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问题 某公司有50名技术工人、5名生产组长和3位经理，已知每名技术工人的月平均工资是a元，生产组长的月平均工资是技术工人的1.5倍，经理的月平均工资是技术工人的2.2倍。
（1）每个月该公司所发的工资总额是多少？
（2）每个月该公司技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多多少？
名师指导
先根据题意将50名技术工人的工资总额、生产组长的工资总额和经理的工资总额表示出来，再列式计算。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
（1）每个月该公司所发的工资总额是多少？
（2）每个月该公司技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多多少？
名师指导
先根据题意将50名技术工人的工资总额、生产组长的工资总额和经理的工资总额表示出来，再列式计算。
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
解：
答案
解：
（1）50名技术工人的月工资总额为$50a$元，
5名生产组长的月平均工资为$1.5a$元，工资总额为$5×1.5a=7.5a$元，
3位经理的月平均工资为$2.2a$元，工资总额为$3×2.2a=6.6a$元。
该公司每月工资总额为：
$50a + 7.5a + 6.6a = 64.1a \ (\mathrm{元})$
（2）技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多：
$50a - 7.5a = 42.5a \ (\mathrm{元})$
答：（1）每个月该公司所发的工资总额是$64.1a$元；（2）每个月该公司技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多$42.5a$元。
（1）50名技术工人的月工资总额为$50a$元，
5名生产组长的月平均工资为$1.5a$元，工资总额为$5×1.5a=7.5a$元，
3位经理的月平均工资为$2.2a$元，工资总额为$3×2.2a=6.6a$元。
该公司每月工资总额为：
$50a + 7.5a + 6.6a = 64.1a \ (\mathrm{元})$
（2）技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多：
$50a - 7.5a = 42.5a \ (\mathrm{元})$
答：（1）每个月该公司所发的工资总额是$64.1a$元；（2）每个月该公司技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多$42.5a$元。
解析
【分析】
解决本题首先要明确工资总额的计算方法是“平均工资×人数”。对于第(1)问，我们需要先根据题目给出的倍数关系，分别求出生产组长、经理的月平均工资，再计算三类人员各自的工资总额，最后将三者相加合并同类项即可得到总工资；对于第(2)问，直接用技术工人的工资总额减去生产组长的工资总额，合并同类项就能得到差额。
【解析】
（1）分别计算三类人员的月工资总额：
50名技术工人的月工资总额：$50 × a = 50a$（元）
生产组长的月平均工资为$1.5a$元，5名生产组长的月工资总额：$5 × 1.5a = 7.5a$（元）
经理的月平均工资为$2.2a$元，3位经理的月工资总额：$3 × 2.2a = 6.6a$（元）
公司每月工资总额为三类人员工资之和：
$50a + 7.5a + 6.6a = 64.1a$（元）
（2）技术工人工资总额与生产组长工资总额的差额为：
$50a - 7.5a = 42.5a$（元）
【答案】
（1）每个月该公司所发的工资总额是$64.1a$元；
（2）每个月该公司技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多$42.5a$元。
【知识点】
列代数式、合并同类项、整式的加减运算
【点评】
本题是典型的代数应用型基础题，解题的关键是准确根据倍数关系写出对应群体的工资总额代数式，计算时注意系数的运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要明确工资总额的计算方法是“平均工资×人数”。对于第(1)问，我们需要先根据题目给出的倍数关系，分别求出生产组长、经理的月平均工资，再计算三类人员各自的工资总额，最后将三者相加合并同类项即可得到总工资；对于第(2)问，直接用技术工人的工资总额减去生产组长的工资总额，合并同类项就能得到差额。
【解析】
（1）分别计算三类人员的月工资总额：
50名技术工人的月工资总额：$50 × a = 50a$（元）
生产组长的月平均工资为$1.5a$元，5名生产组长的月工资总额：$5 × 1.5a = 7.5a$（元）
经理的月平均工资为$2.2a$元，3位经理的月工资总额：$3 × 2.2a = 6.6a$（元）
公司每月工资总额为三类人员工资之和：
$50a + 7.5a + 6.6a = 64.1a$（元）
（2）技术工人工资总额与生产组长工资总额的差额为：
$50a - 7.5a = 42.5a$（元）
【答案】
（1）每个月该公司所发的工资总额是$64.1a$元；
（2）每个月该公司技术工人的工资总额比生产组长的工资总额多$42.5a$元。
【知识点】
列代数式、合并同类项、整式的加减运算
【点评】
本题是典型的代数应用型基础题，解题的关键是准确根据倍数关系写出对应群体的工资总额代数式，计算时注意系数的运算准确性即可。
【难度系数】
0.85
1. 一个整式与多项式$x^2 - y^2$的差为$x^2 + y^2$，则这个整式为（
A.$-x^2 - y^2$
B.$2x^2$
C.$2y^2$
D.$-2x^2$
B
）A.$-x^2 - y^2$
B.$2x^2$
C.$2y^2$
D.$-2x^2$
答案
B
解析
【分析】
解题时先明确数量关系，题目中所求整式是被减数，根据“被减数=减数+差”的基本运算关系，即可列出对应的运算式，再通过去括号、合并同类项两步运算就能得到结果。
【解析】
设这个整式为$ A $，根据题意可得：
$ A - (x^2 - y^2) = x^2 + y^2 $
则$ A = (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) $
去括号得：$ A = x^2 + y^2 + x^2 - y^2 $
合并同类项得：$ A = 2x^2 $
因此这个整式为$ 2x^2 $。
【答案】
B
【知识点】
1. 整式的加减 2. 合并同类项 3. 去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题核心是根据题意准确列出运算表达式，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时先明确数量关系，题目中所求整式是被减数，根据“被减数=减数+差”的基本运算关系，即可列出对应的运算式，再通过去括号、合并同类项两步运算就能得到结果。
【解析】
设这个整式为$ A $，根据题意可得：
$ A - (x^2 - y^2) = x^2 + y^2 $
则$ A = (x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) $
去括号得：$ A = x^2 + y^2 + x^2 - y^2 $
合并同类项得：$ A = 2x^2 $
因此这个整式为$ 2x^2 $。
【答案】
B
【知识点】
1. 整式的加减 2. 合并同类项 3. 去括号法则
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题核心是根据题意准确列出运算表达式，熟练掌握去括号、合并同类项的运算规则就能快速得出答案。
【难度系数】
0.8
(1) 合并$3x^2 - 8x - 10 - x^2 + 7x + 3$中的同类项得
(2) 若$5x^2y^3 + ay^3x^2 = 3x^2y^3$，则$a =$
(3) 若$\frac{2}{3}a^2b^{m+2}$与$-0.5a^{n-1}b^4$的和是单项式，则$m - n =$
$2x^2-x-7$
.(2) 若$5x^2y^3 + ay^3x^2 = 3x^2y^3$，则$a =$
$-2$
.(3) 若$\frac{2}{3}a^2b^{m+2}$与$-0.5a^{n-1}b^4$的和是单项式，则$m - n =$
$-1$
.答案
(1) $2x^2-x-7$；(2) $-2$；(3) $-1$。
解析
【分析】
(1) 解决合并同类项问题，第一步先识别同类项：所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项为同类项，所有常数项也互为同类项；第二步按照“同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变”的规则合并即可。
(2) 观察等式左侧的两个项，属于同类项，合并同类项后整体的系数等于右侧项的系数，据此列关于a的一元一次方程即可求解。
(3) 若两个单项式的和为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项“相同字母的指数相等”的特征，分别列方程求出m、n的值，再代入计算m-n即可。
【解析】
(1) 先归类同类项：
$3x^2$与$-x^2$是同类项，$-8x$与$7x$是同类项，$-10$与$3$是同类项。
分别合并：
$3x^2 - x^2 = (3-1)x^2 = 2x^2$，
$-8x + 7x = (-8+7)x = -x$，
$-10 + 3 = -7$，
合并结果为$2x^2 - x - 7$。
(2) $5x^2y^3$与$ay^3x^2$是同类项，合并同类项时系数相加，即$5 + a = 3$，
解得$a = 3 - 5 = -2$。
(3) 因为$\frac{2}{3}a^2b^{m+2}$与$-0.5a^{n-1}b^4$的和是单项式，所以二者是同类项，可得：
$a$的指数相等：$2 = n - 1$，解得$n = 3$；
$b$的指数相等：$m + 2 = 4$，解得$m = 2$；
代入计算得$m - n = 2 - 3 = -1$。
【答案】
(1) $2x^2-x-7$；(2) $-2$；(3) $-1$
【知识点】
同类项的定义、合并同类项法则、整式的加减运算
【点评】
这组题目是整式加减章节的基础题型，核心考查对同类项概念的理解和合并同类项规则的应用，熟练掌握同类项的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
(1) 解决合并同类项问题，第一步先识别同类项：所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项为同类项，所有常数项也互为同类项；第二步按照“同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变”的规则合并即可。
(2) 观察等式左侧的两个项，属于同类项，合并同类项后整体的系数等于右侧项的系数，据此列关于a的一元一次方程即可求解。
(3) 若两个单项式的和为单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项“相同字母的指数相等”的特征，分别列方程求出m、n的值，再代入计算m-n即可。
【解析】
(1) 先归类同类项：
$3x^2$与$-x^2$是同类项，$-8x$与$7x$是同类项，$-10$与$3$是同类项。
分别合并：
$3x^2 - x^2 = (3-1)x^2 = 2x^2$，
$-8x + 7x = (-8+7)x = -x$，
$-10 + 3 = -7$，
合并结果为$2x^2 - x - 7$。
(2) $5x^2y^3$与$ay^3x^2$是同类项，合并同类项时系数相加，即$5 + a = 3$，
解得$a = 3 - 5 = -2$。
(3) 因为$\frac{2}{3}a^2b^{m+2}$与$-0.5a^{n-1}b^4$的和是单项式，所以二者是同类项，可得：
$a$的指数相等：$2 = n - 1$，解得$n = 3$；
$b$的指数相等：$m + 2 = 4$，解得$m = 2$；
代入计算得$m - n = 2 - 3 = -1$。
【答案】
(1) $2x^2-x-7$；(2) $-2$；(3) $-1$
【知识点】
同类项的定义、合并同类项法则、整式的加减运算
【点评】
这组题目是整式加减章节的基础题型，核心考查对同类项概念的理解和合并同类项规则的应用，熟练掌握同类项的判定方法是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 先化简，再求值：
(1) $-2m^2n + 2m + 3n - 3mn^2 - 2n + 2m^2n - m + mn^2$，其中 $m=2, n=-\dfrac{1}{2}$；
(2) $4(m-n) - \dfrac{5}{2}(m-n)^2 + 3(m-n)^2 - \dfrac{11}{2}(m-n)$，其中 $m-n=-3$。
(1) $-2m^2n + 2m + 3n - 3mn^2 - 2n + 2m^2n - m + mn^2$，其中 $m=2, n=-\dfrac{1}{2}$；
(2) $4(m-n) - \dfrac{5}{2}(m-n)^2 + 3(m-n)^2 - \dfrac{11}{2}(m-n)$，其中 $m-n=-3$。
答案
(1) $-2mn^2+m+n$，$\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{2}(m-n)^2 - \frac{3}{2}(m-n)$，$9$。
解析
【分析】
这两道题都属于整式的化简求值题，解题核心是先合并同类项再代入数值计算，可有效减少计算量。第(1)题先识别式子中同类项：含$m^2n$的项、含$mn^2$的项、只含$m$的项、只含$n$的项，分别合并得到最简式后，代入$m$、$n$的数值计算即可。第(2)题可把$(m-n)$看作一个整体，识别含$(m-n)$的项、含$(m-n)^2$的项，分别合并同类项得到最简式，直接代入$m-n$的数值计算，无需拆分$m$和$n$，能简化运算步骤。
【解析】
(1) 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&= (-2m^2n + 2m^2n) + (-3mn^2 + mn^2) + (2m - m) + (3n - 2n) \\&= 0 - 2mn^2 + m + n \\&= -2mn^2 + m + n\end{aligned}$
当$m=2$，$n=-\dfrac{1}{2}$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&= -2×2×(-\dfrac{1}{2})^2 + 2 + (-\dfrac{1}{2}) \\&= -4×\dfrac{1}{4} + 2 - \dfrac{1}{2} \\&= -1 + 2 - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 将$(m-n)$看作整体合并同类项：
$\begin{aligned}原式&= [-\dfrac{5}{2}(m-n)^2 + 3(m-n)^2] + [4(m-n) - \dfrac{11}{2}(m-n)] \\&= (-\dfrac{5}{2} + \dfrac{6}{2})(m-n)^2 + (\dfrac{8}{2} - \dfrac{11}{2})(m-n) \\&= \dfrac{1}{2}(m-n)^2 - \dfrac{3}{2}(m-n)\end{aligned}$
当$m-n=-3$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&= \dfrac{1}{2}×(-3)^2 - \dfrac{3}{2}×(-3) \\&= \dfrac{1}{2}×9 + \dfrac{9}{2} \\&= \dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} \\&= 9\end{aligned}$
【答案】
(1) 化简结果为$-2mn^2+m+n$，求值结果为$\dfrac{1}{2}$；(2) 化简结果为$\dfrac{1}{2}(m-n)^2 - \dfrac{3}{2}(m-n)$，求值结果为$9$
【知识点】
合并同类项，整式化简求值，整体代入法
【点评】
本题重点考查整式加减的核心方法合并同类项，第二题运用整体思想合并同类项可大幅降低计算复杂度，代入求值时要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于整式的化简求值题，解题核心是先合并同类项再代入数值计算，可有效减少计算量。第(1)题先识别式子中同类项：含$m^2n$的项、含$mn^2$的项、只含$m$的项、只含$n$的项，分别合并得到最简式后，代入$m$、$n$的数值计算即可。第(2)题可把$(m-n)$看作一个整体，识别含$(m-n)$的项、含$(m-n)^2$的项，分别合并同类项得到最简式，直接代入$m-n$的数值计算，无需拆分$m$和$n$，能简化运算步骤。
【解析】
(1) 合并同类项：
$\begin{aligned}原式&= (-2m^2n + 2m^2n) + (-3mn^2 + mn^2) + (2m - m) + (3n - 2n) \\&= 0 - 2mn^2 + m + n \\&= -2mn^2 + m + n\end{aligned}$
当$m=2$，$n=-\dfrac{1}{2}$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&= -2×2×(-\dfrac{1}{2})^2 + 2 + (-\dfrac{1}{2}) \\&= -4×\dfrac{1}{4} + 2 - \dfrac{1}{2} \\&= -1 + 2 - \dfrac{1}{2} \\&= \dfrac{1}{2}\end{aligned}$
(2) 将$(m-n)$看作整体合并同类项：
$\begin{aligned}原式&= [-\dfrac{5}{2}(m-n)^2 + 3(m-n)^2] + [4(m-n) - \dfrac{11}{2}(m-n)] \\&= (-\dfrac{5}{2} + \dfrac{6}{2})(m-n)^2 + (\dfrac{8}{2} - \dfrac{11}{2})(m-n) \\&= \dfrac{1}{2}(m-n)^2 - \dfrac{3}{2}(m-n)\end{aligned}$
当$m-n=-3$时，代入得：
$\begin{aligned}原式&= \dfrac{1}{2}×(-3)^2 - \dfrac{3}{2}×(-3) \\&= \dfrac{1}{2}×9 + \dfrac{9}{2} \\&= \dfrac{9}{2} + \dfrac{9}{2} \\&= 9\end{aligned}$
【答案】
(1) 化简结果为$-2mn^2+m+n$，求值结果为$\dfrac{1}{2}$；(2) 化简结果为$\dfrac{1}{2}(m-n)^2 - \dfrac{3}{2}(m-n)$，求值结果为$9$
【知识点】
合并同类项，整式化简求值，整体代入法
【点评】
本题重点考查整式加减的核心方法合并同类项，第二题运用整体思想合并同类项可大幅降低计算复杂度，代入求值时要注意负数乘方、乘法的符号规则，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
