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基础知识·预习
问题1 怎样判断一个函数是不是反比例函数？
问题2 为什么反比例函数解析式中的自变量不能为0？
问题3 如何用待定系数法求反比例函数解析式？
问题1 怎样判断一个函数是不是反比例函数？
问题2 为什么反比例函数解析式中的自变量不能为0？
问题3 如何用待定系数法求反比例函数解析式？
答案
解：
问题1
判断一个函数是否为反比例函数，依据反比例函数的定义：
若一个函数可以整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k$为不等于0的常数）的形式，且满足比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，则这个函数是反比例函数。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），解析式右侧是分式，分式的分母不能为0，若自变量$x$取0，该分式无意义，因此反比例函数解析式中的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为不等于0的常数）；
2. 将已知的一组$x$、$y$的对应值代入所设解析式，得到关于$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出未知系数$k$的值；
4. 将求得的$k$的值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
问题1
判断一个函数是否为反比例函数，依据反比例函数的定义：
若一个函数可以整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k$为不等于0的常数）的形式，且满足比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，则这个函数是反比例函数。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），解析式右侧是分式，分式的分母不能为0，若自变量$x$取0，该分式无意义，因此反比例函数解析式中的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为不等于0的常数）；
2. 将已知的一组$x$、$y$的对应值代入所设解析式，得到关于$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出未知系数$k$的值；
4. 将求得的$k$的值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
解析
【分析】
这三个问题均围绕反比例函数的核心基础概念设置：思考问题1时，需紧扣反比例函数的定义，从函数的表达形式、比例系数要求、自变量次数三个核心维度判断即可；思考问题2时，结合分式有意义的条件分析自变量的取值限制即可；思考问题3时，遵循待定系数法的通用逻辑，按设解析式、代值列方程、求解系数、回代得结果的步骤梳理即可。
【解析】
问题1
判断一个函数是否为反比例函数，依据反比例函数的定义：若一个函数可以整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k$为不等于0的常数）的形式，且满足比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，则这个函数是反比例函数。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），解析式右侧是分式，分式的分母不能为0，若自变量$x$取0，该分式无意义，因此反比例函数解析式中的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为不等于0的常数）；
2. 将已知的一组$x$、$y$的对应值代入所设解析式，得到关于$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出未知系数$k$的值；
4. 将求得的$k$的值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【答案】
问题1
若一个函数可以整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k$为不等于0的常数）的形式，且满足比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，则这个函数是反比例函数。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），解析式右侧是分式，分式的分母不能为0，若自变量$x$取0，该分式无意义，因此反比例函数解析式中的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为不等于0的常数）；
2. 将已知的一组$x$、$y$的对应值代入所设解析式，得到关于$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出未知系数$k$的值；
4. 将求得的$k$的值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数自变量取值范围、待定系数法求解析式
【点评】
这组题目属于反比例函数的基础入门概念题，是后续学习反比例函数图像、性质及实际应用的重要前提，需熟练掌握相关核心规则和基础方法。
【难度系数】
0.9
这三个问题均围绕反比例函数的核心基础概念设置：思考问题1时，需紧扣反比例函数的定义，从函数的表达形式、比例系数要求、自变量次数三个核心维度判断即可；思考问题2时，结合分式有意义的条件分析自变量的取值限制即可；思考问题3时，遵循待定系数法的通用逻辑，按设解析式、代值列方程、求解系数、回代得结果的步骤梳理即可。
【解析】
问题1
判断一个函数是否为反比例函数，依据反比例函数的定义：若一个函数可以整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k$为不等于0的常数）的形式，且满足比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，则这个函数是反比例函数。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），解析式右侧是分式，分式的分母不能为0，若自变量$x$取0，该分式无意义，因此反比例函数解析式中的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为不等于0的常数）；
2. 将已知的一组$x$、$y$的对应值代入所设解析式，得到关于$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出未知系数$k$的值；
4. 将求得的$k$的值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【答案】
问题1
若一个函数可以整理为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的形式，或等价变形为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k≠0$）、$xy=k$（$k$为不等于0的常数）的形式，且满足比例系数$k$不为0、自变量$x$的次数为$-1$，则这个函数是反比例函数。
问题2
反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），解析式右侧是分式，分式的分母不能为0，若自变量$x$取0，该分式无意义，因此反比例函数解析式中的自变量不能为0。
问题3
用待定系数法求反比例函数解析式的步骤为：
1. 设所求反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为不等于0的常数）；
2. 将已知的一组$x$、$y$的对应值代入所设解析式，得到关于$k$的一元一次方程；
3. 解方程求出未知系数$k$的值；
4. 将求得的$k$的值代回所设的解析式，即可得到所求的反比例函数解析式。
【知识点】
反比例函数的定义、反比例函数自变量取值范围、待定系数法求解析式
【点评】
这组题目属于反比例函数的基础入门概念题，是后续学习反比例函数图像、性质及实际应用的重要前提，需熟练掌握相关核心规则和基础方法。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】若函数$y=(k-3)x^{k^2-10}$是y关于x的反比例函数，则k的值是
【解析】根据反比例函数的概念，得$k^2 -10=-1$。解得$k=\pm3$。
因为$k-3≠0$，
所以$k≠3$。所以$k=-3$。
【答案】－3
－3
。【解析】根据反比例函数的概念，得$k^2 -10=-1$。解得$k=\pm3$。
因为$k-3≠0$，
所以$k≠3$。所以$k=-3$。
【答案】－3
答案
根据反比例函数的概念，得$k^2 -10=-1$。解得$k=\pm3$。
因为$k-3≠0$，
所以$k≠3$。所以$k=-3$。
【答案】－3
因为$k-3≠0$，
所以$k≠3$。所以$k=-3$。
【答案】－3
解析
【分析】
解决本题的核心是紧扣反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k\ne0$），需同时满足两个要求：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不为$0$。解题时先根据指数的要求列方程求出$k$的所有可能取值，再结合系数不为$0$的限制条件排除不符合要求的取值，即可得到正确的$k$值。
【解析】
根据反比例函数的概念，自变量$x$的指数应为$-1$，因此列方程：
$k^2 -10=-1$
整理得$k^2=9$，解得$k=\pm3$。
又因为反比例函数的系数不能为$0$，即$k-3≠0$，因此$k≠3$。
舍去$k=3$，最终得$k=-3$。
【答案】
－3
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础应用类题目，易错点是容易忽略“反比例函数系数不为0”的隐含限制条件，直接得出$k=\pm3$的错误结果，求解含参数的函数定义类问题时，要注意对求出的参数值逐一验证限制条件。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是紧扣反比例函数的定义：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k\ne0$），需同时满足两个要求：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是$x$的系数不为$0$。解题时先根据指数的要求列方程求出$k$的所有可能取值，再结合系数不为$0$的限制条件排除不符合要求的取值，即可得到正确的$k$值。
【解析】
根据反比例函数的概念，自变量$x$的指数应为$-1$，因此列方程：
$k^2 -10=-1$
整理得$k^2=9$，解得$k=\pm3$。
又因为反比例函数的系数不能为$0$，即$k-3≠0$，因此$k≠3$。
舍去$k=3$，最终得$k=-3$。
【答案】
－3
【知识点】
反比例函数的定义、解一元二次方程
【点评】
本题属于反比例函数概念的基础应用类题目，易错点是容易忽略“反比例函数系数不为0”的隐含限制条件，直接得出$k=\pm3$的错误结果，求解含参数的函数定义类问题时，要注意对求出的参数值逐一验证限制条件。
【难度系数】
0.7
1. 有下列函数解析式:①$y=\frac{x}{15}$;②$y=-\sqrt{3}x$;③$y=\frac{5}{2x}$;④$xy=-2$;⑤$y=\frac{3}{x-1}$;⑥$y=\frac{1}{x}-3$. 其中$y$是$x$的反比例函数的有
③④
.(填序号)答案
1. ③④
解析
【分析】
要判断哪些是反比例函数，首先需要牢记反比例函数的定义及等价形式：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），还可以变形为$xy=k$（$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）。解题时逐个分析给出的解析式，判断是否符合上述三种形式即可，同时注意区分反比例函数与正比例函数、其他复合形式的函数。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是反比例函数，等价形式有$xy=k$（$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）。
对每个解析式逐一判断：
①$y=\frac{x}{15}=\frac{1}{15}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
②$y=-\sqrt{3}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
③$y=\frac{5}{2x}=\frac{\frac{5}{2}}{x}$，对应$k=\frac{5}{2}\ne0$，符合反比例函数的标准形式；
④将$xy=-2$变形得$y=\frac{-2}{x}$，对应$k=-2\ne0$，符合反比例函数的等价形式；
⑤$y=\frac{3}{x-1}$的分母是$x-1$，自变量不是单独的$x$，是$y$关于$x-1$的反比例函数，不是$y$关于$x$的反比例函数，不符合；
⑥$y=\frac{1}{x}-3$是反比例函数与常数的差，不满足反比例函数的形式要求，不符合。
综上，是反比例函数的为③④。
【答案】
③④
【知识点】
反比例函数的定义；函数解析式变形
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要掌握反比例函数的三种表达形式，解题时要注意易错点：分母中只能是单独的自变量$x$，不能带常数项，函数整体也不能额外加减常数项，$xy=k$的变形形式也是反比例函数的常见考法。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是反比例函数，首先需要牢记反比例函数的定义及等价形式：反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），还可以变形为$xy=k$（$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）。解题时逐个分析给出的解析式，判断是否符合上述三种形式即可，同时注意区分反比例函数与正比例函数、其他复合形式的函数。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）的函数是反比例函数，等价形式有$xy=k$（$k\ne0$）、$y=kx^{-1}$（$k\ne0$）。
对每个解析式逐一判断：
①$y=\frac{x}{15}=\frac{1}{15}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
②$y=-\sqrt{3}x$，是正比例函数，不符合反比例函数定义；
③$y=\frac{5}{2x}=\frac{\frac{5}{2}}{x}$，对应$k=\frac{5}{2}\ne0$，符合反比例函数的标准形式；
④将$xy=-2$变形得$y=\frac{-2}{x}$，对应$k=-2\ne0$，符合反比例函数的等价形式；
⑤$y=\frac{3}{x-1}$的分母是$x-1$，自变量不是单独的$x$，是$y$关于$x-1$的反比例函数，不是$y$关于$x$的反比例函数，不符合；
⑥$y=\frac{1}{x}-3$是反比例函数与常数的差，不满足反比例函数的形式要求，不符合。
综上，是反比例函数的为③④。
【答案】
③④
【知识点】
反比例函数的定义；函数解析式变形
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要掌握反比例函数的三种表达形式，解题时要注意易错点：分母中只能是单独的自变量$x$，不能带常数项，函数整体也不能额外加减常数项，$xy=k$的变形形式也是反比例函数的常见考法。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】已知某市的土地总面积为11 819 km²，用函数解析式表示人均占有的土地面积$S$(单位:$\mathrm{km}^2$/人)与全市总人口$n$(单位:人)之间的关系.
【解】$S=\dfrac{11\ 819}{n}$.
规律方法 找出实际问题中的等量关系，列出对应的函数解析式.
【解】$S=\dfrac{11\ 819}{n}$.
规律方法 找出实际问题中的等量关系，列出对应的函数解析式.
答案
解：
由题意可得等量关系：人均占有土地面积 = 土地总面积 ÷ 全市总人口，
将土地总面积$11819\ \mathrm{km}^2$代入，得到函数解析式为：
$S=\dfrac{11819}{n}\ (n＞0,\ n为正整数)$
由题意可得等量关系：人均占有土地面积 = 土地总面积 ÷ 全市总人口，
将土地总面积$11819\ \mathrm{km}^2$代入，得到函数解析式为：
$S=\dfrac{11819}{n}\ (n＞0,\ n为正整数)$
解析
【分析】
解决本题首先要明确实际问题中的基本数量关系：人均占有量等于对应总资源量除以总人数。首先提取题目已知条件：土地总面积是固定值11819 km²，需求人均土地面积S和总人口n的函数关系，将已知总量代入数量关系后，还要结合自变量n的实际意义（代表人口数）确定其取值范围，即可得到正确的函数解析式。
【解析】
1. 梳理等量关系：由人均占有土地面积的定义可得，$\mathrm{人均占有土地面积} = \mathrm{土地总面积} ÷ \mathrm{全市总人口}$；
2. 代入已知数值：将土地总面积$11819\ \mathrm{km}^2$代入上述等量关系，可得$S=\dfrac{11819}{n}$；
3. 确定自变量取值范围：由于n代表全市总人口，因此n必须为大于0的正整数。
综上可得S与n的函数解析式。
【答案】
$S=\dfrac{11819}{n}\ (n＞0,\ n为正整数)$
【知识点】
反比例函数的应用，函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题关键是找准对应数量关系，易错点是容易忽略自变量的实际意义，漏写自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确实际问题中的基本数量关系：人均占有量等于对应总资源量除以总人数。首先提取题目已知条件：土地总面积是固定值11819 km²，需求人均土地面积S和总人口n的函数关系，将已知总量代入数量关系后，还要结合自变量n的实际意义（代表人口数）确定其取值范围，即可得到正确的函数解析式。
【解析】
1. 梳理等量关系：由人均占有土地面积的定义可得，$\mathrm{人均占有土地面积} = \mathrm{土地总面积} ÷ \mathrm{全市总人口}$；
2. 代入已知数值：将土地总面积$11819\ \mathrm{km}^2$代入上述等量关系，可得$S=\dfrac{11819}{n}$；
3. 确定自变量取值范围：由于n代表全市总人口，因此n必须为大于0的正整数。
综上可得S与n的函数解析式。
【答案】
$S=\dfrac{11819}{n}\ (n＞0,\ n为正整数)$
【知识点】
反比例函数的应用，函数自变量取值范围
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，解题关键是找准对应数量关系，易错点是容易忽略自变量的实际意义，漏写自变量的取值范围。
【难度系数】
0.9
