1.在$△ ABC$中，若$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$，且$BC=6$，则$AB$等于。

1. 12

2. 如图，Rt△ABC的斜边AC//x轴，点B的坐标是(1,0)，∠A=30°，则AC=。

2. 4

3. 情境题生活应用 如图，一条船上午8时从海岛A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处观测灯塔C，测得$∠ NAC=30°$，$∠ NBC=60°$.若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，还要经过多长时间，船与灯塔C之间的距离最短？

3. 【解】根据题意,得 $AB=15×(10-8)=30$(海里).
$\because ∠ NBC=60^{\circ },∠ NAC=30^{\circ },$
$\therefore ∠ ACB=∠ NBC-∠ NAC=60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ },$
$\therefore ∠ ACB=∠ NAC,\therefore BC=AB=30$ 海里.
过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$.
$\because$ 垂线段最短,
$\therefore$ 线段 $C D$ 的长为船与灯塔 $C$ 之间的最短距离.
$\because ∠ NBC=60^{\circ },\therefore ∠ DCB=30^{\circ }.$
$\therefore DB=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}×30=15$(海里),
$\therefore 15÷15=1$(小时).
答:还要经过1小时,船与灯塔 $C$ 之间的距离最短.

4. 如图,将$Rt△ ABC$绕直角顶点A逆时针旋转一定角度,得到$△ ADE$,若点D在BC上,且$∠ CAE=54°$,则$∠ C$的度数为 （）

A.$36°$
B.$26°$
C.$37°$
D.$27°$

4. D 【点拨】$\because △ ABC$ 绕直角顶点 $A$ 旋转得到 $△ ADE$
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE=54^{\circ },AB=AD,\therefore △ ABD$ 是等腰三角形, $∠ B=\frac {180^{\circ }-∠ BAD}{2}=\frac {180^{\circ }-54^{\circ }}{2}=63^{\circ }.\because △ ABC$ 是直角三角形, $∠ BAC=90^{\circ },\therefore ∠ C=90^{\circ }-∠ B=90^{\circ }-63^{\circ }=27^{\circ }.$

5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,BE为AC边上的高,BD为AC边上的中线,若$△ ABC$的面积为20,$BD=5$,则BE的长度为 （）

A.2
B.3
C.$\frac{5}{2}$
D.4

5. D 【点拨】$\because ∠ ABC=90^{\circ },BD$ 为 $AC$ 边上的中线
$\therefore BD=\frac {1}{2}AC.\because BD=5,\therefore AC=10.\because △ ABC$ 的面积为 $20,\therefore \frac {1}{2}AC· BE=20,\therefore BE=4$. 故选 D.

6.如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,AD是BC边上的高,E,F分别是AB,AC边的中点,若$AB=8$,$AC=6$,则$△ DEF$的周长为.

6. 12 【点拨】在 $Rt△ ABC$ 中, 由勾股定理得 $BC=\sqrt {AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt {8^{2}+6^{2}}=10.\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90^{\circ }.\because E,F$ 分别是 $AB,AC$ 边的中点, $AB=8$ $AC=6,BC=10,\therefore DE=\frac {1}{2}AB=4,DF=\frac {1}{2}AC=3$ $EF=\frac {1}{2}BC=5,\therefore △ DEF$ 的周长为 $EF+DE+DF=5+4+3=12.$

7. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,CM 平分 $∠ ACB$ 交 AB 于点 M,过点 M 作 $MN// BC$ 交 AC 于点 N,且 MN 平分 $∠ AMC$,若 $AN=1$,则 BC 的长为 ()

A.4
B.6
C.$4\sqrt{3}$
D.8

7. B

8. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AB=10$,$BC=6$.点F是AB的中点,连结CF,把线段CF沿射线BC方向平移到DE,点D在AC上,则线段CF在平移过程中扫过的区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是（）

A.16,6
B.18,18
C.16,12
D.12,16

8. C 【点拨】由平移的性质可知 $DF// CE,DF=CE,\therefore$ 四边形 $CFDE$ 是平行四边形. 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90^{\circ },AB=10,BC=6$, 点 $F$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore AC=\sqrt {AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt {10^{2}-6^{2}}=8,CF=\frac {1}{2}AB=5.\because DF// CE$, 点 $F$ 是 $AB$ 的中点, $\therefore \frac {AD}{AC}=\frac {AF}{AB}=\frac {1}{2},∠ CDF=180^{\circ }-∠ ACB=90^{\circ },\therefore$ 点 $D$ 是 $AC$ 的中点, $\therefore CD=\frac {1}{2}AC=4.$
$\because$ 点 $F$ 是 $AB$ 的中点, 点 $D$ 是 $AC$ 的中点, $\therefore DF$ 是 $△ ABC$ 的中位线, $\therefore DF=\frac {1}{2}BC=3.\therefore$ 四边形 $CFDE$ 的周长为 $2(DF+CF)=2× (5+3)=16$, 四边形 $CFDE$ 的面积为 $DF· CD=3× 4=12.$

9. 华师附中自主招生 新考法·构造等边三角形法 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D,E是$△ ABC$内两点,AD平分$∠ BAC$,$∠ EBC=∠ E=60°$,若$BE=6\ \mathrm{cm}$,$DE=2\ \mathrm{cm}$,则BC的长度是（）

A.6 cm
B.7 cm
C.8 cm
D.10 cm

9. C 【点拨】如图, 延长 $ED$ 交 $BC$ 于 $M$, 延长 $AD$ 交 $BC$ 于 $N$. $\because AB=AC,AD$ 平分 $∠ BAC,\therefore AN⊥ BC,BN=CN.\because ∠ EBC=∠ E=60^{\circ },\therefore ∠ EMB=60^{\circ },\therefore △ BEM$ 为等边三角形, $\therefore EM=BM=BE=6\ \mathrm{cm}.\because DE=2\ \mathrm{cm},$
$\therefore DM=4\ \mathrm{cm}.\because AN⊥ BC,\therefore ∠ DNM=90^{\circ },\therefore ∠ NDM=90^{\circ }-∠ EMB=30^{\circ },$
$\therefore NM=\frac {1}{2}DM=2\ \mathrm{cm},\therefore BN=BM-MN=4\ \mathrm{cm},\therefore BC=2BN=8\ \mathrm{cm}.$