(3,0)的位置,第2次滚动使点D落在点(4,0)的位置……按此规律滚动下去,则第101次滚动后,顶点A的坐标是 ()

A.(100,1)
B.(102,1)
C.(101,0)
D.(102,0)

4. B

5. 如图,在平面直角坐标系中,将三角形ABO沿x轴向右无滑动地滚动到三角形$AB_1C_1$的位置,再到三角形$A_1B_1C_2$的位置……依次进行下去,若已知点$A(3,0)$,$B(0,4)$,$AB=5$,则点$A_{1999}$的坐标为$\underline{\hspace{3em}}$.

5. (1 200,3)

6. （2025·盐城月考）数学家高斯被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算$1+2+3+4+\dots+100$时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到$1+2+3+4+\dots+100=\dfrac{100×(1+100)}{2}$。人们借助这样的方法，得到$1+2+3+4+\dots+n=\dfrac{n(1+n)}{2}$（$n$是正整数）。如图，在平面直角坐标系中有一系列格点$A_i(x_i,y_i)$，其中$i=1,2,3,\dots,n$，且$x_i,y_i$是整数。记$a_n=x_n+y_n$，如$A_1(0,0)$，即$a_1=0$，$A_2(1,0)$，即$a_2=1$，$A_3(1,-1)$，即$a_3=0$，$\dots$，以此类推，$a_{2025}=$。

6. 44

7. 如图,在平面直角坐标系中,第一次将三角形 OAB 变换成三角形 $ OA_1B_1 $,第二次将三角形 $ OA_1B_1 $ 变换成三角形 $ OA_2B_2 $,第三次将三角形 $ OA_2B_2 $ 变换成三角形 $ OA_3B_3 $,已知 $ A(1,4),A_1(2,4) $, $ A_2(4,4),A_3(8,4);B(2,0),B_1(4,0),B_2(8,0),B_3(16,0) $.
(1) 观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变化规律再将三角形 $ OA_3B_3 $ 变换成三角形 $ OA_4B_4 $,则 $ A_4 $ 的坐标是 ______, $ B_4 $ 的坐标是 ______;
(2) 若按(1)找到的规律将三角形 OAB 进行了 $ n $ 次变换,得到三角形 $ OA_nB_n $,比较每次变换中三角形顶点有何变化,找出规律,推测 $ A_n $ 的坐标是 ______, $ B_n $ 的坐标是 ______.

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7. (1)(16,4) (32,0) 解析:
∵ A(1,4),A₁(2,4),A₂(4,4),A₃(8,4),
∴ A₄的横坐标为2⁴=16,纵坐标为4,
∴ 点A₄的坐标为(16,4).又
∵ B(2,0),B₁(4,0),B₂(8,0),B₃(16,0),
∴ B₄的横坐标为2⁵=32,纵坐标为0,
∴ 点B₄的坐标为(32,0).
(2)(2ⁿ,4) (2ⁿ⁺¹,0) 解析:由A(1,4),A₁(2,4),A₂(4,4),A₃(8,4)……可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ,纵坐标都是4,故Aₙ的坐标为(2ⁿ,4).由B(2,0),B₁(4,0),B₂(8,0),B₃(16,0)……可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ⁺¹,纵坐标都是0,故Bₙ的坐标为(2ⁿ⁺¹,0).