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剪一张锐角三角形纸片，你能用折纸的方法分别折出这个三角形的一条角平分线、中线和高吗？折折看。
答案
解：可以折出，具体方法如下：
1. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使该角的两边完全重合，展开后得到的过这个角顶点的折痕，就是这个三角形的一条角平分线。
2. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，使这两个端点重合，展开后折痕与这条边的交点就是该边的中点，沿该边所对的顶点和这个中点折叠，得到的折痕就是三角形的一条中线。
3. 折高：过三角形任意一个顶点折叠，使折痕同时经过这个顶点，且折痕与该顶点的对边垂直，展开后得到的折痕就是三角形对应边上的高。
1. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使该角的两边完全重合，展开后得到的过这个角顶点的折痕，就是这个三角形的一条角平分线。
2. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，使这两个端点重合，展开后折痕与这条边的交点就是该边的中点，沿该边所对的顶点和这个中点折叠，得到的折痕就是三角形的一条中线。
3. 折高：过三角形任意一个顶点折叠，使折痕同时经过这个顶点，且折痕与该顶点的对边垂直，展开后得到的折痕就是三角形对应边上的高。
解析
【分析】
解题的核心是紧扣三角形角平分线、中线、高的定义，匹配对应的折纸操作：①角平分线的本质是平分内角，因此让角的两边重合折叠，折痕就会平分该角；②中线需要经过对边的中点，因此先通过对折边的两个端点得到边的中点，再连接顶点与中点折叠即可；③高是过顶点且垂直于对边的线段，因此只要折出同时满足“过顶点”“与对边垂直”两个条件的折痕即可。
【解析】
可以折出，具体操作方法如下：
1. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使该角的两边完全重合，展开后得到的过这个角顶点的折痕，就是这个三角形的一条角平分线。
2. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，使这两个端点重合，展开后折痕与这条边的交点就是该边的中点，沿该边所对的顶点和这个中点折叠，得到的折痕就是三角形的一条中线。
3. 折高：过三角形任意一个顶点折叠，使折痕同时经过这个顶点，且折痕与该顶点的对边垂直，展开后得到的折痕就是三角形对应边上的高。
【答案】
可以折出，具体方法如下：
1. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使该角的两边完全重合，展开后得到的过这个角顶点的折痕，就是这个三角形的一条角平分线。
2. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，使这两个端点重合，展开后折痕与这条边的交点就是该边的中点，沿该边所对的顶点和这个中点折叠，得到的折痕就是三角形的一条中线。
3. 折高：过三角形任意一个顶点折叠，使折痕同时经过这个顶点，且折痕与该顶点的对边垂直，展开后得到的折痕就是三角形对应边上的高。
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题结合动手操作考查三角形三类特殊线段的定义，需要将抽象的几何概念转化为实际操作，能帮助学生更直观地理解相关概念的本质特征。
【难度系数】
0.8
解题的核心是紧扣三角形角平分线、中线、高的定义，匹配对应的折纸操作：①角平分线的本质是平分内角，因此让角的两边重合折叠，折痕就会平分该角；②中线需要经过对边的中点，因此先通过对折边的两个端点得到边的中点，再连接顶点与中点折叠即可；③高是过顶点且垂直于对边的线段，因此只要折出同时满足“过顶点”“与对边垂直”两个条件的折痕即可。
【解析】
可以折出，具体操作方法如下：
1. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使该角的两边完全重合，展开后得到的过这个角顶点的折痕，就是这个三角形的一条角平分线。
2. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，使这两个端点重合，展开后折痕与这条边的交点就是该边的中点，沿该边所对的顶点和这个中点折叠，得到的折痕就是三角形的一条中线。
3. 折高：过三角形任意一个顶点折叠，使折痕同时经过这个顶点，且折痕与该顶点的对边垂直，展开后得到的折痕就是三角形对应边上的高。
【答案】
可以折出，具体方法如下：
1. 折角平分线：将三角形任意一个内角的两条边对齐折叠，使该角的两边完全重合，展开后得到的过这个角顶点的折痕，就是这个三角形的一条角平分线。
2. 折中线：将三角形任意一条边的两个端点对齐折叠，使这两个端点重合，展开后折痕与这条边的交点就是该边的中点，沿该边所对的顶点和这个中点折叠，得到的折痕就是三角形的一条中线。
3. 折高：过三角形任意一个顶点折叠，使折痕同时经过这个顶点，且折痕与该顶点的对边垂直，展开后得到的折痕就是三角形对应边上的高。
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的中线；三角形的高
【点评】
本题结合动手操作考查三角形三类特殊线段的定义，需要将抽象的几何概念转化为实际操作，能帮助学生更直观地理解相关概念的本质特征。
【难度系数】
0.8
例 如图1-2，已知$∠ B=∠ D=∠ AEF=90°$.
（1）在$△ ADC$中，边$AD$上的高是；
（2）在$△ AEC$中，边$CE$上的高是；
（3）在$△ FEA$中，边$EA$上的高是；
（4）已知$AB=CD=4$，$CE=6$，则$△ AEC$的面积是，$AE=$.
图1-2
（1）在$△ ADC$中，边$AD$上的高是；
（2）在$△ AEC$中，边$CE$上的高是；
（3）在$△ FEA$中，边$EA$上的高是；
（4）已知$AB=CD=4$，$CE=6$，则$△ AEC$的面积是，$AE=$.
图1-2
答案
解：
(1) 在$△ ADC$中，$∠ D=90°$，即$CD⊥ AD$，根据三角形高的定义，边$AD$上的高是$\boldsymbol{CD}$；
(2) 在$△ AEC$中，$∠ B=90°$，即$AB⊥ BE$，点$E$在边$CE$所在直线上，因此$AB⊥ CE$，边$CE$上的高是$\boldsymbol{AB}$；
(3) 在$△ FEA$中，$∠ AEF=90°$，即$FE⊥ EA$，点$F$到边$EA$的垂线段为$EF$，边$EA$上的高是$\boldsymbol{EF}$；
(4) $△ AEC$的面积：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}· CE· AB=\frac{1}{2}×6×4=12$，
又$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}· AE· CD$，将$S_{△ AEC}=12$，$CD=4$代入得：
$\frac{1}{2}× AE×4=12$，
解得$AE=6$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{CD}$；(2) $\boldsymbol{AB}$；(3) $\boldsymbol{EF}$；(4) $\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{6}$。
(1) 在$△ ADC$中，$∠ D=90°$，即$CD⊥ AD$，根据三角形高的定义，边$AD$上的高是$\boldsymbol{CD}$；
(2) 在$△ AEC$中，$∠ B=90°$，即$AB⊥ BE$，点$E$在边$CE$所在直线上，因此$AB⊥ CE$，边$CE$上的高是$\boldsymbol{AB}$；
(3) 在$△ FEA$中，$∠ AEF=90°$，即$FE⊥ EA$，点$F$到边$EA$的垂线段为$EF$，边$EA$上的高是$\boldsymbol{EF}$；
(4) $△ AEC$的面积：
$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}· CE· AB=\frac{1}{2}×6×4=12$，
又$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}· AE· CD$，将$S_{△ AEC}=12$，$CD=4$代入得：
$\frac{1}{2}× AE×4=12$，
解得$AE=6$。
答案依次为：(1) $\boldsymbol{CD}$；(2) $\boldsymbol{AB}$；(3) $\boldsymbol{EF}$；(4) $\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{6}$。
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是这条边上的高。前3问可通过寻找对应边的垂线段，且垂线段的一个端点是三角形的第三个顶点，即可确定高；第(4)问先利用已知的底和对应高计算△AEC的面积，再借助同一三角形面积不变，换用另一组底和高列等式求解AE的长度。
【解析】
(1) 在△ADC中，∠D=90°，即CD⊥AD，CD是顶点C向AD边作的垂线段，因此边AD上的高是CD；
(2) 在△AEC中，∠B=90°，即AB⊥BE，CE与BE在同一直线上，故AB⊥CE，AB是顶点A向CE边作的垂线段，因此边CE上的高是AB；
(3) 在△FEA中，∠AEF=90°，即FE⊥EA，FE是顶点F向EA边作的垂线段，因此边EA上的高是EF；
(4) 计算△AEC的面积：
以CE为底，对应高为AB，代入三角形面积公式得：
$S_{△AEC}=\frac{1}{2}· CE· AB=\frac{1}{2}×6×4=12$；
同一三角形面积不变，若以AE为底，对应高为CD，可得：
$S_{△AEC}=\frac{1}{2}· AE· CD$，将$S_{△AEC}=12$，$CD=4$代入得：
$\frac{1}{2}× AE×4=12$，
解得$AE=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CD}$；(2) $\boldsymbol{AB}$；(3) $\boldsymbol{EF}$；(4) $\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积公式，等积法应用
【点评】
本题侧重考查三角形高的概念辨析和面积公式的灵活应用，找高时需注意高要同时满足“过对应顶点”“垂直于对边”两个条件，等积法是几何中求线段长度的常用方法，需熟练掌握其应用逻辑。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段就是这条边上的高。前3问可通过寻找对应边的垂线段，且垂线段的一个端点是三角形的第三个顶点，即可确定高；第(4)问先利用已知的底和对应高计算△AEC的面积，再借助同一三角形面积不变，换用另一组底和高列等式求解AE的长度。
【解析】
(1) 在△ADC中，∠D=90°，即CD⊥AD，CD是顶点C向AD边作的垂线段，因此边AD上的高是CD；
(2) 在△AEC中，∠B=90°，即AB⊥BE，CE与BE在同一直线上，故AB⊥CE，AB是顶点A向CE边作的垂线段，因此边CE上的高是AB；
(3) 在△FEA中，∠AEF=90°，即FE⊥EA，FE是顶点F向EA边作的垂线段，因此边EA上的高是EF；
(4) 计算△AEC的面积：
以CE为底，对应高为AB，代入三角形面积公式得：
$S_{△AEC}=\frac{1}{2}· CE· AB=\frac{1}{2}×6×4=12$；
同一三角形面积不变，若以AE为底，对应高为CD，可得：
$S_{△AEC}=\frac{1}{2}· AE· CD$，将$S_{△AEC}=12$，$CD=4$代入得：
$\frac{1}{2}× AE×4=12$，
解得$AE=6$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CD}$；(2) $\boldsymbol{AB}$；(3) $\boldsymbol{EF}$；(4) $\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{6}$
【知识点】
三角形高的定义，三角形面积公式，等积法应用
【点评】
本题侧重考查三角形高的概念辨析和面积公式的灵活应用，找高时需注意高要同时满足“过对应顶点”“垂直于对边”两个条件，等积法是几何中求线段长度的常用方法，需熟练掌握其应用逻辑。
【难度系数】
0.8
1. 如图①～③，在△ABC中，AD是边BC上的高，图中的三个∠ABC有什么不同？AD分别在三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
答案
解：
三个∠ABC的不同：
图①中的∠ABC是锐角，图②中的∠ABC是直角，图③中的∠ABC是钝角。
AD的位置：
图①中，AD在△ABC的内部；
图②中，AD与△ABC的边AB重合；
图③中，AD在△ABC的外部。
规律：
锐角三角形的三条高都在三角形内部；
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；
钝角三角形有两条高在三角形的外部。
三个∠ABC的不同：
图①中的∠ABC是锐角，图②中的∠ABC是直角，图③中的∠ABC是钝角。
AD的位置：
图①中，AD在△ABC的内部；
图②中，AD与△ABC的边AB重合；
图③中，AD在△ABC的外部。
规律：
锐角三角形的三条高都在三角形内部；
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；
钝角三角形有两条高在三角形的外部。
解析
【分析】
解题时首先回忆角的分类标准，先分别判断三个图中∠ABC的大小类型；再结合三角形高的定义，即从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高，观察AD相对于△ABC的位置；最后将∠ABC的类型对应三角形的分类，即锐角、直角、钝角三角形，总结不同类型三角形高的位置规律即可。
【解析】
1. 判断∠ABC的类型：
根据角的分类规则，小于90°的角为锐角，等于90°的角为直角，大于90°小于180°的角为钝角，可得图①的∠ABC是锐角，图②的∠ABC是直角，图③的∠ABC是钝角。
2. 判断AD的位置：
图①中垂足D在BC边线段上，因此AD在△ABC的内部；
图②中垂足D和点B重合，因此AD与△ABC的边AB重合；
图③中垂足D在CB的延长线上，因此AD在△ABC的外部。
3. 总结规律：
将高的位置和三角形类型对应，可得：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形的外部。
【答案】
三个∠ABC的不同：
图①中的∠ABC是锐角，图②中的∠ABC是直角，图③中的∠ABC是钝角。
AD的位置：
图①中，AD在△ABC的内部；
图②中，AD与△ABC的边AB重合；
图③中，AD在△ABC的外部。
规律：
锐角三角形的三条高都在三角形内部；
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；
钝角三角形有两条高在三角形的外部。
【知识点】
角的分类，三角形的高，三角形高的分布特征
【点评】
本题通过直观对比不同三角形的高的位置，帮助学生深化对三角形高的概念的理解，纠正“三角形的高都在三角形内部”的认知误区，为后续涉及三角形高的计算、证明类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆角的分类标准，先分别判断三个图中∠ABC的大小类型；再结合三角形高的定义，即从顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的高，观察AD相对于△ABC的位置；最后将∠ABC的类型对应三角形的分类，即锐角、直角、钝角三角形，总结不同类型三角形高的位置规律即可。
【解析】
1. 判断∠ABC的类型：
根据角的分类规则，小于90°的角为锐角，等于90°的角为直角，大于90°小于180°的角为钝角，可得图①的∠ABC是锐角，图②的∠ABC是直角，图③的∠ABC是钝角。
2. 判断AD的位置：
图①中垂足D在BC边线段上，因此AD在△ABC的内部；
图②中垂足D和点B重合，因此AD与△ABC的边AB重合；
图③中垂足D在CB的延长线上，因此AD在△ABC的外部。
3. 总结规律：
将高的位置和三角形类型对应，可得：锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；钝角三角形有两条高在三角形的外部。
【答案】
三个∠ABC的不同：
图①中的∠ABC是锐角，图②中的∠ABC是直角，图③中的∠ABC是钝角。
AD的位置：
图①中，AD在△ABC的内部；
图②中，AD与△ABC的边AB重合；
图③中，AD在△ABC的外部。
规律：
锐角三角形的三条高都在三角形内部；
直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；
钝角三角形有两条高在三角形的外部。
【知识点】
角的分类，三角形的高，三角形高的分布特征
【点评】
本题通过直观对比不同三角形的高的位置，帮助学生深化对三角形高的概念的理解，纠正“三角形的高都在三角形内部”的认知误区，为后续涉及三角形高的计算、证明类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
2. (1) 如图①，线段AD，BE，CF是$△ ABC$的三条中线，则$AB=2$ ，$BD=$ ，$AE=\frac{1}{2}$ ；
(2) 如图②，线段AD，BE，CF是$△ ABC$的三条角平分线，则$∠1=$ ，$∠3=\frac{1}{2}$ ，$∠ ACB=2$ 。
(2) 如图②，线段AD，BE，CF是$△ ABC$的三条角平分线，则$∠1=$ ，$∠3=\frac{1}{2}$ ，$∠ ACB=2$ 。
答案
(1) $\boldsymbol{AF}$（或$BF$）；$\boldsymbol{CD}$（或$\frac{1}{2}BC$）；$\boldsymbol{AC}$
(2) $\boldsymbol{∠ 2}$（或$\frac{1}{2}∠ BAC$）；$\boldsymbol{∠ ABC}$；$\boldsymbol{∠ 4}$（或$∠ ACF$）
(2) $\boldsymbol{∠ 2}$（或$\frac{1}{2}∠ BAC$）；$\boldsymbol{∠ ABC}$；$\boldsymbol{∠ 4}$（或$∠ ACF$）
解析
【分析】
解决这道题需要先明确三角形中线和角平分线的定义，再结合图形对应分析各边、各角的数量关系：
1. 对于第(1)问，三角形的中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，因此中线在对边上的端点是该边的中点，中点会将对应边分成两条相等的线段，据此推导各边的数量关系即可；
2. 对于第(2)问，三角形的角平分线是将三角形一个内角分成两个相等的角的线段，因此角平分线会把对应内角分成两个相等的角，据此推导各角的数量关系即可。
【解析】
(1) 已知AD、BE、CF是$△ ABC$的三条中线：
CF是AB边上的中线，说明F是AB的中点，因此$AB=2AF=2BF$；
AD是BC边上的中线，说明D是BC的中点，因此$BD=CD=\frac{1}{2}BC$；
BE是AC边上的中线，说明E是AC的中点，因此$AE=\frac{1}{2}AC$。
(2) 已知AD、BE、CF是$△ ABC$的三条角平分线：
AD是$∠ BAC$的角平分线，因此AD将$∠ BAC$分成两个相等的角，即$∠ 1=∠ 2=\frac{1}{2}∠ BAC$；
BE是$∠ ABC$的角平分线，因此BE将$∠ ABC$分成两个相等的角，即$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ABC$；
CF是$∠ ACB$的角平分线，因此CF将$∠ ACB$分成两个相等的角，即$∠ ACB=2∠ 4=2∠ ACF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AF}$（或$BF$）；$\boldsymbol{CD}$（或$\frac{1}{2}BC$）；$\boldsymbol{AC}$
(2) $\boldsymbol{∠ 2}$（或$\frac{1}{2}∠ BAC$）；$\boldsymbol{∠ ABC}$；$\boldsymbol{∠ 4}$（或$∠ ACF$）
【知识点】
三角形中线的定义；三角形角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对三角形中线、角平分线定义的掌握，只要能结合图形识别中线、角平分线对应的边和角，就能快速得出结果，是三角形相关概念的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
解决这道题需要先明确三角形中线和角平分线的定义，再结合图形对应分析各边、各角的数量关系：
1. 对于第(1)问，三角形的中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，因此中线在对边上的端点是该边的中点，中点会将对应边分成两条相等的线段，据此推导各边的数量关系即可；
2. 对于第(2)问，三角形的角平分线是将三角形一个内角分成两个相等的角的线段，因此角平分线会把对应内角分成两个相等的角，据此推导各角的数量关系即可。
【解析】
(1) 已知AD、BE、CF是$△ ABC$的三条中线：
CF是AB边上的中线，说明F是AB的中点，因此$AB=2AF=2BF$；
AD是BC边上的中线，说明D是BC的中点，因此$BD=CD=\frac{1}{2}BC$；
BE是AC边上的中线，说明E是AC的中点，因此$AE=\frac{1}{2}AC$。
(2) 已知AD、BE、CF是$△ ABC$的三条角平分线：
AD是$∠ BAC$的角平分线，因此AD将$∠ BAC$分成两个相等的角，即$∠ 1=∠ 2=\frac{1}{2}∠ BAC$；
BE是$∠ ABC$的角平分线，因此BE将$∠ ABC$分成两个相等的角，即$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ABC$；
CF是$∠ ACB$的角平分线，因此CF将$∠ ACB$分成两个相等的角，即$∠ ACB=2∠ 4=2∠ ACF$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{AF}$（或$BF$）；$\boldsymbol{CD}$（或$\frac{1}{2}BC$）；$\boldsymbol{AC}$
(2) $\boldsymbol{∠ 2}$（或$\frac{1}{2}∠ BAC$）；$\boldsymbol{∠ ABC}$；$\boldsymbol{∠ 4}$（或$∠ ACF$）
【知识点】
三角形中线的定义；三角形角平分线的定义
【点评】
本题是基础概念应用题，核心考查对三角形中线、角平分线定义的掌握，只要能结合图形识别中线、角平分线对应的边和角，就能快速得出结果，是三角形相关概念的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
