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4.若$(x-1)^2=2$，则代数式$x^2 -2x +5$的值为
6
。答案
4.6 【解析】由$(x-1)^2=2,$得$x^2-2x+1=2,$即$x^2-2x=1,$所以$x^2-2x+5=1+5=6.$
5. 运用完全平方公式计算：
(1) $(x+7)^2$；(2) $(1.5m - \dfrac{2}{3}n)^2$
(1) $(x+7)^2$；(2) $(1.5m - \dfrac{2}{3}n)^2$
答案
5.【解】(1)原式$=x^2+2·x·7+7^2=x^2+14x+49.$
(2)原式$=(\frac{3}{2}m-\frac{2}{3}n)^2=(\frac{3}{2}m)^2-2×\frac{3}{2}m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2=\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2.$
(2)原式$=(\frac{3}{2}m-\frac{2}{3}n)^2=(\frac{3}{2}m)^2-2×\frac{3}{2}m×\frac{2}{3}n+(\frac{2}{3}n)^2=\frac{9}{4}m^2-2mn+\frac{4}{9}n^2.$
6. 化简:(1)$2(a+1)^2 + (a+1)(1-2a)$；
(2)$(2x+1)^2 - (x+3)(x-3)$。
(2)$(2x+1)^2 - (x+3)(x-3)$。
答案
6.【解】(1)原式$=2a^2+4a+2+a-2a^2+1-2a=3a+3.$
(2)原式$=(4x^2+4x+1)-(x^2-9)=4x^2+4x+1-x^2+9=3x^2+4x+10.$
(2)原式$=(4x^2+4x+1)-(x^2-9)=4x^2+4x+1-x^2+9=3x^2+4x+10.$
7.若$x^2 +4x -4=0$,则$3(x-2)^2 -6(x+1)(x-1)$的值为 （
A.$-6$
B.$6$
C.$18$
D.$30$
B
）A.$-6$
B.$6$
C.$18$
D.$30$
答案
7.B 【解析】原式$=-3(x^2+4x)+18,$由$x^2+4x-4=0$得$x^2+4x=4,$所以原式$=-3×4+18=6.$
8.若$(x+y)^2=19,(x-y)^2=3$,则$xy$的值为（
A.4
B.16
C.8
D.15
A
）A.4
B.16
C.8
D.15
答案
8.A 【解析】因为$(x+y)^2=19,(x-y)^2=3,$所以$x^2+2xy+y^2=19,x^2-2xy+y^2=3,$两式相减得$4xy=16,$故$xy=4.$
9.已知$(x-2025)^2+(x-2027)^2=34$，则$(x-2026)^2$的值是
16
。答案
9.16 【解析】设$t=x-2\ 026,$因为$(x-2\ 025)^2+(x-2\ 027)^2=34,$所以$(t+1)^2+(t-1)^2=34,$即$2t^2+2=34,$所以$t^2=16,$即$(x-2\ 026)^2=16.$
10. 先化简，再求值：
(1)$[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(2b)$，其中$a=2,b=-1$；
(2)$(3a-1)^2-2a(4a-1)$，其中$a$满足$a^2-4a+3=0$。
(1)$[(2a+b)^2-(2a+b)(2a-b)]÷(2b)$，其中$a=2,b=-1$；
(2)$(3a-1)^2-2a(4a-1)$，其中$a$满足$a^2-4a+3=0$。
答案
10.【解】(1)原式$=[4a^2+4ab+b^2-(4a^2-b^2)]÷(2b)=(4a^2+4ab+b^2-4a^2+b^2)÷(2b)=(4ab+2b^2)÷(2b)=2a+b,$当$a=2,b=-1$时,原式$=2×2-1=3.$
(2)原式$=(9a^2-6a+1)-8a^2+2a=(9a^2-8a^2)+(-6a+2a)+1=a^2-4a+1.$因为$a^2-4a+3=0,$所以$a^2-4a=-3,$所以原式$=a^2-4a+1=-3+1=-2.$
(2)原式$=(9a^2-6a+1)-8a^2+2a=(9a^2-8a^2)+(-6a+2a)+1=a^2-4a+1.$因为$a^2-4a+3=0,$所以$a^2-4a=-3,$所以原式$=a^2-4a+1=-3+1=-2.$
11. 阅读下列材料.
若 $ x $ 满足 $ (9 - x)(x - 4) = 4 $，求 $ (4 - x)^2 + (x - 9)^2 $ 的值.
解:设 $ 9 - x = a $，$ x - 4 = b $，则 $ (9 - x)(x - 4) = ab = 4 $，$ a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5 $，
故 $ (4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 × 4 = 17 $.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若 $ x $ 满足 $ (5 - x)(x - 2) = 2 $，求 $ (5 - x)^2 + (x - 2)^2 $ 的值.
(2)如图，已知正方形ABCD的边长为$ x $，E，F分别是AD，DC上的点，且 $ AE = 1 $，$ CF = 3 $，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形.
① $ MF = $
②求阴影部分的面积.
若 $ x $ 满足 $ (9 - x)(x - 4) = 4 $，求 $ (4 - x)^2 + (x - 9)^2 $ 的值.
解:设 $ 9 - x = a $，$ x - 4 = b $，则 $ (9 - x)(x - 4) = ab = 4 $，$ a + b = (9 - x) + (x - 4) = 5 $，
故 $ (4 - x)^2 + (x - 9)^2 = (9 - x)^2 + (x - 4)^2 = a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 × 4 = 17 $.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
(1)若 $ x $ 满足 $ (5 - x)(x - 2) = 2 $，求 $ (5 - x)^2 + (x - 2)^2 $ 的值.
(2)如图，已知正方形ABCD的边长为$ x $，E，F分别是AD，DC上的点，且 $ AE = 1 $，$ CF = 3 $，长方形EMFD的面积是48，分别以MF，DF为边作正方形.
① $ MF = $
x-1
，$ DF = $ x-3
；(用含$ x $的式子表示)②求阴影部分的面积.
答案
11.【解】(1)设$5-x=a,x-2=b,$则$(5-x)(x-2)=ab=2,a+b=(5-x)+(x-2)=3,$故$(5-x)^2+(x-2)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3^2-2×2=5.$
(2)①$x-1$ $x-3$
②$(x-1)(x-3)=48,$阴影部分的面积$=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2.$设$x-1=m,x-3=n,$则$(x-1)(x-3)=mn=48,m-n=(x-1)-(x-3)=2,$因为$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=2^2+4×48=196,$所以$m+n=\pm14.$又$m+n＞0,$所以$m+n=14,$所以$(x-1)^2-(x-3)^2=m^2-n^2=(m+n)·(m-n)=14×2=28,$即阴影部分的面积是28.
(2)①$x-1$ $x-3$
②$(x-1)(x-3)=48,$阴影部分的面积$=FM^2-DF^2=(x-1)^2-(x-3)^2.$设$x-1=m,x-3=n,$则$(x-1)(x-3)=mn=48,m-n=(x-1)-(x-3)=2,$因为$(m+n)^2=(m-n)^2+4mn=2^2+4×48=196,$所以$m+n=\pm14.$又$m+n＞0,$所以$m+n=14,$所以$(x-1)^2-(x-3)^2=m^2-n^2=(m+n)·(m-n)=14×2=28,$即阴影部分的面积是28.
