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7.将长、宽分别为1和2的长方形如图所示剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
C
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
答案
7.C
解析
【分析】
解题的核心关键是图形拼接前后总面积保持不变，我们可以先计算原长方形的面积，该面积与拼成的正方形面积相等，再结合正方形面积公式（正方形面积=边长×边长），即可求出正方形的边长。
【解析】
第一步：计算原长方形的面积
长方形的长为2，宽为1，根据长方形面积公式：
$ S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 2 × 1 = 2 $
第二步：分析正方形面积
因为剪开拼接后总面积不变，所以正方形的面积$ S_{\mathrm{正方形}} = S_{\mathrm{长方形}} = 2 $
第三步：求正方形的边长
设正方形的边长为$ a $（$ a＞0 $），根据正方形面积公式$ S_{\mathrm{正方形}} = a^2 $，可得：
$ a^2 = 2 $
对等式两边开平方，取正的算术平方根，得$ a = \sqrt{2} $
【答案】
C
【知识点】
面积守恒性质，正方形面积计算，算术平方根
【点评】
本题属于基础题，解题的突破口是抓住图形拼接前后面积不变的特点，结合长方形、正方形的面积公式和平方根的相关知识即可求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题的核心关键是图形拼接前后总面积保持不变，我们可以先计算原长方形的面积，该面积与拼成的正方形面积相等，再结合正方形面积公式（正方形面积=边长×边长），即可求出正方形的边长。
【解析】
第一步：计算原长方形的面积
长方形的长为2，宽为1，根据长方形面积公式：
$ S_{\mathrm{长方形}} = 长 × 宽 = 2 × 1 = 2 $
第二步：分析正方形面积
因为剪开拼接后总面积不变，所以正方形的面积$ S_{\mathrm{正方形}} = S_{\mathrm{长方形}} = 2 $
第三步：求正方形的边长
设正方形的边长为$ a $（$ a＞0 $），根据正方形面积公式$ S_{\mathrm{正方形}} = a^2 $，可得：
$ a^2 = 2 $
对等式两边开平方，取正的算术平方根，得$ a = \sqrt{2} $
【答案】
C
【知识点】
面积守恒性质，正方形面积计算，算术平方根
【点评】
本题属于基础题，解题的突破口是抓住图形拼接前后面积不变的特点，结合长方形、正方形的面积公式和平方根的相关知识即可求解，计算量小。
【难度系数】
0.8
8. 已知 $3.14^2 = 9.8596$，若 $x^2 = 985.96$，则 $x$ 的值为 （
A.3.14
B.31.4
C.$\pm 3.14$
D.$\pm 31.4$
D
）A.3.14
B.31.4
C.$\pm 3.14$
D.$\pm 31.4$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时首先观察已知的$3.14^2=9.8596$和待求的$x^2=985.96$中两个幂的关系：985.96是9.8596的100倍。结合乘方的运算规律，底数的小数点每向右移动1位，对应平方结果的小数点向右移动2位，可先推出平方等于985.96的正数底数；再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可得到x的所有取值。
【解析】
已知$3.14^2=9.8596$，
因为$985.96 = 9.8596 × 100 = 3.14^2 × 10^2 = (3.14 × 10)^2 = 31.4^2$，
所以$x^2 = 31.4^2$。
根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，可得$x = \pm 31.4$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质；有理数乘方的运算规律
【点评】
本题是基础题，解题的关键是掌握乘方运算中底数和幂的小数点移动的对应关系，同时要注意正数的平方根有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知的$3.14^2=9.8596$和待求的$x^2=985.96$中两个幂的关系：985.96是9.8596的100倍。结合乘方的运算规律，底数的小数点每向右移动1位，对应平方结果的小数点向右移动2位，可先推出平方等于985.96的正数底数；再根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，即可得到x的所有取值。
【解析】
已知$3.14^2=9.8596$，
因为$985.96 = 9.8596 × 100 = 3.14^2 × 10^2 = (3.14 × 10)^2 = 31.4^2$，
所以$x^2 = 31.4^2$。
根据平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，可得$x = \pm 31.4$。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方根的性质；有理数乘方的运算规律
【点评】
本题是基础题，解题的关键是掌握乘方运算中底数和幂的小数点移动的对应关系，同时要注意正数的平方根有正负两个，避免漏解。
【难度系数】
0.8
9.如图，A，B，C均为正方形，若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是
2(答案不唯一)
（写出一个答案即可）。答案
9.2(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此可以先根据A、C的面积分别求出它们的边长。再观察图形的摆放特点，能得出三个正方形的边长满足“正方形A的边长＞正方形B的边长＞正方形C的边长”的大小关系，最后在这个范围内任取一个正数作为B的边长即可。
【解析】
解：根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长）可得：
1. 计算正方形A的边长：已知$S_A=10$，因此A的边长为$\sqrt{10}\approx3.16$；
2. 计算正方形C的边长：已知$S_C=1$，因此C的边长为$\sqrt{1}=1$；
3. 由图形可知，三个正方形的边长大小关系为：$1 ＜ \mathrm{正方形B的边长} ＜ \sqrt{10}\approx3.16$，因此在这个区间内的正数均符合要求，例如取边长为2。
【答案】
2（答案不唯一，大于1且小于$\sqrt{10}$的正数均可）
【知识点】
正方形面积计算，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题结合几何图形考查了正方形的基本性质和实数的相关知识，解题的关键是通过观察图形得到三个正方形边长的大小关系，开放性较强，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先回忆正方形面积和边长的关系：正方形面积等于边长的平方，因此可以先根据A、C的面积分别求出它们的边长。再观察图形的摆放特点，能得出三个正方形的边长满足“正方形A的边长＞正方形B的边长＞正方形C的边长”的大小关系，最后在这个范围内任取一个正数作为B的边长即可。
【解析】
解：根据正方形面积公式$S=a^2$（$a$为正方形边长）可得：
1. 计算正方形A的边长：已知$S_A=10$，因此A的边长为$\sqrt{10}\approx3.16$；
2. 计算正方形C的边长：已知$S_C=1$，因此C的边长为$\sqrt{1}=1$；
3. 由图形可知，三个正方形的边长大小关系为：$1 ＜ \mathrm{正方形B的边长} ＜ \sqrt{10}\approx3.16$，因此在这个区间内的正数均符合要求，例如取边长为2。
【答案】
2（答案不唯一，大于1且小于$\sqrt{10}$的正数均可）
【知识点】
正方形面积计算，无理数估算，实数大小比较
【点评】
本题结合几何图形考查了正方形的基本性质和实数的相关知识，解题的关键是通过观察图形得到三个正方形边长的大小关系，开放性较强，难度较低。
【难度系数】
0.8
10.张师傅将一个体积为$28\ \mathrm{cm}^3$的铁块和一个体积为$36\ \mathrm{cm}^3$的铁块熔铸成一个大的正方体铁块，熔铸成的大正方体铁块的棱长是
4
cm.答案
10.4
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是抓住铁块熔铸前后总体积不变的特点：第一步先计算两个小铁块的体积之和，得到熔铸成的大正方体的体积；再结合正方体体积公式，通过求体积的立方根就能得到大正方体的棱长。
【解析】
1. 计算熔铸后大正方体的总体积：熔铸前后体积不变，因此大正方体体积等于两个小铁块的体积和，即$28+36=64\ \mathrm{cm}^3$。
2. 求大正方体的棱长：设大正方体棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得$a^3=64$，因为$4^3=64$，所以$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
等积变形；正方体体积计算；立方根运算
【点评】
本题重点考查体积不变的熔铸特点，结合正方体体积公式即可求解，熟练掌握常见整数的立方值能加快解题速度。
【难度系数】
0.8
解决这道题的核心思路是抓住铁块熔铸前后总体积不变的特点：第一步先计算两个小铁块的体积之和，得到熔铸成的大正方体的体积；再结合正方体体积公式，通过求体积的立方根就能得到大正方体的棱长。
【解析】
1. 计算熔铸后大正方体的总体积：熔铸前后体积不变，因此大正方体体积等于两个小铁块的体积和，即$28+36=64\ \mathrm{cm}^3$。
2. 求大正方体的棱长：设大正方体棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，可得$a^3=64$，因为$4^3=64$，所以$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
等积变形；正方体体积计算；立方根运算
【点评】
本题重点考查体积不变的熔铸特点，结合正方体体积公式即可求解，熟练掌握常见整数的立方值能加快解题速度。
【难度系数】
0.8
11.若$ x = \sqrt[3]{314} $，$ y = \sqrt[3]{0.314} $，则$ x $与$ y $的数量关系是
$x=10y$
。答案
11.$x=10y$
解析
【分析】
解题时首先观察两个被开方数314和0.314的数量关系，可发现314是0.314的1000倍，也就是$10^3$倍；再结合立方根的运算性质，拆分被开方数后分别开立方，即可推导出x和y的数量关系。
【解析】
解：已知$x = \sqrt[3]{314}$，$y = \sqrt[3]{0.314}$
先对被开方数314变形：$314 = 0.314 × 1000 = 0.314 × 10^3$
将其代入x的表达式得：
$x = \sqrt[3]{0.314 × 10^3}$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$，拆分可得：
$x = \sqrt[3]{0.314} × \sqrt[3]{10^3}$
其中$\sqrt[3]{10^3}=10$，$\sqrt[3]{0.314}=y$，代入后可得：
$x=10y$
【答案】
$x=10y$
【知识点】
1. 立方根的运算性质
2. 被开方数与立方根的变化规律
【点评】
本题属于立方根性质的基础应用题型，解题核心是先找到两个被开方数的倍数关系，再结合立方根运算规则推导结果，熟练掌握立方根的相关规律可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察两个被开方数314和0.314的数量关系，可发现314是0.314的1000倍，也就是$10^3$倍；再结合立方根的运算性质，拆分被开方数后分别开立方，即可推导出x和y的数量关系。
【解析】
解：已知$x = \sqrt[3]{314}$，$y = \sqrt[3]{0.314}$
先对被开方数314变形：$314 = 0.314 × 1000 = 0.314 × 10^3$
将其代入x的表达式得：
$x = \sqrt[3]{0.314 × 10^3}$
根据立方根的运算性质$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}·\sqrt[3]{b}$，拆分可得：
$x = \sqrt[3]{0.314} × \sqrt[3]{10^3}$
其中$\sqrt[3]{10^3}=10$，$\sqrt[3]{0.314}=y$，代入后可得：
$x=10y$
【答案】
$x=10y$
【知识点】
1. 立方根的运算性质
2. 被开方数与立方根的变化规律
【点评】
本题属于立方根性质的基础应用题型，解题核心是先找到两个被开方数的倍数关系，再结合立方根运算规则推导结果，熟练掌握立方根的相关规律可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
12.在有理数的原有运算法则中,我们补充新运算“⊕”如下:当$a≥b$时,$a⊕b=b^2$;当$a＜b$时,$a⊕b=a$.
(1)当$a=-2,b=1$时,$a⊕b=$
(2)当$x=2$时,$(1⊕x)-(3⊕x)$的值为
(1)当$a=-2,b=1$时,$a⊕b=$
$-2$
;(2)当$x=2$时,$(1⊕x)-(3⊕x)$的值为
$-3$
.答案
12.(1)$-2$ (2)$-3$
解析
【分析】
解决这类新定义运算题的核心是先准确理解新运算的规则：先比较运算符号前后两个数的大小，再根据大小关系选择对应的公式计算。第(1)问直接比较给出的a、b大小，代入对应规则即可求解；第(2)问先将x=2代入，分别计算两个新运算的结果，再按有理数减法规则计算差值即可。
【解析】
(1) 已知a=-2，b=1，先比较大小：$\because -2＜1$，符合$a＜b$的情况，根据新运算规则，当$a＜b$时，$a⊕b=a$，$\therefore a⊕b=-2$。
(2) 当$x=2$时：
① 计算$1⊕x$即$1⊕2$：$\because 1＜2$，符合$a＜b$的情况，$\therefore 1⊕2=1$；
② 计算$3⊕x$即$3⊕2$：$\because 3≥2$，符合$a≥b$的情况，根据规则当$a≥b$时，$a⊕b=b^2$，$\therefore 3⊕2=2^2=4$；
③ 计算差值：$(1⊕x)-(3⊕x)=1-4=-3$。
【答案】
(1)$-2$；(2)$-3$
【知识点】
新定义运算、有理数大小比较、有理数加减运算
【点评】
本题是典型的新定义运算题型，解题的关键是读懂规则，严格按照要求先判断大小再选对应公式计算，注意运算顺序不要混淆。
【难度系数】
0.8
解决这类新定义运算题的核心是先准确理解新运算的规则：先比较运算符号前后两个数的大小，再根据大小关系选择对应的公式计算。第(1)问直接比较给出的a、b大小，代入对应规则即可求解；第(2)问先将x=2代入，分别计算两个新运算的结果，再按有理数减法规则计算差值即可。
【解析】
(1) 已知a=-2，b=1，先比较大小：$\because -2＜1$，符合$a＜b$的情况，根据新运算规则，当$a＜b$时，$a⊕b=a$，$\therefore a⊕b=-2$。
(2) 当$x=2$时：
① 计算$1⊕x$即$1⊕2$：$\because 1＜2$，符合$a＜b$的情况，$\therefore 1⊕2=1$；
② 计算$3⊕x$即$3⊕2$：$\because 3≥2$，符合$a≥b$的情况，根据规则当$a≥b$时，$a⊕b=b^2$，$\therefore 3⊕2=2^2=4$；
③ 计算差值：$(1⊕x)-(3⊕x)=1-4=-3$。
【答案】
(1)$-2$；(2)$-3$
【知识点】
新定义运算、有理数大小比较、有理数加减运算
【点评】
本题是典型的新定义运算题型，解题的关键是读懂规则，严格按照要求先判断大小再选对应公式计算，注意运算顺序不要混淆。
【难度系数】
0.8
13. 计算：
(1)$(-1)^{2024} - \sqrt{9} + |-\sqrt{3}| + \sqrt[3]{8}$；
(2)$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$。
(1)$(-1)^{2024} - \sqrt{9} + |-\sqrt{3}| + \sqrt[3]{8}$；
(2)$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|$。
答案
13.解:(1)$(-1)^{2024} - \sqrt{9} + |-\sqrt{3}| + \sqrt[3]{8}=1-3+\sqrt{3}+2=\sqrt{3}$.
(2)$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|=4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$.
(2)$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|=4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这两道题均为实数混合运算题，解题思路是先拆分计算每一项：先算乘方、算术平方根、立方根，再化简绝对值，最后按照从左到右的顺序做加减运算即可。计算时要牢记基础规则：负数的偶次幂为正数，算术平方根是非负数，立方根符号与被开方数一致，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身。
【解析】
(1) 分别计算各项的值再合并：
$(-1)^{2024}$：2024是偶数，结果为1；
$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3；
$|-\sqrt{3}|$是$-\sqrt{3}$的绝对值，结果为$\sqrt{3}$；
$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，结果为2；
代入原式计算：
$(-1)^{2024} - \sqrt{9} + |-\sqrt{3}| + \sqrt[3]{8}=1-3+\sqrt{3}+2=\sqrt{3}$
(2) 分别计算各项的值再合并：
$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4；
$\sqrt[3]{27}$是27的立方根，结果为3；
$|1 - \sqrt{2}|$：因为$\sqrt{2}＞1$，$1-\sqrt{2}＜0$，所以绝对值化简为$\sqrt{2}-1$；
代入原式计算：
$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|=4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{2}$
【知识点】
实数混合运算、绝对值的性质、开方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察乘方、开方、绝对值的基础运算规则，计算时注意核对每一项的符号，细心运算即可避免错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均为实数混合运算题，解题思路是先拆分计算每一项：先算乘方、算术平方根、立方根，再化简绝对值，最后按照从左到右的顺序做加减运算即可。计算时要牢记基础规则：负数的偶次幂为正数，算术平方根是非负数，立方根符号与被开方数一致，负数的绝对值等于它的相反数，正数的绝对值等于它本身。
【解析】
(1) 分别计算各项的值再合并：
$(-1)^{2024}$：2024是偶数，结果为1；
$\sqrt{9}$是9的算术平方根，结果为3；
$|-\sqrt{3}|$是$-\sqrt{3}$的绝对值，结果为$\sqrt{3}$；
$\sqrt[3]{8}$是8的立方根，结果为2；
代入原式计算：
$(-1)^{2024} - \sqrt{9} + |-\sqrt{3}| + \sqrt[3]{8}=1-3+\sqrt{3}+2=\sqrt{3}$
(2) 分别计算各项的值再合并：
$\sqrt{16}$是16的算术平方根，结果为4；
$\sqrt[3]{27}$是27的立方根，结果为3；
$|1 - \sqrt{2}|$：因为$\sqrt{2}＞1$，$1-\sqrt{2}＜0$，所以绝对值化简为$\sqrt{2}-1$；
代入原式计算：
$\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + |1 - \sqrt{2}|=4-3+\sqrt{2}-1=\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$\sqrt{2}$
【知识点】
实数混合运算、绝对值的性质、开方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考察乘方、开方、绝对值的基础运算规则，计算时注意核对每一项的符号，细心运算即可避免错误。
【难度系数】
0.8
