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2. 用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系.
(1)当菱形的面积为20时,其中一条对角线的长$y$与另一条对角线的长$x$之间的关系.
(2)当功是50 J时,力$F$(单位:N)与物体在力的方向上移动的距离$s$(单位:m)之间的关系.
(3)密铺地面,需要铺的地面面积为$a\ \mathrm{m}^2$,$a$为定值,$a＞0$,所需的地砖数量$y$(单位:块)与正方形地砖的面积$x$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间的关系.
(1)当菱形的面积为20时,其中一条对角线的长$y$与另一条对角线的长$x$之间的关系.
(2)当功是50 J时,力$F$(单位:N)与物体在力的方向上移动的距离$s$(单位:m)之间的关系.
(3)密铺地面,需要铺的地面面积为$a\ \mathrm{m}^2$,$a$为定值,$a＞0$,所需的地砖数量$y$(单位:块)与正方形地砖的面积$x$(单位:$\mathrm{m}^2$)之间的关系.
答案
2. 【解】(1) $\because \frac{1}{2}xy=20$,
$\therefore y=\frac{40}{x}$.
(2) $\because Fs=50$,
$\therefore F=\frac{50}{s}$.
(3) $\because xy=a ,a＞0$,
$\therefore y=\frac{a}{x}(a＞0)$.
$\therefore y=\frac{40}{x}$.
(2) $\because Fs=50$,
$\therefore F=\frac{50}{s}$.
(3) $\because xy=a ,a＞0$,
$\therefore y=\frac{a}{x}(a＞0)$.
解析
【分析】
本题要求结合实际场景的等量关系列变量间的函数解析式，解题思路如下：首先回忆各问题对应的基础公式，分别为菱形面积公式、功的计算公式、总面积与地砖数量、单块地砖面积的关系；其次将题中给出的定值代入对应公式，得到含两个变量的等式；最后对等式做变形，将因变量单独放在等号一侧，即可得到所求的函数解析式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【解析】
(1) 由菱形面积公式$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2} ×$ 两条对角线长度的乘积，已知面积为20，代入得：
$\because \frac{1}{2}xy=20$
等式变形得：$\therefore y=\frac{40}{x}$
(2) 由功的计算公式$W=Fs$，已知功$W=50\ \mathrm{J}$，代入得：
$\because Fs=50$
等式变形得：$\therefore F=\frac{50}{s}$
(3) 由总地面面积=单块地砖面积$×$地砖数量，已知总地面面积为定值$a(a＞0)$，代入得：
$\because xy=a(a＞0)$
等式变形得：$\therefore y=\frac{a}{x}(a＞0)$
【答案】
(1) $y=\frac{40}{x}$；(2) $F=\frac{50}{s}$；(3) $y=\frac{a}{x}(a＞0)$
【知识点】
1. 反比例函数应用 2. 菱形面积计算 3. 功的计算
【点评】
本题属于反比例函数应用的基础题型，解题核心是找准不同场景下的等量关系，牢记几何、物理相关基础公式即可求解，注意不要遗漏实际问题中自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
本题要求结合实际场景的等量关系列变量间的函数解析式，解题思路如下：首先回忆各问题对应的基础公式，分别为菱形面积公式、功的计算公式、总面积与地砖数量、单块地砖面积的关系；其次将题中给出的定值代入对应公式，得到含两个变量的等式；最后对等式做变形，将因变量单独放在等号一侧，即可得到所求的函数解析式，同时注意实际问题中自变量的取值要符合现实意义。
【解析】
(1) 由菱形面积公式$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2} ×$ 两条对角线长度的乘积，已知面积为20，代入得：
$\because \frac{1}{2}xy=20$
等式变形得：$\therefore y=\frac{40}{x}$
(2) 由功的计算公式$W=Fs$，已知功$W=50\ \mathrm{J}$，代入得：
$\because Fs=50$
等式变形得：$\therefore F=\frac{50}{s}$
(3) 由总地面面积=单块地砖面积$×$地砖数量，已知总地面面积为定值$a(a＞0)$，代入得：
$\because xy=a(a＞0)$
等式变形得：$\therefore y=\frac{a}{x}(a＞0)$
【答案】
(1) $y=\frac{40}{x}$；(2) $F=\frac{50}{s}$；(3) $y=\frac{a}{x}(a＞0)$
【知识点】
1. 反比例函数应用 2. 菱形面积计算 3. 功的计算
【点评】
本题属于反比例函数应用的基础题型，解题核心是找准不同场景下的等量关系，牢记几何、物理相关基础公式即可求解，注意不要遗漏实际问题中自变量的取值限制。
【难度系数】
0.8
【典型例题3】已知$y$是$2x$的反比例函数，并且当$x=2$时，$y=3$.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=5$时，求$y$的值.
【解】(1)设$y=\dfrac{k}{2x}(k≠0)$.
∵当$x=2$时，$y=3$，
∴$3=\dfrac{k}{2×2}$.
解得$k=12$.
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)把$x=5$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$y=\dfrac{6}{5}=1.2$.
规律方法 先根据给出的函数关系设出此函数，然后将对应值代入求解，即可得到要求的函数解析式.
(1)写出$y$关于$x$的函数解析式.
(2)当$x=5$时，求$y$的值.
【解】(1)设$y=\dfrac{k}{2x}(k≠0)$.
∵当$x=2$时，$y=3$，
∴$3=\dfrac{k}{2×2}$.
解得$k=12$.
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$.
(2)把$x=5$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得$y=\dfrac{6}{5}=1.2$.
规律方法 先根据给出的函数关系设出此函数，然后将对应值代入求解，即可得到要求的函数解析式.
答案
解：(1) 设$y=\dfrac{k}{2x}(k≠0)$。
∵当$x=2$时，$y=3$，
∴$3=\dfrac{k}{2×2}$，
解得$k=12$。
将$k=12$代入所设解析式，化简得$y=\dfrac{6}{x}$。
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得
$y=\dfrac{6}{5}=1.2$。
∵当$x=2$时，$y=3$，
∴$3=\dfrac{k}{2×2}$，
解得$k=12$。
将$k=12$代入所设解析式，化简得$y=\dfrac{6}{x}$。
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得
$y=\dfrac{6}{5}=1.2$。
解析
【分析】
解决第(1)问首先要结合反比例函数的定义思考：题目明确y是2x的反比例函数，因此需将2x看作整体作为自变量，设出对应的反比例函数形式；再将已知的x=2、y=3代入所设表达式，求解未知系数k；最后化简表达式即可得到y关于x的函数解析式。第(2)问是求函数值的基础问题，直接将x=5代入第(1)问求出的解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y=\dfrac{k}{2x}(k≠0)$。
∵当$x=2$时，$y=3$，
∴$3=\dfrac{k}{2×2}$，
解得$k=12$。
将$k=12$代入所设解析式，化简得$y=\dfrac{6}{x}$。
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得
$y=\dfrac{6}{5}=1.2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{6}{x}$；(2) $y=\dfrac{6}{5}$（或1.2）
【知识点】
反比例函数的定义，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数概念的理解和待定系数法的应用，解题时需注意题目中反比例关系对应的自变量是2x，避免设解析式时混淆自变量导致出错，掌握基础方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问首先要结合反比例函数的定义思考：题目明确y是2x的反比例函数，因此需将2x看作整体作为自变量，设出对应的反比例函数形式；再将已知的x=2、y=3代入所设表达式，求解未知系数k；最后化简表达式即可得到y关于x的函数解析式。第(2)问是求函数值的基础问题，直接将x=5代入第(1)问求出的解析式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 设$y=\dfrac{k}{2x}(k≠0)$。
∵当$x=2$时，$y=3$，
∴$3=\dfrac{k}{2×2}$，
解得$k=12$。
将$k=12$代入所设解析式，化简得$y=\dfrac{6}{x}$。
∴$y$关于$x$的函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(2) 把$x=5$代入$y=\dfrac{6}{x}$，得
$y=\dfrac{6}{5}=1.2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{6}{x}$；(2) $y=\dfrac{6}{5}$（或1.2）
【知识点】
反比例函数的定义，待定系数法求解析式，求函数值
【点评】
本题属于反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数概念的理解和待定系数法的应用，解题时需注意题目中反比例关系对应的自变量是2x，避免设解析式时混淆自变量导致出错，掌握基础方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 已知y是x的反比例函数，并且当$x=3$时，$y=4$，则当$x=4$时，y的值为
3
。答案
3. 3
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆反比例函数的一般形式：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）。解题分三步进行：第一步先设出反比例函数的解析式；第二步将已知的$x=3$、$y=4$代入解析式，求出未知常数$k$的值，确定函数的具体解析式；第三步将$x=4$代入确定好的解析式，计算得到对应的$y$值即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=4$代入解析式，可得：
$4=\frac{k}{3}$，解得$k=3×4=12$。
因此该反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当$x=4$时，代入解析式得：$y=\frac{12}{4}=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.待定系数法 3.函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用类题目，核心考查利用待定系数法求反比例函数解析式的方法，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键，属于基础必得分题型。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆反比例函数的一般形式：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）。解题分三步进行：第一步先设出反比例函数的解析式；第二步将已知的$x=3$、$y=4$代入解析式，求出未知常数$k$的值，确定函数的具体解析式；第三步将$x=4$代入确定好的解析式，计算得到对应的$y$值即可。
【解析】
设该反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k≠0$）。
将$x=3$，$y=4$代入解析式，可得：
$4=\frac{k}{3}$，解得$k=3×4=12$。
因此该反比例函数的解析式为$y=\frac{12}{x}$。
当$x=4$时，代入解析式得：$y=\frac{12}{4}=3$。
【答案】
3
【知识点】
1.反比例函数的概念 2.待定系数法 3.函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础应用类题目，核心考查利用待定系数法求反比例函数解析式的方法，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键，属于基础必得分题型。
【难度系数】
0.9
1. 下列函数解析式中，$y$不是$x$的反比例函数的是（
A.$y=\frac{5}{x}$
B.$y=\frac{x}{3}$
C.$y=\frac{1}{2x}$
D.$xy=3$
B
）A.$y=\frac{5}{x}$
B.$y=\frac{x}{3}$
C.$y=\frac{1}{2x}$
D.$xy=3$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义及常见表达形式，再将每个选项的解析式与反比例函数的形式逐一对比判断，即可选出正确答案。反比例函数的常见形式有三种：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）；②$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{5}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=5≠0$，是反比例函数；
选项B：$y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项C：$y=\frac{1}{2x}$可变形为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=\frac{1}{2}≠0$，是反比例函数；
选项D：$xy=3$可变形为$y=\frac{3}{x}$，符合反比例函数的变形形式，其中$k=3≠0$，是反比例函数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义；函数解析式变形
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的识别，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几种常见表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数的解析式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的定义及常见表达形式，再将每个选项的解析式与反比例函数的形式逐一对比判断，即可选出正确答案。反比例函数的常见形式有三种：①$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）；②$xy=k$（$k$为常数，且$k≠0$）；③$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$）。
【解析】
根据反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数，逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{5}{x}$符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=5≠0$，是反比例函数；
选项B：$y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，符合正比例函数$y=kx$（$k$为常数）的形式，属于正比例函数，不是反比例函数；
选项C：$y=\frac{1}{2x}$可变形为$y=\frac{\frac{1}{2}}{x}$，符合$y=\frac{k}{x}$的形式，其中$k=\frac{1}{2}≠0$，是反比例函数；
选项D：$xy=3$可变形为$y=\frac{3}{x}$，符合反比例函数的变形形式，其中$k=3≠0$，是反比例函数。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；正比例函数的定义；函数解析式变形
【点评】
本题属于基础题，重点考查反比例函数的识别，解题的关键是熟练掌握反比例函数的几种常见表达形式，注意区分反比例函数和正比例函数的解析式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 在函数 $y=\frac{1}{x}$ 中，自变量 $x$ 的取值范围是
$x ≠ 0$
答案
2. $x ≠ 0$
解析
【分析】
要确定函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式的形式，本题函数是分式形式，需结合分式有意义的条件思考：分式有意义的前提是分母不能为0，因此只需让该函数的分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\frac{1}{x}$的表达式为分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴ 分母$x ≠ 0$，
即自变量x的取值范围是$x ≠ 0$。
【答案】
$x ≠ 0$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式型函数自变量取值范围的求解，解题的关键是牢记分式有意义时分母不为0的规则，是代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
要确定函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式的形式，本题函数是分式形式，需结合分式有意义的条件思考：分式有意义的前提是分母不能为0，因此只需让该函数的分母不等于0，即可求出自变量x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 函数$y=\frac{1}{x}$的表达式为分式，分式有意义的条件是分母不为0，
∴ 分母$x ≠ 0$，
即自变量x的取值范围是$x ≠ 0$。
【答案】
$x ≠ 0$
【知识点】
1. 分式有意义的条件
2. 函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题型，核心考查分式型函数自变量取值范围的求解，解题的关键是牢记分式有意义时分母不为0的规则，是代数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.9
3. 将反比例函数 $y=-\dfrac{3}{4x}$ 写成 $y=\dfrac{k}{x}$ 的形式，则k的值为
$-\dfrac{3}{4}$
。答案
3. $-\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的标准形式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $），解题的核心是对给出的函数表达式进行恒等变形，将其整理为标准形式后，直接对应得到$ k $的值即可。变形时注意要把常数部分整体作为分子，单独把$ x $放在分母位置。
【解析】
首先对给定的反比例函数进行变形：
$y = -\frac{3}{4x} = \frac{-\frac{3}{4}}{x}$
将变形后的式子和反比例函数标准形式$ y = \frac{k}{x} $对比，可得$ k = -\frac{3}{4} $。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
反比例函数的一般形式；分式的恒等变形
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对反比例函数标准形式的识别，解题时注意符号不要出错，熟练掌握基本形式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确反比例函数的标准形式为$ y = \frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k ≠ 0 $），解题的核心是对给出的函数表达式进行恒等变形，将其整理为标准形式后，直接对应得到$ k $的值即可。变形时注意要把常数部分整体作为分子，单独把$ x $放在分母位置。
【解析】
首先对给定的反比例函数进行变形：
$y = -\frac{3}{4x} = \frac{-\frac{3}{4}}{x}$
将变形后的式子和反比例函数标准形式$ y = \frac{k}{x} $对比，可得$ k = -\frac{3}{4} $。
【答案】
$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】
反比例函数的一般形式；分式的恒等变形
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点是对反比例函数标准形式的识别，解题时注意符号不要出错，熟练掌握基本形式即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4.某蓄电池的电压为 48 V,使用此蓄电池时,电流 I(单位:A)关于电阻 R(单位:Ω)的函数解析式为$I=\frac{48}{R}$.当 R=24 Ω时,I=
2
A.答案
4. 2
解析
【分析】
本题是已知反比例函数的解析式与自变量的取值，求对应函数值的问题。解题思路很清晰：题目已经直接给出了电流I和电阻R的函数关系$I=\frac{48}{R}$，我们只需要把给定的R=24Ω代入到解析式中，进行简单的除法运算，就能得到对应的I的值。
【解析】
将$R=24\ \Omega$代入函数解析式$I=\frac{48}{R}$，可得：
$I=\frac{48}{24}=2$（A）
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数求值
2. 代入法求函数值
【点评】
本题是基础类题目，考查的是反比例函数的基础应用，计算量小，只要掌握将自变量值代入解析式求函数值的方法，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
本题是已知反比例函数的解析式与自变量的取值，求对应函数值的问题。解题思路很清晰：题目已经直接给出了电流I和电阻R的函数关系$I=\frac{48}{R}$，我们只需要把给定的R=24Ω代入到解析式中，进行简单的除法运算，就能得到对应的I的值。
【解析】
将$R=24\ \Omega$代入函数解析式$I=\frac{48}{R}$，可得：
$I=\frac{48}{24}=2$（A）
【答案】
2
【知识点】
1. 反比例函数求值
2. 代入法求函数值
【点评】
本题是基础类题目，考查的是反比例函数的基础应用，计算量小，只要掌握将自变量值代入解析式求函数值的方法，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
