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1. 下列无理数中，大小与4最接近的是 （
A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
D
）A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{13}$
D.$\sqrt{17}$
答案
1.D
解析
【分析】
要判断哪个无理数和4最接近，可先将4转化为带根号的形式$\sqrt{16}$，由于正数的算术平方根和被开方数的变化趋势一致，被开方数越接近16，对应的算术平方根就越接近4。我们只需计算各选项数值的平方，求其与16的差值，差值最小的数就和4最接近。
【解析】
首先将4改写为算术平方根形式：$4=\sqrt{4^2}=\sqrt{16}$。
分别计算各选项数值的平方，再求与$4^2=16$的差值：
A. $(\sqrt{7})^2=7$，与16的差值为$16-7=9$；
B. $(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$，与16的差值为$16-8=8$；
C. $(\sqrt{13})^2=13$，与16的差值为$16-13=3$；
D. $(\sqrt{17})^2=17$，与16的差值为$17-16=1$。
对比差值可知1最小，因此$\sqrt{17}$与4最接近。
【答案】
D
【知识点】
无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题是实数比较的基础题型，核心方法是平方法，将带根号的无理数转化为整数后比较差值，能快速判断数值的接近程度，解题思路简单易掌握。
【难度系数】
0.85
要判断哪个无理数和4最接近，可先将4转化为带根号的形式$\sqrt{16}$，由于正数的算术平方根和被开方数的变化趋势一致，被开方数越接近16，对应的算术平方根就越接近4。我们只需计算各选项数值的平方，求其与16的差值，差值最小的数就和4最接近。
【解析】
首先将4改写为算术平方根形式：$4=\sqrt{4^2}=\sqrt{16}$。
分别计算各选项数值的平方，再求与$4^2=16$的差值：
A. $(\sqrt{7})^2=7$，与16的差值为$16-7=9$；
B. $(2\sqrt{2})^2=2^2×(\sqrt{2})^2=4×2=8$，与16的差值为$16-8=8$；
C. $(\sqrt{13})^2=13$，与16的差值为$16-13=3$；
D. $(\sqrt{17})^2=17$，与16的差值为$17-16=1$。
对比差值可知1最小，因此$\sqrt{17}$与4最接近。
【答案】
D
【知识点】
无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题是实数比较的基础题型，核心方法是平方法，将带根号的无理数转化为整数后比较差值，能快速判断数值的接近程度，解题思路简单易掌握。
【难度系数】
0.85
2.框中的内容是某同学完成的作业，他作答正确的有（
A.1题
B.2题
C.3题
D.4题
B
）A.1题
B.2题
C.3题
D.4题
答案
2.B
解析
【分析】
要判断该同学做对的题目数量，需逐一结合对应数学知识点，对5道小题的作答分别判断正误，再统计正确题数即可选出答案。解题时先回忆倒数、平方根与立方根性质、乘方运算、绝对值化简、立方根符号规律的相关概念，再依次验证每道题的答案是否正确。
【解析】
我们逐个判断每道小题的作答正误：
① 根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，$\because (-1)×(-1)=1$，$\therefore -1$的倒数是$-1$，学生填1，作答错误；
② 平方根等于本身的数只有0，1的平方根为$\pm1$，立方根等于本身的数是0、1、$-1$，因此平方根、立方根都等于本身的数是0，学生填1，作答错误；
③ 根据乘方的运算规则：$(-\frac{1}{3})^2=(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}$，学生填9，作答错误；
④ 根据绝对值的化简规则：负数的绝对值等于它的相反数，$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，$\therefore 1-\sqrt{2}＜0$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$，学生填1，作答正确；
⑤ 根据立方根的符号性质：$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，$\therefore \sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$，学生填$\sqrt[3]{8}$，作答正确。
综上，作答正确的有2题，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
倒数的定义；平方根与立方根的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础概念综合考查题，涉及多个实数相关的基础知识点，易错点在于混淆平方根和立方根的性质、忽略乘方运算的符号和结果，学习时需要准确理解记忆各类基础概念，避免概念混淆失分。
【难度系数】
0.7
要判断该同学做对的题目数量，需逐一结合对应数学知识点，对5道小题的作答分别判断正误，再统计正确题数即可选出答案。解题时先回忆倒数、平方根与立方根性质、乘方运算、绝对值化简、立方根符号规律的相关概念，再依次验证每道题的答案是否正确。
【解析】
我们逐个判断每道小题的作答正误：
① 根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，$\because (-1)×(-1)=1$，$\therefore -1$的倒数是$-1$，学生填1，作答错误；
② 平方根等于本身的数只有0，1的平方根为$\pm1$，立方根等于本身的数是0、1、$-1$，因此平方根、立方根都等于本身的数是0，学生填1，作答错误；
③ 根据乘方的运算规则：$(-\frac{1}{3})^2=(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=\frac{1}{9}$，学生填9，作答错误；
④ 根据绝对值的化简规则：负数的绝对值等于它的相反数，$\because \sqrt{2}\approx1.414＞1$，$\therefore 1-\sqrt{2}＜0$，$\therefore |1-\sqrt{2}|=-(1-\sqrt{2})=\sqrt{2}-1$，学生填1，作答正确；
⑤ 根据立方根的符号性质：$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，$\therefore \sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}$，学生填$\sqrt[3]{8}$，作答正确。
综上，作答正确的有2题，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
倒数的定义；平方根与立方根的性质；绝对值的化简
【点评】
本题是基础概念综合考查题，涉及多个实数相关的基础知识点，易错点在于混淆平方根和立方根的性质、忽略乘方运算的符号和结果，学习时需要准确理解记忆各类基础概念，避免概念混淆失分。
【难度系数】
0.7
3.要生产一种容积为$36π$的球形容器,则球形容器的半径$R$的值是(球的体积公式是$V=\frac{4}{3}π R^3$) （
A.9
B.6
C.$\sqrt[3]{36}$
D.3
D
）A.9
B.6
C.$\sqrt[3]{36}$
D.3
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的已知条件：球形容器的容积（即体积）为$36π$，同时给出了球的体积公式$V=\frac{4}{3}π R^3$。我们的解题思路是将已知的体积数值代入体积公式，得到关于半径$R$的方程，再根据等式的性质逐步化简方程，最后通过计算立方根求出$R$的值即可。
【解析】
已知球的体积公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$，且球形容器的容积$V=36π$，将$V=36π$代入公式可得：
$\frac{4}{3}π R^3=36π$
第一步：等式两边同时除以$π$，消去同类项，得：
$\frac{4}{3}R^3=36$
第二步：等式两边同时乘以$\frac{3}{4}$，求解$R^3$，得：
$R^3=36×\frac{3}{4}=27$
第三步：对$R^3=27$开立方，得$R=\sqrt[3]{27}=3$
因此半径$R$的值为3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
球的体积公式，立方根运算，等式的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查对给定公式的代入运用能力，以及基础的解方程和立方根计算能力，解题时注意先消去公式中的$π$可简化计算过程，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目给出的已知条件：球形容器的容积（即体积）为$36π$，同时给出了球的体积公式$V=\frac{4}{3}π R^3$。我们的解题思路是将已知的体积数值代入体积公式，得到关于半径$R$的方程，再根据等式的性质逐步化简方程，最后通过计算立方根求出$R$的值即可。
【解析】
已知球的体积公式为$V=\frac{4}{3}π R^3$，且球形容器的容积$V=36π$，将$V=36π$代入公式可得：
$\frac{4}{3}π R^3=36π$
第一步：等式两边同时除以$π$，消去同类项，得：
$\frac{4}{3}R^3=36$
第二步：等式两边同时乘以$\frac{3}{4}$，求解$R^3$，得：
$R^3=36×\frac{3}{4}=27$
第三步：对$R^3=27$开立方，得$R=\sqrt[3]{27}=3$
因此半径$R$的值为3，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
球的体积公式，立方根运算，等式的性质
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查对给定公式的代入运用能力，以及基础的解方程和立方根计算能力，解题时注意先消去公式中的$π$可简化计算过程，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
4. $3a - 4$ 和 $12 - 5a$ 是一个正数的两个平方根，则这个正数是（
A.4
B.64
C.4或8
D.4或64
B
）A.4
B.64
C.4或8
D.4或64
答案
4.B
解析
【分析】
解决本题首先要回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即它们的和为0。我们可以根据这个性质列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，再代入其中一个平方根的表达式，将结果平方即可得到这个正数。注意不要混淆平方根的性质，误认为两个平方根可以相等，避免出现多余的错误解。
【解析】
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴ 可列方程：$(3a - 4) + (12 - 5a) = 0$
去括号得：$3a - 4 + 12 - 5a = 0$
合并同类项得：$-2a + 8 = 0$
移项得：$-2a = -8$
系数化为1得：$a = 4$
将$a=4$代入$3a-4$，得$3×4 - 4 = 8$
则这个正数为$8^2 = 64$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题核心考查正数平方根的性质，解题的关键是明确正数的两个平方根互为相反数，以此为依据列方程求解即可，解题时要注意区分正数、0的平方根的差异，避免误将两个平方根相等的情况代入计算，落入题目设置的易错陷阱。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要回忆正数平方根的性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即它们的和为0。我们可以根据这个性质列出关于a的一元一次方程，解出a的值后，再代入其中一个平方根的表达式，将结果平方即可得到这个正数。注意不要混淆平方根的性质，误认为两个平方根可以相等，避免出现多余的错误解。
【解析】
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0
∴ 可列方程：$(3a - 4) + (12 - 5a) = 0$
去括号得：$3a - 4 + 12 - 5a = 0$
合并同类项得：$-2a + 8 = 0$
移项得：$-2a = -8$
系数化为1得：$a = 4$
将$a=4$代入$3a-4$，得$3×4 - 4 = 8$
则这个正数为$8^2 = 64$
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题核心考查正数平方根的性质，解题的关键是明确正数的两个平方根互为相反数，以此为依据列方程求解即可，解题时要注意区分正数、0的平方根的差异，避免误将两个平方根相等的情况代入计算，落入题目设置的易错陷阱。
【难度系数】
0.6
5. 已知$\sqrt[3]{3 - a} = -1$，则$a$的算术平方根为 （
A.0
B.2
C.3
D.4
B
）A.0
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
解题可分两步进行：第一步，利用立方根的性质：若$\sqrt[3]{x}=y$，则$x=y^3$，对已知等式两边同时立方，求出a的取值；第二步，根据算术平方根的定义（非负数的正的平方根为它的算术平方根），计算a的算术平方根，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{3 - a} = -1$，
根据立方根的性质，等式两边同时立方得：
$3 - a = (-1)^3$
计算右侧得$(-1)^3=-1$，因此：
$3 - a = -1$
移项计算：
$-a = -1 - 3$
$-a = -4$
系数化为1得$a=4$
再求a的算术平方根：4的正的平方根为2，即4的算术平方根是2。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握立方根和算术平方根的性质，注意算术平方根的结果为非负数，避免求出a=4后粗心直接选D的错误。
【难度系数】
0.8
解题可分两步进行：第一步，利用立方根的性质：若$\sqrt[3]{x}=y$，则$x=y^3$，对已知等式两边同时立方，求出a的取值；第二步，根据算术平方根的定义（非负数的正的平方根为它的算术平方根），计算a的算术平方根，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知$\sqrt[3]{3 - a} = -1$，
根据立方根的性质，等式两边同时立方得：
$3 - a = (-1)^3$
计算右侧得$(-1)^3=-1$，因此：
$3 - a = -1$
移项计算：
$-a = -1 - 3$
$-a = -4$
系数化为1得$a=4$
再求a的算术平方根：4的正的平方根为2，即4的算术平方根是2。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
立方根的性质；算术平方根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握立方根和算术平方根的性质，注意算术平方根的结果为非负数，避免求出a=4后粗心直接选D的错误。
【难度系数】
0.8
6. 下列运算正确的是 （
A.$-\sqrt{(-7)^2}=7$
B.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
C.$-\sqrt{25}=-5$
D.$\sqrt{9}=\pm3$
C
）A.$-\sqrt{(-7)^2}=7$
B.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
C.$-\sqrt{25}=-5$
D.$\sqrt{9}=\pm3$
答案
6.C
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：非负数的算术平方根是非负数，即对于$\sqrt{a}$（$a≥0$），其结果必然$≥0$，若根号前有负号则结果为负；其次掌握化简公式$\sqrt{a^2}=|a|$，最后逐一计算每个选项的左边结果，和右边对比判断是否正确即可。
【解析】
我们结合算术平方根的性质逐一分析选项：
A选项：先计算根号内的部分，$(-7)^2=49$，因此$-\sqrt{(-7)^2}=-\sqrt{49}=-7$，和右边的7不相等，运算错误；
B选项：先计算根号内的部分，$(-6)^2=36$，因此$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，和右边的-6不相等，运算错误；
C选项：$\sqrt{25}=5$，因此$-\sqrt{25}=-5$，和右边的-5相等，运算正确；
D选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果唯一且非负，即$\sqrt{9}=3$，$\pm3$是9的平方根，和右边的$\pm3$不相等，运算错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，只要牢记算术平方根的结果为非负数，根号前带负号时结果才为负，就能快速准确判断。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：非负数的算术平方根是非负数，即对于$\sqrt{a}$（$a≥0$），其结果必然$≥0$，若根号前有负号则结果为负；其次掌握化简公式$\sqrt{a^2}=|a|$，最后逐一计算每个选项的左边结果，和右边对比判断是否正确即可。
【解析】
我们结合算术平方根的性质逐一分析选项：
A选项：先计算根号内的部分，$(-7)^2=49$，因此$-\sqrt{(-7)^2}=-\sqrt{49}=-7$，和右边的7不相等，运算错误；
B选项：先计算根号内的部分，$(-6)^2=36$，因此$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，和右边的-6不相等，运算错误；
C选项：$\sqrt{25}=5$，因此$-\sqrt{25}=-5$，和右边的-5相等，运算正确；
D选项：$\sqrt{9}$表示9的算术平方根，结果唯一且非负，即$\sqrt{9}=3$，$\pm3$是9的平方根，和右边的$\pm3$不相等，运算错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的定义、二次根式的化简
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆平方根和算术平方根的概念，只要牢记算术平方根的结果为非负数，根号前带负号时结果才为负，就能快速准确判断。
【难度系数】
0.8
