10. [北京海淀区期中] 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=5. D为BC上一动点，连结AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段AB的长是，线段BF长的最大值是.

10. $10;\frac{20}{3}$ 【点拨】在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90^{\circ },∠ B=30^{\circ },AC=5,\therefore AB=2AC=10$. 若使 $BF$ 最大, 则 $AF$ 最小. 如图, 连结 $DF$. $\because EF$ 垂直平分 $AD,\therefore AF=DF$. 过点 $F$ 作 $FH⊥ BC$ 于 $H$, 设 $AF=DF=x$, 则 $BF=10-x.\because ∠ B=30^{\circ },\therefore FH=\frac {1}{2}BF=5-\frac {1}{2}x.\because FD≥ FH,$
$\therefore x≥ 5-\frac {1}{2}x$, 解得 $x≥ \frac {10}{3}.$
$\therefore AF$ 的最小值为 $\frac {10}{3},\therefore BF$ 的最大值为 $10-\frac {10}{3}=\frac {20}{3}.$

11. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线BD的中点，E为正方形内的一点，连结BE，CE，使得CB=CE，延长BE与∠ECD的平分线交于点F。若∠BEC=α，连结OF，则∠FOD的度数为。

11. $2α-90°$ 【点拨】连结 $DF$, 如图. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $\therefore BC=CD,∠ CBD=∠ CDB=45^{\circ }.\because CB=CE,$
$\therefore CE=CD,∠ CBE=∠ BEC=α ,\therefore ∠ DBE=α -45^{\circ }.$
$\because CF$ 是 $∠ ECD$ 的平分线, $\therefore ∠ ECF=∠ DCF.\because CF=CF,∠ ECF=∠ DCF,CE=CD,\therefore △ CEF≌ △ CDF,$
$\therefore ∠ CEF=∠ CDF=180^{\circ }-α ,\therefore ∠ BDF=∠ CDF-∠ CDB=180^{\circ }-α -45^{\circ }=135^{\circ }-α ,\therefore ∠ BDF+∠ DBE=135^{\circ }-α +α -45^{\circ }=90^{\circ },\therefore ∠ BFD=90^{\circ }.\because O$ 是 $BD$ 的中点, $\therefore OF=OB,$
$\therefore ∠ OFB=∠ OBF=α -45^{\circ },$
$\therefore ∠ FOD=∠ OFB + ∠ OBF=α -45^{\circ }+α -45^{\circ }=2α -90^{\circ }.$

12. [南京二十九中模拟] 在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E为AC的中点.
(1)如图①，点F为BD的中点.
①求证:EF⊥BD；
②若∠BCD=135°,AC=6,求△BED的面积；
(2)如图②,若AB=AD,延长DE交AB于点G,且BG=EG,则∠BAC的度数为.

12. (1)①【证明】$\because ∠ ABC=∠ ADC=90^{\circ }$, 点 $E$ 为 $AC$ 的中点,
$\therefore DE=\frac {1}{2}AC,BE=\frac {1}{2}AC,\therefore DE=BE.$
$\because$ 点 $F$ 为 $BD$ 的中点, $\therefore EF⊥ BD.$
②【解】$\because ∠ ABC=∠ ADC=90^{\circ }$, 点 $E$ 为 $AC$ 的中点,
$\therefore AE=BE=DE=\frac {1}{2}AC=\frac {1}{2}× 6=3,$
$\therefore ∠ BAE=∠ ABE,∠ EAD=∠ ADE.$
$\because ∠ BCD=135^{\circ },\therefore ∠ BAD=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$, 即 $∠ BAE+∠ DAE=45^{\circ }.$
$\because ∠ BEC=∠ BAE+∠ ABE = 2∠ BAE,∠ CED=∠ DAE+∠ ADE=2∠ DAE,$
$\therefore ∠ BED=∠ BEC+∠ CED=2(∠ BAE+∠ DAE)=90^{\circ },$
$\therefore △ BED$ 是等腰直角三角形, $\therefore BD=3\sqrt {2}.$
$\because$ 点 $F$ 为 $BD$ 的中点, $\therefore EF=\frac {1}{2}BD=\frac {3\sqrt {2}}{2},$
$\therefore △ BED$ 的面积 $=\frac {1}{2}BD· EF=\frac {1}{2}× 3\sqrt {2}× \frac {3\sqrt {2}}{2}=\frac {9}{2}.$
(2)$36°$ 【点拨】$\because ∠ ABC=∠ ADC=90^{\circ },\therefore$ 在 $Rt△ ABC$ 和 $Rt△ ADC$ 中, $\begin{cases} AC=AC, \\ AB=AD, \end{cases}$ $\therefore Rt△ ABC≌ Rt△ ADC,$
$\therefore ∠ BAC=∠ DAC$. 设 $∠ BAC=α$, 易知 $∠ BAE=∠ ABE=∠ EAD=∠ ADE=α$. $\because ∠ BGE=∠ GAD+∠ ADG,$
$\therefore ∠ BGE=3α$. $\because BG=EG,\therefore ∠ GEB=∠ EBG=α$. 在 $△ BGE$ 中, $3α +α +α =180,\therefore α =36^{\circ },\therefore ∠ BAC=36^{\circ }.$

13. 新视角 最值探究题 如图①，△ABC为等腰三角形，AB=AC，D是线段BC的中点，过点D作射线DE和射线DF，分别交边AB，AC于点E，F，∠AED+∠AFD=180°。
(1)∠AED与∠CFD相等吗？为什么？
(2)DE与DF相等吗？为什么？
(3)如图②，若∠A=120°，∠EDF=60°，AB=10，试求EF+EC的最小值。

13. 【解】(1)相等. $\because ∠ CFD+∠ AFD=180^{\circ },∠ AED+∠ AFD=180^{\circ },\therefore ∠ AED=∠ CFD.$
(2)相等. 如图①, 连结 $AD$, 过点 $D$ 作 $DM⊥ AB,DN⊥ AC$, 垂足分别为 $M,N$.
$\because D$ 是线段 $BC$ 的中点, $AB=AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC.$
$\because DM⊥ AB,DN⊥ AC,\therefore DM=DN,∠ DME=∠ DNF=90^{\circ }.$
又 $\because ∠ MED=∠ NFD,\therefore △ DEM≌ △ DFN,\therefore DE=DF.$
(3)由(2)可知 $DE=DF$. $\because ∠ EDF=60^{\circ },$
$\therefore △ DEF$ 为等边三角形, $\therefore DE=EF,$
$\therefore EF+EC$ 的最小值即为 $DE+EC$ 的最小值.
如图②, 作点 $C$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $G$, 连结 $GE,BG,GD,GC,AG,AD$. 由对称的性质可得 $GE=EC,$
$\therefore DE+EC$ 的最小值即为 $DE+GE$ 的最小值.
$\because DE+GE≥ GD,$
$\therefore EF+EC$ 的最小值为 $GD$ 的长.
由对称的性质易得 $∠ ABC=∠ ABG,BC=BG,AC=AG.$
$\because AB=AC,∠ BAC=120^{\circ },\therefore AB=AG,∠ ABC=30^{\circ },$
$\therefore ∠ GBC=∠ ABC+∠ ABG=60^{\circ },\therefore △ GBC$ 为等边三角形.
又 $\because D$ 是线段 $BC$ 的中点, $\therefore GD⊥ BC.$
$\because AB=10,\therefore AD=5,AG=10.$
易知 $G,A,D$ 三点共线, $\therefore GD=AG+AD=15,$
$\therefore EF+EC$ 的最小值为 $15.$