之后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-6a+15+6a\\&=(-6a+6a)+15\\&=15\end{aligned}$
(3) 先将$3$乘入第一个括号，再去掉第二个括号，最后合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=-3ab+6a-3a+b\\&=-3ab+(6a-3a)+b\\&=-3ab+3a+b\end{aligned}$
(4) 依次去掉两个括号，再合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=1-2y+1-3y-3\\&=(-2y-3y)+(1+1-3)\\&=-5y-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $8x-4$；(2) $15$；(3) $-3ab+3a+b$；(4) $-5y-1$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，整式的加减
【点评】
本题是整式加减运算的基础常规题，核心考查去括号时的符号处理、系数分配规则以及合并同类项的方法，解题时需注意避免漏乘括号内的项、符号判断错误两类常见失误，熟练掌握后能为后续复杂整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
问题 每个排球售价a元，每个篮球售价b元，红星小学一至六年级的每个年级都买4个排球和5个篮球，红星初中七至九年级的每个年级都买6个排球和8个篮球。
（1）两所学校此次购买排球和篮球所花费的总费用是多少元？
（2）在此次购买中，红星小学比红星初中多花多少钱？
名师指导
先将红星小学和红星初中各自买球所花的费用表示出来，再根据每一小问列式化简。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
（1）两所学校此次购买排球和篮球所花费的总费用是多少元？
（2）在此次购买中，红星小学比红星初中多花多少钱？
名师指导
先将红星小学和红星初中各自买球所花的费用表示出来，再根据每一小问列式化简。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案
解：
红星小学共有6个年级，购买球的总费用为：
$6(4a+5b)=24a+30b$（元）
红星初中共有3个年级，购买球的总费用为：
$3(6a+8b)=18a+24b$（元）
（1）两所学校此次购买的总费用为：
$(24a+30b)+(18a+24b)$
$=24a+30b+18a+24b$
$=42a+54b$（元）
（2）红星小学比红星初中多花费的金额为：
$(24a+30b)-(18a+24b)$
$=24a+30b-18a-24b$
$=6a+6b$（元）
答：（1）两所学校此次购买排球和篮球所花费的总费用是$(42a+54b)$元；（2）红星小学比红星初中多花$(6a+6b)$元。
红星小学共有6个年级，购买球的总费用为：
$6(4a+5b)=24a+30b$（元）
红星初中共有3个年级，购买球的总费用为：
$3(6a+8b)=18a+24b$（元）
（1）两所学校此次购买的总费用为：
$(24a+30b)+(18a+24b)$
$=24a+30b+18a+24b$
$=42a+54b$（元）
（2）红星小学比红星初中多花费的金额为：
$(24a+30b)-(18a+24b)$
$=24a+30b-18a-24b$
$=6a+6b$（元）
答：（1）两所学校此次购买排球和篮球所花费的总费用是$(42a+54b)$元；（2）红星小学比红星初中多花$(6a+6b)$元。
解析
【分析】
解题时首先明确两所学校的年级数量：红星小学共6个年级，红星初中共3个年级。第一步先分别计算单个年级购买排球和篮球的费用，再乘对应年级数，得到两所学校各自的总购球费用；第（1）问求总费用，将两所学校的费用相加即可，第（2）问求小学比初中多花的钱，用小学总费用减去初中总费用即可，计算过程中要注意正确去括号，合并同类项。
【解析】
先计算红星小学的总购球费用：
小学每个年级购买4个排球、5个篮球，单个年级花费$(4a+5b)$元，6个年级总费用为：
$6(4a+5b)=24a+30b$（元）
再计算红星初中的总购球费用：
初中每个年级购买6个排球、8个篮球，单个年级花费$(6a+8b)$元，3个年级总费用为：
$3(6a+8b)=18a+24b$（元）
（1）两所学校总费用为两者相加：
$\begin{split}&(24a+30b)+(18a+24b)\\=&24a+30b+18a+24b\\=&42a+54b\end{split}$（元）
（2）红星小学比红星初中多花的金额为小学费用减初中费用：
$\begin{split}&(24a+30b)-(18a+24b)\\=&24a+30b-18a-24b\\=&6a+6b\end{split}$（元）
【答案】
（1）$(42a+54b)$元；（2）$(6a+6b)$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题结合生活购物场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确提炼数量关系，用代数式分别表示出两所学校的购球总费用，再按要求做整式加减运算，计算时要注意去括号的符号规则，避免漏乘或符号出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确两所学校的年级数量：红星小学共6个年级，红星初中共3个年级。第一步先分别计算单个年级购买排球和篮球的费用，再乘对应年级数，得到两所学校各自的总购球费用；第（1）问求总费用，将两所学校的费用相加即可，第（2）问求小学比初中多花的钱，用小学总费用减去初中总费用即可，计算过程中要注意正确去括号，合并同类项。
【解析】
先计算红星小学的总购球费用：
小学每个年级购买4个排球、5个篮球，单个年级花费$(4a+5b)$元，6个年级总费用为：
$6(4a+5b)=24a+30b$（元）
再计算红星初中的总购球费用：
初中每个年级购买6个排球、8个篮球，单个年级花费$(6a+8b)$元，3个年级总费用为：
$3(6a+8b)=18a+24b$（元）
（1）两所学校总费用为两者相加：
$\begin{split}&(24a+30b)+(18a+24b)\\=&24a+30b+18a+24b\\=&42a+54b\end{split}$（元）
（2）红星小学比红星初中多花的金额为小学费用减初中费用：
$\begin{split}&(24a+30b)-(18a+24b)\\=&24a+30b-18a-24b\\=&6a+6b\end{split}$（元）
【答案】
（1）$(42a+54b)$元；（2）$(6a+6b)$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；合并同类项
【点评】
本题结合生活购物场景考查代数式的实际应用，解题核心是准确提炼数量关系，用代数式分别表示出两所学校的购球总费用，再按要求做整式加减运算，计算时要注意去括号的符号规则，避免漏乘或符号出错。
【难度系数】
0.8
