4.用“更相减损术”求两个数的最大公因数，用较大的数减较小的数，把所得的差与上一步的减数比较，再用大数减小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，这个“等数”就是两个数的最大公因数。如，求 96 和 72 的最大公因数，运算步骤如下：

试着用这样的方法求出 102 和 153 的最大公因数。

$153−102=51,102−51=51$。所以,102和153的最大公因数是51。

【分析】
本题要求用“更相减损术”求两个数的最大公因数，解题思路是遵循更相减损术的规则：每次用较大的数减去较小的数，将所得的差与上一步的减数比较，再重复用大数减小数，直到差与减数相等，此时的“等数”就是这两个数的最大公因数。我们只需对102和153按此步骤计算即可。
【解析】
按照更相减损术的运算步骤计算：
1. 先取较大数153减去较小数102，得：$153 - 102 = 51$；
2. 再用上一步的减数102减去差51，得：$102 - 51 = 51$；
3. 此时差51与减数51相等，出现“等数”，因此102和153的最大公因数为51。
【答案】
51
【知识点】
更相减损术、最大公因数
【点评】
本题考查“更相减损术”求最大公因数的基础应用，只要掌握该方法的运算流程，就能轻松得出结果，属于常规基础题。
【难度系数】
0.6

5. 天干地支,简称为干支,源自中国远古时代对天象的观测。
十天干:甲、乙、丙、丁、戊、庚、辛、壬、癸；
十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。
自古农历就借用天干地支来表示年份,十天干和十二地支依次相配,例如:2023年是癸卯年,2024年是甲辰年,2025年是乙巳年……那么下一个癸卯年是()年。

2083
解析:要求下一个癸卯年是哪一年,需要先求出10和12的最小公倍数,10和12的最小公倍数是60,也就是说癸卯年每60年出现一次。2023年是癸卯年,那么下一个癸卯年是2083年。

【分析】
要确定下一个癸卯年，需先明确天干地支纪年的循环规律：十天干和十二地支依次相配，循环周期是10和12的最小公倍数。先算出这个周期，再用已知的癸卯年2023年加上周期，即可得到下一个癸卯年。
【解析】
1. 计算循环周期：十天干共10个，十二地支共12个，两者的最小公倍数就是干支纪年的循环周期。分解质因数：10=2×5，12=2×2×3，因此最小公倍数为2×2×3×5=60，即每60年干支纪年循环一次。
2. 计算下一个癸卯年：已知2023年是癸卯年，所以下一个癸卯年为2023+60=2083年。
【答案】
2083
【知识点】
最小公倍数、天干地支纪年法
【点评】
本题结合传统文化中的天干地支纪年，考查最小公倍数的实际应用，核心是理解干支纪年的循环周期，难度适中，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.5

6. 在$3×3$的矩阵中,如果每个横行、竖列以及斜行的三个数相加的和都相等,那么这样的矩阵称之为“三阶幻方”。如果下面的矩阵是一个“三阶幻方”,那么$△ =(\quad\quad)$。

$\frac{3}{10}$
解析:根据题意,设题图中正中间方框内的数为$a$,则有$\frac{2}{5}+a+\frac{3}{5}=\bigtriangleup +a+\frac{7}{10}$,等号两边同时减去$(a+\frac{7}{10})$,得$\bigtriangleup =\frac{3}{10}$。

【分析】
要解决这个三阶幻方问题，需利用“每行、每列、斜行的三个数之和相等”的核心性质。观察可知，主对角线（第一行第一列、中间数、第三行第三列）的和，与第二行（第二行第一列△、中间数、第二行第三列）的和相等，两者都包含中间数，可通过消去中间数直接计算△的值。
【解析】
设中间方框内的数为$a$。
根据三阶幻方的和相等，主对角线的和为：$\frac{2}{5} + a + \frac{3}{5}$；
第二行的和为：$△ + a + \frac{7}{10}$；
因为两者和相等，所以：
$\frac{2}{5} + a + \frac{3}{5} = △ + a + \frac{7}{10}$
等号两边同时减去$a + \frac{7}{10}$，得：
$△ = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} - \frac{7}{10}$
计算：$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1$，$1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$，因此$△ = \frac{3}{10}$。
【答案】
$\frac{3}{10}$
【知识点】
三阶幻方、分数加减法
【点评】
本题考查三阶幻方的基本性质，关键是找到含中间数的两组等和的行/对角线，通过消元简化计算，属于基础幻方问题，需掌握幻方的核心特点。
【难度系数】
0.5