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3.（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD。图中有个三角形，它们分别是：。
（2）在△ABC中，已知AC＜AB＜BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系是。（用“＜”号连接）
（2）在△ABC中，已知AC＜AB＜BC，那么∠A，∠B，∠C的大小关系是。（用“＜”号连接）
答案
解：
（1）3；△ABD、△ADC、△ABC
（2）∠B＜∠C＜∠A
（1）3；△ABD、△ADC、△ABC
（2）∠B＜∠C＜∠A
解析
【分析】
（1）要准确数出图中的三角形，做到不重不漏，可按照从小到大的顺序计数：先找AD分割出的两个小三角形，再找两个小三角形组合成的大三角形，即可得到总数和对应的三角形名称。
（2）已知三角形三边的大小关系比较对应内角的大小，需用到三角形“大边对大角，小边对小角”的性质，先找准每条边对应的对角，再根据边的大小关系推导角的大小关系即可。
【解析】
（1）按顺序数三角形：
单个的小三角形有△ABD、△ADC共2个，由两个小三角形组合成的大三角形是△ABC，合计2+1=3个，分别为△ABD、△ADC、△ABC。
（2）在△ABC中，根据“同一三角形内，大边对大角，小边对小角”的性质：
边AC的对角是∠B，边AB的对角是∠C，边BC的对角是∠A，
已知AC＜AB＜BC，因此对应角的大小关系为∠B＜∠C＜∠A。
【答案】
（1）3；△ABD、△ADC、△ABC
（2）∠B＜∠C＜∠A
【知识点】
三角形的识别；三角形大边对大角性质
【点评】
本题是三角形的基础题型，主要考察三角形的计数和边角性质的应用，计数时按照一定顺序可避免漏数、重数，应用边角性质时找准边对应的对角即可快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
（1）要准确数出图中的三角形，做到不重不漏，可按照从小到大的顺序计数：先找AD分割出的两个小三角形，再找两个小三角形组合成的大三角形，即可得到总数和对应的三角形名称。
（2）已知三角形三边的大小关系比较对应内角的大小，需用到三角形“大边对大角，小边对小角”的性质，先找准每条边对应的对角，再根据边的大小关系推导角的大小关系即可。
【解析】
（1）按顺序数三角形：
单个的小三角形有△ABD、△ADC共2个，由两个小三角形组合成的大三角形是△ABC，合计2+1=3个，分别为△ABD、△ADC、△ABC。
（2）在△ABC中，根据“同一三角形内，大边对大角，小边对小角”的性质：
边AC的对角是∠B，边AB的对角是∠C，边BC的对角是∠A，
已知AC＜AB＜BC，因此对应角的大小关系为∠B＜∠C＜∠A。
【答案】
（1）3；△ABD、△ADC、△ABC
（2）∠B＜∠C＜∠A
【知识点】
三角形的识别；三角形大边对大角性质
【点评】
本题是三角形的基础题型，主要考察三角形的计数和边角性质的应用，计数时按照一定顺序可避免漏数、重数，应用边角性质时找准边对应的对角即可快速解题，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
4. 用11根火柴棒首尾相连搭成一个三角形，能搭出多少种不同的三角形？（第3题）
写出每种三角形三边的火柴棒根数.
写出每种三角形三边的火柴棒根数.
答案
解：设三角形三边的火柴棒根数分别为正整数$a,b,c$，且满足$a ≤ b ≤ c$，由题意得$a+b+c=11$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$。
将$a+b=11-c$代入不等式，得$11-c＞c$，解得$c＜5.5$。
又因为$c$是最长边，所以$c ≥ \frac{11}{3}$，即$c ≥ 4$。
分情况讨论：
1. 当$c=5$时，$a+b=6$，结合$a ≤ b ≤ 5$，可得符合条件的正整数解为：
$a=1,b=5$，三边长为$1,5,5$；
$a=2,b=4$，三边长为$2,4,5$；
$a=3,b=3$，三边长为$3,3,5$。
2. 当$c=4$时，$a+b=7$，结合$a ≤ b ≤ 4$，可得符合条件的正整数解为：
$a=3,b=4$，三边长为$3,4,4$。
综上，能搭出4种不同的三角形，三边的火柴棒根数分别为1,5,5；2,4,5；3,3,5；3,4,4。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$。
将$a+b=11-c$代入不等式，得$11-c＞c$，解得$c＜5.5$。
又因为$c$是最长边，所以$c ≥ \frac{11}{3}$，即$c ≥ 4$。
分情况讨论：
1. 当$c=5$时，$a+b=6$，结合$a ≤ b ≤ 5$，可得符合条件的正整数解为：
$a=1,b=5$，三边长为$1,5,5$；
$a=2,b=4$，三边长为$2,4,5$；
$a=3,b=3$，三边长为$3,3,5$。
2. 当$c=4$时，$a+b=7$，结合$a ≤ b ≤ 4$，可得符合条件的正整数解为：
$a=3,b=4$，三边长为$3,4,4$。
综上，能搭出4种不同的三角形，三边的火柴棒根数分别为1,5,5；2,4,5；3,3,5；3,4,4。
解析
【分析】
要解决该问题，首先明确火柴棒根数为正整数，三角形三边火柴棒总数为11，同时需满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。为避免重复计数，可将三边长按从小到大的顺序设为$a ≤ b ≤ c$（$c$为最长边），先结合周长和三边关系确定最长边$c$的取值范围，再对$c$的每个可能取值分类讨论，逐一筛选出符合条件的正整数解即可。
【解析】
设三角形三边的火柴棒根数分别为正整数$a,b,c$，且满足$a ≤ b ≤ c$，由题意得$a+b+c=11$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$。
将$a+b=11-c$代入不等式，得$11-c＞c$，解得$c＜5.5$。
又因为$c$是最长边，所以$c ≥ \frac{11}{3}$，结合$c$为正整数可得$c ≥ 4$。
分情况讨论：
1. 当$c=5$时，$a+b=6$，结合$a ≤ b ≤ 5$，可得符合条件的正整数解为：
$a=1,b=5$，三边长为$1,5,5$；
$a=2,b=4$，三边长为$2,4,5$；
$a=3,b=3$，三边长为$3,3,5$。
2. 当$c=4$时，$a+b=7$，结合$a ≤ b ≤ 4$，可得符合条件的正整数解为：
$a=3,b=4$，三边长为$3,4,4$。
【答案】
能搭出4种不同的三角形，三边的火柴棒根数分别为1,5,5；2,4,5；3,3,5；3,4,4。
【知识点】
三角形三边关系、分类讨论、不等式应用
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活运用，解题时通过限定边长大小顺序的技巧避免重复计数，结合不等式确定边长范围后逐一排查，能够有效培养思维的严谨性，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先明确火柴棒根数为正整数，三角形三边火柴棒总数为11，同时需满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。为避免重复计数，可将三边长按从小到大的顺序设为$a ≤ b ≤ c$（$c$为最长边），先结合周长和三边关系确定最长边$c$的取值范围，再对$c$的每个可能取值分类讨论，逐一筛选出符合条件的正整数解即可。
【解析】
设三角形三边的火柴棒根数分别为正整数$a,b,c$，且满足$a ≤ b ≤ c$，由题意得$a+b+c=11$。
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，可得$a+b＞c$。
将$a+b=11-c$代入不等式，得$11-c＞c$，解得$c＜5.5$。
又因为$c$是最长边，所以$c ≥ \frac{11}{3}$，结合$c$为正整数可得$c ≥ 4$。
分情况讨论：
1. 当$c=5$时，$a+b=6$，结合$a ≤ b ≤ 5$，可得符合条件的正整数解为：
$a=1,b=5$，三边长为$1,5,5$；
$a=2,b=4$，三边长为$2,4,5$；
$a=3,b=3$，三边长为$3,3,5$。
2. 当$c=4$时，$a+b=7$，结合$a ≤ b ≤ 4$，可得符合条件的正整数解为：
$a=3,b=4$，三边长为$3,4,4$。
【答案】
能搭出4种不同的三角形，三边的火柴棒根数分别为1,5,5；2,4,5；3,3,5；3,4,4。
【知识点】
三角形三边关系、分类讨论、不等式应用
【点评】
本题重点考查三角形三边关系的灵活运用，解题时通过限定边长大小顺序的技巧避免重复计数，结合不等式确定边长范围后逐一排查，能够有效培养思维的严谨性，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】
0.7
5. 用一根长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
（1）已知腰长是底边长的2倍,各边的长分别是多少?
（2）能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗?若能,各边的长是多少?
（1）已知腰长是底边长的2倍,各边的长分别是多少?
（2）能围成有一边长为4 cm的等腰三角形吗?若能,各边的长是多少?
答案
解：
(1) 设底边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则腰长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
由题意得：
$ x + 2x + 2x = 18 $
解得 $ x = 3.6 $，则腰长 $ 2x = 7.2 $。
验证三边关系：$ 3.6 + 7.2 ＞ 7.2 $，符合三角形三边要求。
因此该等腰三角形三边长分别为$ 3.6 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $。
(2) 分两种情况讨论：
① 当4 cm的边为底边时，腰长为$ \frac{18-4}{2} = 7 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，7 cm，7 cm，满足$ 4 + 7 ＞ 7 $，符合三角形三边关系。
② 当4 cm的边为腰时，底边长为$ 18 - 4 × 2 = 10 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，4 cm，10 cm，$ 4 + 4 ＜ 10 $，不满足三角形三边关系，该情况不成立。
因此能围成符合条件的等腰三角形，各边长分别为4 cm，7 cm，7 cm。
(1) 设底边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则腰长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
由题意得：
$ x + 2x + 2x = 18 $
解得 $ x = 3.6 $，则腰长 $ 2x = 7.2 $。
验证三边关系：$ 3.6 + 7.2 ＞ 7.2 $，符合三角形三边要求。
因此该等腰三角形三边长分别为$ 3.6 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $。
(2) 分两种情况讨论：
① 当4 cm的边为底边时，腰长为$ \frac{18-4}{2} = 7 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，7 cm，7 cm，满足$ 4 + 7 ＞ 7 $，符合三角形三边关系。
② 当4 cm的边为腰时，底边长为$ 18 - 4 × 2 = 10 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，4 cm，10 cm，$ 4 + 4 ＜ 10 $，不满足三角形三边关系，该情况不成立。
因此能围成符合条件的等腰三角形，各边长分别为4 cm，7 cm，7 cm。
解析
【分析】
（1）第一问可利用等腰三角形两腰相等的性质，结合“腰长是底边长的2倍”的条件设未知数，再根据周长为18cm列方程求解，得到边长后需验证是否满足三角形三边关系，确保能构成三角形。
（2）第二问中“一边长为4cm”未明确是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①4cm为底边；②4cm为腰。分别计算出其余边长后，同样要验证三边关系，不符合的情况需舍去。
【解析】
(1) 设底边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则腰长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
由题意得：
$ x + 2x + 2x = 18 $
解得 $ x = 3.6 $，则腰长 $ 2x = 2×3.6=7.2 \, \mathrm{cm} $。
验证三边关系：$ 3.6 + 7.2 ＞ 7.2 $，符合三角形三边要求。
(2) 分两种情况讨论：
① 当4 cm的边为底边时，腰长为$ \frac{18-4}{2} = 7 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，7 cm，7 cm，验证得$ 4 + 7 ＞ 7 $，符合三角形三边关系。
② 当4 cm的边为腰时，底边长为$ 18 - 4 × 2 = 10 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，4 cm，10 cm，验证得$ 4 + 4 =8＜ 10 $，不满足三角形三边关系，该情况不成立。
【答案】
(1) 三边长分别为$ 3.6 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $；
(2) 能围成，三边长分别为$ 4 \, \mathrm{cm} $，$ 7 \, \mathrm{cm} $，$ 7 \, \mathrm{cm} $。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的基础题型，易错点为未对已知边长的类型（腰/底边）分类讨论，或者计算后忽略验证三角形三边关系导致错解，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可利用等腰三角形两腰相等的性质，结合“腰长是底边长的2倍”的条件设未知数，再根据周长为18cm列方程求解，得到边长后需验证是否满足三角形三边关系，确保能构成三角形。
（2）第二问中“一边长为4cm”未明确是腰还是底边，因此需要分两种情况讨论：①4cm为底边；②4cm为腰。分别计算出其余边长后，同样要验证三边关系，不符合的情况需舍去。
【解析】
(1) 设底边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则腰长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
由题意得：
$ x + 2x + 2x = 18 $
解得 $ x = 3.6 $，则腰长 $ 2x = 2×3.6=7.2 \, \mathrm{cm} $。
验证三边关系：$ 3.6 + 7.2 ＞ 7.2 $，符合三角形三边要求。
(2) 分两种情况讨论：
① 当4 cm的边为底边时，腰长为$ \frac{18-4}{2} = 7 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，7 cm，7 cm，验证得$ 4 + 7 ＞ 7 $，符合三角形三边关系。
② 当4 cm的边为腰时，底边长为$ 18 - 4 × 2 = 10 \, \mathrm{cm} $。
此时三边长为4 cm，4 cm，10 cm，验证得$ 4 + 4 =8＜ 10 $，不满足三角形三边关系，该情况不成立。
【答案】
(1) 三边长分别为$ 3.6 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $，$ 7.2 \, \mathrm{cm} $；
(2) 能围成，三边长分别为$ 4 \, \mathrm{cm} $，$ 7 \, \mathrm{cm} $，$ 7 \, \mathrm{cm} $。
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形边长计算的基础题型，易错点为未对已知边长的类型（腰/底边）分类讨论，或者计算后忽略验证三角形三边关系导致错解，解题时要养成分类讨论后验证合理性的习惯。
【难度系数】
0.7
6. 已知:如图,在$△ ABC$中,点$P$在$△ ABC$内部.
求证:$AC+CB＞AP+PB$.
求证:$AC+CB＞AP+PB$.
答案
证明：
延长AP，交BC于点D。
在△ACD中，由三角形任意两边之和大于第三边，得
$AC + CD ＞ AD$，
又$AD = AP + PD$，
因此$AC + CD ＞ AP + PD$ ①。
在△PDB中，同理可得
$PD + DB ＞ PB$ ②。
将①②两式左右两边分别相加，得
$AC + CD + PD + DB ＞ AP + PD + PB$，
因为$CD + DB = CB$，代入后化简得
$AC + CB + PD ＞ AP + PB + PD$，
两边同时减去PD，可得
$AC + CB ＞ AP + PB$。
延长AP，交BC于点D。
在△ACD中，由三角形任意两边之和大于第三边，得
$AC + CD ＞ AD$，
又$AD = AP + PD$，
因此$AC + CD ＞ AP + PD$ ①。
在△PDB中，同理可得
$PD + DB ＞ PB$ ②。
将①②两式左右两边分别相加，得
$AC + CD + PD + DB ＞ AP + PD + PB$，
因为$CD + DB = CB$，代入后化简得
$AC + CB + PD ＞ AP + PB + PD$，
两边同时减去PD，可得
$AC + CB ＞ AP + PB$。
解析
【分析】
要证明线段和的不等关系，首先想到利用三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）。待证的两组线段不在同一个三角形中，因此需要构造辅助线把相关线段拆分到不同三角形中。我们可以延长AP交BC于点D，将AC、CB拆分为AC+CD、DB两部分，分别在△ACD和△PDB中应用三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段PD后化简即可得到要证的结论。
【解析】
证明：延长AP，交BC于点D。
在△ACD中，由三角形任意两边之和大于第三边，得
$AC + CD ＞ AD$，
又$AD = AP + PD$，
因此$AC + CD ＞ AP + PD$ ①。
在△PDB中，同理可得
$PD + DB ＞ PB$ ②。
将①②两式左右两边分别相加，得
$AC + CD + PD + DB ＞ AP + PD + PB$，
因为$CD + DB = CB$，代入后化简得
$AC + CB + PD ＞ AP + PB + PD$，
两边同时减去PD，可得
$AC + CB ＞ AP + PB$。
【答案】
$AC+CB＞AP+PB$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题关键是通过构造辅助线，将分散的线段关系转化到多个三角形中，再结合不等式的运算消去中间量，能够很好地锻炼学生的几何逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
要证明线段和的不等关系，首先想到利用三角形三边关系（三角形任意两边之和大于第三边）。待证的两组线段不在同一个三角形中，因此需要构造辅助线把相关线段拆分到不同三角形中。我们可以延长AP交BC于点D，将AC、CB拆分为AC+CD、DB两部分，分别在△ACD和△PDB中应用三边关系得到两个不等式，再将两个不等式相加，消去公共线段PD后化简即可得到要证的结论。
【解析】
证明：延长AP，交BC于点D。
在△ACD中，由三角形任意两边之和大于第三边，得
$AC + CD ＞ AD$，
又$AD = AP + PD$，
因此$AC + CD ＞ AP + PD$ ①。
在△PDB中，同理可得
$PD + DB ＞ PB$ ②。
将①②两式左右两边分别相加，得
$AC + CD + PD + DB ＞ AP + PD + PB$，
因为$CD + DB = CB$，代入后化简得
$AC + CB + PD ＞ AP + PB + PD$，
两边同时减去PD，可得
$AC + CB ＞ AP + PB$。
【答案】
$AC+CB＞AP+PB$
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的基本性质
【点评】
本题是三角形三边关系的典型应用题型，解题关键是通过构造辅助线，将分散的线段关系转化到多个三角形中，再结合不等式的运算消去中间量，能够很好地锻炼学生的几何逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6
