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13.实数a在数轴上对应的点的位置如
所示,计算$|a - π| + |\sqrt{2} - a|$的结果为 （
A.$π + \sqrt{2} - 2a$
B.$π - \sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} - π$
D.$2a - π - \sqrt{2}$
所示,计算$|a - π| + |\sqrt{2} - a|$的结果为 （B
）A.$π + \sqrt{2} - 2a$
B.$π - \sqrt{2}$
C.$\sqrt{2} - π$
D.$2a - π - \sqrt{2}$
答案
13.B
解析
【分析】
解题首先需要根据数轴确定实数a的取值范围，再结合π、√2的近似值判断两个绝对值内代数式的正负性，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。具体步骤：第一步，观察数轴得出a在2和3之间；第二步，对比a与π、√2的大小，判断绝对值内式子的正负；第三步，根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值，化简计算。
【解析】
解：由数轴可得：$2 ＜ a ＜ 3$
∵ $π≈3.14＞3$，
∴ $a - π ＜ 0$，根据绝对值的性质：$|a - π| = π - a$
∵ $\sqrt{2}≈1.414 ＜ 2$，
∴ $\sqrt{2} - a ＜ 0$，根据绝对值的性质：$|\sqrt{2} - a| = a - \sqrt{2}$
∴ 原式$= (π - a) + (a - \sqrt{2}) = π - a + a - \sqrt{2} = π - \sqrt{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，实数大小比较
【点评】
本题考查数轴、绝对值化简和实数大小比较的综合应用，解题核心是先通过数轴确定未知数的范围，再判断绝对值内表达式的正负，正确去绝对值后化简即可，解题时要熟记常见无理数的近似值方便比较大小。
【难度系数】
0.7
解题首先需要根据数轴确定实数a的取值范围，再结合π、√2的近似值判断两个绝对值内代数式的正负性，最后根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。具体步骤：第一步，观察数轴得出a在2和3之间；第二步，对比a与π、√2的大小，判断绝对值内式子的正负；第三步，根据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去绝对值，化简计算。
【解析】
解：由数轴可得：$2 ＜ a ＜ 3$
∵ $π≈3.14＞3$，
∴ $a - π ＜ 0$，根据绝对值的性质：$|a - π| = π - a$
∵ $\sqrt{2}≈1.414 ＜ 2$，
∴ $\sqrt{2} - a ＜ 0$，根据绝对值的性质：$|\sqrt{2} - a| = a - \sqrt{2}$
∴ 原式$= (π - a) + (a - \sqrt{2}) = π - a + a - \sqrt{2} = π - \sqrt{2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
数轴的应用，绝对值的性质，实数大小比较
【点评】
本题考查数轴、绝对值化简和实数大小比较的综合应用，解题核心是先通过数轴确定未知数的范围，再判断绝对值内表达式的正负，正确去绝对值后化简即可，解题时要熟记常见无理数的近似值方便比较大小。
【难度系数】
0.7
14. 借助计算器求出：$\sqrt{4^2 + 3^2} =$
5
，$\sqrt{44^2 + 33^2} =$ 55
，$\sqrt{444^2 + 333^2} =$ 555
，…，试猜想$\sqrt{\underbrace{44···4}_{2025个}^2 + \underbrace{33···3}_{2025个}^2} =$ $underbrace{55…5}_{2025个}$
。答案
14.5 55 555 $\underbrace{55···5}_{2025个}$
解析
【分析】
解题时先从简单的式子入手，首先可以直接计算第一个式子的结果，再观察后续式子中数字的特征：每个式子中根号下的4和3的位数相同，可将多位数拆成对应位数的1组成的数乘4或3，通过提取公因式简化计算，得到前三个式子的结果后，对比4、3的位数和结果的位数，总结规律，最后利用规律求解2025位的情况。
【解析】
1. 计算第一个式子：
$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
2. 计算第二个式子：
观察得$44=11×4$，$33=11×3$，代入得：
$\sqrt{44^2 + 33^2} = \sqrt{(11×4)^2 + (11×3)^2} = \sqrt{11^2×(4^2 + 3^2)} = \sqrt{11^2×25} = 11×5 = 55$
3. 计算第三个式子：
同理$444=111×4$，$333=111×3$，代入得：
$\sqrt{444^2 + 333^2} = \sqrt{(111×4)^2 + (111×3)^2} = \sqrt{111^2×25} = 111×5 = 555$
4. 归纳规律：当根号下的4和3均有n个时，运算结果是由n个5组成的数。
5. 当n=2025时，结果就是由2025个5组成的数，即$\underbrace{55···5}_{2025个}$。
【答案】
5；55；555；$\underbrace{55···5}_{2025个}$
【知识点】
二次根式计算；因式分解应用；规律探究
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳思维，通过对简单式子的计算归纳出通用规律，再运用规律解决复杂问题，解题时巧用提取公因式的方法可以避免大数运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先从简单的式子入手，首先可以直接计算第一个式子的结果，再观察后续式子中数字的特征：每个式子中根号下的4和3的位数相同，可将多位数拆成对应位数的1组成的数乘4或3，通过提取公因式简化计算，得到前三个式子的结果后，对比4、3的位数和结果的位数，总结规律，最后利用规律求解2025位的情况。
【解析】
1. 计算第一个式子：
$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
2. 计算第二个式子：
观察得$44=11×4$，$33=11×3$，代入得：
$\sqrt{44^2 + 33^2} = \sqrt{(11×4)^2 + (11×3)^2} = \sqrt{11^2×(4^2 + 3^2)} = \sqrt{11^2×25} = 11×5 = 55$
3. 计算第三个式子：
同理$444=111×4$，$333=111×3$，代入得：
$\sqrt{444^2 + 333^2} = \sqrt{(111×4)^2 + (111×3)^2} = \sqrt{111^2×25} = 111×5 = 555$
4. 归纳规律：当根号下的4和3均有n个时，运算结果是由n个5组成的数。
5. 当n=2025时，结果就是由2025个5组成的数，即$\underbrace{55···5}_{2025个}$。
【答案】
5；55；555；$\underbrace{55···5}_{2025个}$
【知识点】
二次根式计算；因式分解应用；规律探究
【点评】
本题考查从特殊到一般的归纳思维，通过对简单式子的计算归纳出通用规律，再运用规律解决复杂问题，解题时巧用提取公因式的方法可以避免大数运算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
15.请阅读材料:一般地,如果一个正数$x$的平方等于$a$,即$x^2=a$,那么正数$x$就叫作$a$的算术平方根,记作$\sqrt{a}$(即$\sqrt{a}=\sqrt{x^2}=x$),如$3^2=9$,3叫作9的算术平方根.
(1)计算下列各式的值:$\sqrt{4}=$,$\sqrt{25}=$,$\sqrt{100}=$;
(2)观察(1)中的结果,$\sqrt{4}$,$\sqrt{25}$,$\sqrt{100}$之间存在的关系为;
(3)由(2)可猜想:$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\_\_\_\_\_\_(a≥0,b≥0)$;
(4)根据(3)计算:$\sqrt{2}×\sqrt{8}=$,$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{27}}=$.
(1)计算下列各式的值:$\sqrt{4}=$,$\sqrt{25}=$,$\sqrt{100}=$;
(2)观察(1)中的结果,$\sqrt{4}$,$\sqrt{25}$,$\sqrt{100}$之间存在的关系为;
(3)由(2)可猜想:$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\_\_\_\_\_\_(a≥0,b≥0)$;
(4)根据(3)计算:$\sqrt{2}×\sqrt{8}=$,$\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{27}}=$.
答案
15.(1)2 5 10 (2)√4×√25=√100 (3)√ab (4)4 2/3
解析
【分析】
解题时可按问题顺序逐步推导：
1. 解决第(1)问：根据题目给出的算术平方根定义，找到平方后等于被开方数的正数，即可得到对应算术平方根的值。
2. 解决第(2)问：计算(1)中三个式子的乘积关系，对比结果即可得到三者的数量关系。
3. 解决第(3)问：将(2)的特殊规律推广到一般的非负数a、b，即可得到通用的二次根式乘法法则。
4. 解决第(4)问：直接运用第(3)问得到的法则，先将被开方数相乘，再计算算术平方根即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
∵ $2^2=4$，
∴ $\sqrt{4}=2$；
∵ $5^2=25$，
∴ $\sqrt{25}=5$；
∵ $10^2=100$，
∴ $\sqrt{100}=10$。
(2) 计算得 $\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$，而 $\sqrt{100}=10$，因此三者关系为：$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$。
(3) 由特殊到一般可猜想，当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
(4) 运用上述结论计算：
① $\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$；
② $\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{27}}=\sqrt{3×\frac{4}{27}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)2；5；10 (2)$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$ (3)$\sqrt{ab}$ (4)4；$\frac{2}{3}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式乘法运算；二次根式化简
【点评】
本题从算术平方根的基础定义出发，引导学生经历特殊案例探究、一般规律猜想、规律应用的过程，既考查了基础概念的掌握，也锻炼了规律探究和知识迁移的能力，是贴合基础认知的典型题。
【难度系数】
0.8
解题时可按问题顺序逐步推导：
1. 解决第(1)问：根据题目给出的算术平方根定义，找到平方后等于被开方数的正数，即可得到对应算术平方根的值。
2. 解决第(2)问：计算(1)中三个式子的乘积关系，对比结果即可得到三者的数量关系。
3. 解决第(3)问：将(2)的特殊规律推广到一般的非负数a、b，即可得到通用的二次根式乘法法则。
4. 解决第(4)问：直接运用第(3)问得到的法则，先将被开方数相乘，再计算算术平方根即可。
【解析】
(1) 根据算术平方根的定义：
∵ $2^2=4$，
∴ $\sqrt{4}=2$；
∵ $5^2=25$，
∴ $\sqrt{25}=5$；
∵ $10^2=100$，
∴ $\sqrt{100}=10$。
(2) 计算得 $\sqrt{4}×\sqrt{25}=2×5=10$，而 $\sqrt{100}=10$，因此三者关系为：$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$。
(3) 由特殊到一般可猜想，当$a≥0,b≥0$时，$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
(4) 运用上述结论计算：
① $\sqrt{2}×\sqrt{8}=\sqrt{2×8}=\sqrt{16}=4$；
② $\sqrt{3}×\sqrt{\frac{4}{27}}=\sqrt{3×\frac{4}{27}}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)2；5；10 (2)$\sqrt{4}×\sqrt{25}=\sqrt{100}$ (3)$\sqrt{ab}$ (4)4；$\frac{2}{3}$
【知识点】
算术平方根的定义；二次根式乘法运算；二次根式化简
【点评】
本题从算术平方根的基础定义出发，引导学生经历特殊案例探究、一般规律猜想、规律应用的过程，既考查了基础概念的掌握，也锻炼了规律探究和知识迁移的能力，是贴合基础认知的典型题。
【难度系数】
0.8
16.新定义:若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n+1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$;同理,规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$,例如:因为$1^2＜2＜2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2),-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$,据此回答下列问题:
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为$\_\_\_\_\_\_,-\sqrt{23}$的“青一区间”为________;
(2)若实数$x,y$满足关系式$\sqrt{x-3}+|2023+(y-4)^2|=2023$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为$\_\_\_\_\_\_,-\sqrt{23}$的“青一区间”为________;
(2)若实数$x,y$满足关系式$\sqrt{x-3}+|2023+(y-4)^2|=2023$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”.
答案
16.(1)(4,5) (-5,-4)
(2)解:
∵√(x-3)+|2023+(y-4)²|=2023,
∴√(x-3)+2023+(y-4)²=2023,
即√(x-3)+(y-4)²=0.
∴x=3,y=4.
∴√(xy)=√12.
∵3²＜12＜4²,
∴√(xy)的“青一区间”为(3,4).
(2)解:
∵√(x-3)+|2023+(y-4)²|=2023,
∴√(x-3)+2023+(y-4)²=2023,
即√(x-3)+(y-4)²=0.
∴x=3,y=4.
∴√(xy)=√12.
∵3²＜12＜4²,
∴√(xy)的“青一区间”为(3,4).
解析
【分析】
（1）解决第一问需先明确“青一区间”的定义：对于正整数T，若找到正整数n满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，则$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$，$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$。因此只需分别找到17、23介于哪两个连续正整数的平方之间，代入定义即可得到对应区间。
（2）解决第二问首先分析等式中各部分的取值范围：算术平方根、平方数都是非负数，因此绝对值内的$2023+(y-4)^2$一定是正数，可直接去绝对值，整理等式后根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出x、y的值，再计算$\sqrt{xy}$，最后按照“青一区间”的定义估算其范围即可。
【解析】
（1）先判断17的范围：
∵$4^2=16$，$5^2=25$，$16＜17＜25$，即$4^2＜17＜5^2$，根据定义可得$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
再判断23的范围：
∵$4^2=16$，$5^2=25$，$16＜23＜25$，即$4^2＜23＜5^2$，根据定义可得$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
（2）解：
∵$(y-4)^2≥0$，
∴$2023+(y-4)^2＞0$，因此$|2023+(y-4)^2|=2023+(y-4)^2$，
代入原式得：$\sqrt{x-3}+2023+(y-4)^2=2023$，
移项化简得：$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$，
又
∵$\sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数各自为0，
∴$x-3=0$，$y-4=0$，解得$x=3$，$y=4$，
∴$\sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$，
∵$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜12＜16$，即$3^2＜12＜4^2$，
根据定义可得$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1)$(4,5)$；$(-5,-4)$
(2)$(3,4)$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；无理数的估算
【点评】
本题将新定义和基础代数知识结合考查，解题核心是准确理解新定义的运算规则，同时熟练掌握算术平方根、绝对值、平方的非负性，以及无理数的估算方法，整体考查基础，容易得分。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一问需先明确“青一区间”的定义：对于正整数T，若找到正整数n满足$n^2＜T＜(n+1)^2$，则$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n+1)$，$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n-1,-n)$。因此只需分别找到17、23介于哪两个连续正整数的平方之间，代入定义即可得到对应区间。
（2）解决第二问首先分析等式中各部分的取值范围：算术平方根、平方数都是非负数，因此绝对值内的$2023+(y-4)^2$一定是正数，可直接去绝对值，整理等式后根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求出x、y的值，再计算$\sqrt{xy}$，最后按照“青一区间”的定义估算其范围即可。
【解析】
（1）先判断17的范围：
∵$4^2=16$，$5^2=25$，$16＜17＜25$，即$4^2＜17＜5^2$，根据定义可得$\sqrt{17}$的“青一区间”为$(4,5)$；
再判断23的范围：
∵$4^2=16$，$5^2=25$，$16＜23＜25$，即$4^2＜23＜5^2$，根据定义可得$-\sqrt{23}$的“青一区间”为$(-5,-4)$。
（2）解：
∵$(y-4)^2≥0$，
∴$2023+(y-4)^2＞0$，因此$|2023+(y-4)^2|=2023+(y-4)^2$，
代入原式得：$\sqrt{x-3}+2023+(y-4)^2=2023$，
移项化简得：$\sqrt{x-3}+(y-4)^2=0$，
又
∵$\sqrt{x-3}≥0$，$(y-4)^2≥0$，两个非负数的和为0，说明两个非负数各自为0，
∴$x-3=0$，$y-4=0$，解得$x=3$，$y=4$，
∴$\sqrt{xy}=\sqrt{3×4}=\sqrt{12}$，
∵$3^2=9$，$4^2=16$，$9＜12＜16$，即$3^2＜12＜4^2$，
根据定义可得$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$。
【答案】
(1)$(4,5)$；$(-5,-4)$
(2)$(3,4)$
【知识点】
新定义运算；非负数的性质；无理数的估算
【点评】
本题将新定义和基础代数知识结合考查，解题核心是准确理解新定义的运算规则，同时熟练掌握算术平方根、绝对值、平方的非负性，以及无理数的估算方法，整体考查基础，容易得分。
【难度系数】
0.7
