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9.在平面直角坐标系中，点$P(-2,3)$关于$x$轴的对称点在第
三
象限.答案
9.三
解析
【分析】
解题时需分两步思考：第一步，回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标保持不变，纵坐标变为原坐标的相反数，据此求出点P的对称点坐标；第二步，结合平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，判断对称点所在的象限即可。
【解析】
首先，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(-2,3)$，则它关于x轴的对称点的横坐标为$-2$，纵坐标为$3$的相反数$-3$，即对称点坐标为$(-2,-3)$。
再根据象限的坐标符号规则：第三象限内的点横、纵坐标均为负数，可知点$(-2,-3)$在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查平面直角坐标系的基础性质，只要熟练掌握对称点的坐标变化规律和各象限的坐标符号特点，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.85
解题时需分两步思考：第一步，回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标保持不变，纵坐标变为原坐标的相反数，据此求出点P的对称点坐标；第二步，结合平面直角坐标系中四个象限的坐标符号特征，判断对称点所在的象限即可。
【解析】
首先，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数。
已知点P的坐标为$(-2,3)$，则它关于x轴的对称点的横坐标为$-2$，纵坐标为$3$的相反数$-3$，即对称点坐标为$(-2,-3)$。
再根据象限的坐标符号规则：第三象限内的点横、纵坐标均为负数，可知点$(-2,-3)$在第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标规律
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题属于基础常考题，主要考查平面直角坐标系的基础性质，只要熟练掌握对称点的坐标变化规律和各象限的坐标符号特点，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.85
10. 点A(-3,m)和点B(n,2)关于原点对称，则$m+n=$
1
.答案
10.1
解析
【分析】
解决本题首先需要明确关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以先根据这个规律分别求出m、n的取值，再代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数，
已知点A(-3,m)和点B(n,2)关于原点对称，
∴n = -(-3) = 3，m = -2，
∴m + n = -2 + 3 = 1。
【答案】
1
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.有理数的加法运算
【点评】
本题是平面直角坐标系相关的基础题型，主要考查原点对称坐标性质的应用，熟练掌握坐标变化的对应规律就能快速解题，属于该章节的常考基础考点。
【难度系数】
0.85
解决本题首先需要明确关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。我们可以先根据这个规律分别求出m、n的取值，再代入计算m+n的结果即可。
【解析】
解：
∵关于原点对称的两个点的横、纵坐标分别互为相反数，
已知点A(-3,m)和点B(n,2)关于原点对称，
∴n = -(-3) = 3，m = -2，
∴m + n = -2 + 3 = 1。
【答案】
1
【知识点】
1.关于原点对称的点的坐标特征
2.有理数的加法运算
【点评】
本题是平面直角坐标系相关的基础题型，主要考查原点对称坐标性质的应用，熟练掌握坐标变化的对应规律就能快速解题，属于该章节的常考基础考点。
【难度系数】
0.85
11.点P在第二象限内，且到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标可以为
(-2,2)(答案不唯一)
。答案
11.(-2,2)(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先提取题干的两个核心条件：①点P在第二象限；②点P到两坐标轴的距离相等。首先回忆第二象限内点的坐标符号规律：横坐标为负，纵坐标为正；再明确点到坐标轴的距离定义：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，距离相等即横、纵坐标的绝对值相等。结合第二象限的符号特征，可推导出点P的横、纵坐标互为相反数，写出任意一组满足横坐标为负、纵坐标为对应的相反数的坐标即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$：
1. 由点P在第二象限，可得$x＜0$，$y＞0$；
2. 点P到x轴的距离为$|y|$，到y轴的距离为$|x|$，根据到两坐标轴距离相等，得$|x|=|y|$；
3. 结合$x＜0、y＞0$的符号特征，去掉绝对值得$y=-x$，只需取任意小于0的x值，计算对应的y值即可，例如取$x=-2$，则$y=2$，即点P坐标为$(-2,2)$，所有满足条件的坐标均可。
【答案】
$(-2,2)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础考查题，核心是结合两个已知条件推导坐标的取值规律，只要熟练掌握象限符号和点到坐标轴距离的概念，即可快速作答，注意不要混淆横纵坐标的符号规律。
【难度系数】
0.8
解题时先提取题干的两个核心条件：①点P在第二象限；②点P到两坐标轴的距离相等。首先回忆第二象限内点的坐标符号规律：横坐标为负，纵坐标为正；再明确点到坐标轴的距离定义：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，距离相等即横、纵坐标的绝对值相等。结合第二象限的符号特征，可推导出点P的横、纵坐标互为相反数，写出任意一组满足横坐标为负、纵坐标为对应的相反数的坐标即可。
【解析】
设点P的坐标为$(x,y)$：
1. 由点P在第二象限，可得$x＜0$，$y＞0$；
2. 点P到x轴的距离为$|y|$，到y轴的距离为$|x|$，根据到两坐标轴距离相等，得$|x|=|y|$；
3. 结合$x＜0、y＞0$的符号特征，去掉绝对值得$y=-x$，只需取任意小于0的x值，计算对应的y值即可，例如取$x=-2$，则$y=2$，即点P坐标为$(-2,2)$，所有满足条件的坐标均可。
【答案】
$(-2,2)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点到坐标轴的距离
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础考查题，核心是结合两个已知条件推导坐标的取值规律，只要熟练掌握象限符号和点到坐标轴距离的概念，即可快速作答，注意不要混淆横纵坐标的符号规律。
【难度系数】
0.8
12.如图，$△ ABC$的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是$(-1,0)$，现将$△ ABC$绕点A顺时针旋转$90°$，则旋转后点C的坐标是
(2,1)
。答案
12.(2,1)
解析
【分析】
解题时首先根据已知点A的坐标，明确方格的单位长度为1，坐标系遵循x轴向右为正、y轴向上为正的规则，先确定旋转前点C的坐标；再利用旋转的坐标变换规律求解：先求点C相对于旋转中心A的相对坐标，将相对坐标按顺时针旋转90°的规则变换后，再加上点A的坐标即可得到旋转后点C的坐标，也可通过在网格中直接作图数格子验证结果。
【解析】
1. 确定旋转前点C的坐标：已知点A坐标为$(-1,0)$，观察方格可得点C的坐标为$(-2,3)$。
2. 计算点C相对于点A的相对坐标：横坐标差为$-2 - (-1) = -1$，纵坐标差为$3 - 0 = 3$，即相对坐标为$(-1,3)$。
3. 相对坐标旋转变换：点绕中心顺时针旋转$90°$时，原相对坐标$(a,b)$变换为$(b,-a)$，将相对坐标$(-1,3)$代入，得变换后的相对坐标为$(3,1)$。
4. 计算旋转后点C的坐标：用点A的坐标加变换后的相对坐标，横坐标为$-1 + 3 = 2$，纵坐标为$0 + 1 = 1$。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
平面直角坐标系，图形的旋转，坐标与图形变化
【点评】
本题考查旋转在平面直角坐标系中的应用，既可以通过坐标变换规则计算结果，也可以通过直观画图数格子得到答案，两种方法结合可有效提升解题正确率。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据已知点A的坐标，明确方格的单位长度为1，坐标系遵循x轴向右为正、y轴向上为正的规则，先确定旋转前点C的坐标；再利用旋转的坐标变换规律求解：先求点C相对于旋转中心A的相对坐标，将相对坐标按顺时针旋转90°的规则变换后，再加上点A的坐标即可得到旋转后点C的坐标，也可通过在网格中直接作图数格子验证结果。
【解析】
1. 确定旋转前点C的坐标：已知点A坐标为$(-1,0)$，观察方格可得点C的坐标为$(-2,3)$。
2. 计算点C相对于点A的相对坐标：横坐标差为$-2 - (-1) = -1$，纵坐标差为$3 - 0 = 3$，即相对坐标为$(-1,3)$。
3. 相对坐标旋转变换：点绕中心顺时针旋转$90°$时，原相对坐标$(a,b)$变换为$(b,-a)$，将相对坐标$(-1,3)$代入，得变换后的相对坐标为$(3,1)$。
4. 计算旋转后点C的坐标：用点A的坐标加变换后的相对坐标，横坐标为$-1 + 3 = 2$，纵坐标为$0 + 1 = 1$。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
平面直角坐标系，图形的旋转，坐标与图形变化
【点评】
本题考查旋转在平面直角坐标系中的应用，既可以通过坐标变换规则计算结果，也可以通过直观画图数格子得到答案，两种方法结合可有效提升解题正确率。
【难度系数】
0.7
13. 在平面直角坐标系中，将点$A(-1,2)$向右平移3个单位长度得到点$B$，则点$B$关于$x$轴的对称点$C$的坐标是
(2,-2)
。答案
13.(2,-2)
解析
【分析】
解题时需分两步计算：第一步先根据点的平移规律求出点B的坐标，第二步再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点C的坐标。首先回忆平移规律：点在平面直角坐标系中左右平移时，横坐标遵循“右加左减”原则，纵坐标保持不变；关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，按照这个逻辑逐步推导即可。
【解析】
1. 求平移后点B的坐标：
点$A(-1,2)$向右平移3个单位长度，根据“右加左减”的平移规律，横坐标加3，纵坐标不变，因此点B的横坐标为$-1+3=2$，纵坐标仍为2，即$B(2,2)$。
2. 求点B关于x轴的对称点C的坐标：
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此点C的横坐标与B相同为2，纵坐标为2的相反数$-2$，即$C(2,-2)$。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
1. 点的平移坐标规律
2. 关于x轴对称的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，主要考查坐标的平移变换和轴对称变换的规则，熟练掌握两类变换的坐标变化规律即可快速解题，解题时注意不要混淆平移的加减规则和对称的坐标变化特点。
【难度系数】
0.9
解题时需分两步计算：第一步先根据点的平移规律求出点B的坐标，第二步再根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点C的坐标。首先回忆平移规律：点在平面直角坐标系中左右平移时，横坐标遵循“右加左减”原则，纵坐标保持不变；关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，按照这个逻辑逐步推导即可。
【解析】
1. 求平移后点B的坐标：
点$A(-1,2)$向右平移3个单位长度，根据“右加左减”的平移规律，横坐标加3，纵坐标不变，因此点B的横坐标为$-1+3=2$，纵坐标仍为2，即$B(2,2)$。
2. 求点B关于x轴的对称点C的坐标：
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，因此点C的横坐标与B相同为2，纵坐标为2的相反数$-2$，即$C(2,-2)$。
【答案】
$(2,-2)$
【知识点】
1. 点的平移坐标规律
2. 关于x轴对称的坐标特征
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础题型，主要考查坐标的平移变换和轴对称变换的规则，熟练掌握两类变换的坐标变化规律即可快速解题，解题时注意不要混淆平移的加减规则和对称的坐标变化特点。
【难度系数】
0.9
14.若点A(m−1,3−m)在第四象限，则m的取值范围是
m＞3
。答案
14.m＞3
解析
【分析】
解题时首先回忆第四象限内点的坐标符号特征：横坐标为正，纵坐标为负。根据点A的坐标分别列出关于m的两个不等式，组成一元一次不等式组，再分别求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵第四象限内的点满足横坐标大于0，纵坐标小于0，且点$A(m−1,3−m)$在第四象限
∴可列不等式组：
$\begin{cases}m-1＞0 \quad \mathrm{①} \\3-m＜0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①，移项得$m＞1$；
解不等式②，移项得$-m＜-3$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变）得$m＞3$；
根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为$m＞3$。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
象限内点的坐标特征、一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式结合的基础题型，解题核心是熟练掌握各象限内点的坐标符号规律，正确求解不等式后取公共解集即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆第四象限内点的坐标符号特征：横坐标为正，纵坐标为负。根据点A的坐标分别列出关于m的两个不等式，组成一元一次不等式组，再分别求解每个不等式，最后取两个解集的公共部分即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵第四象限内的点满足横坐标大于0，纵坐标小于0，且点$A(m−1,3−m)$在第四象限
∴可列不等式组：
$\begin{cases}m-1＞0 \quad \mathrm{①} \\3-m＜0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①，移项得$m＞1$；
解不等式②，移项得$-m＜-3$，两边同时乘$-1$（不等号方向改变）得$m＞3$；
根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为$m＞3$。
【答案】
$m＞3$
【知识点】
象限内点的坐标特征、一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是平面直角坐标系与不等式结合的基础题型，解题核心是熟练掌握各象限内点的坐标符号规律，正确求解不等式后取公共解集即可。
【难度系数】
0.8
15.如图,已知点A(2,0),B(0,4),C(2,4),D(6,6),连接AB,CD,将线段AB绕着某一点旋转一定角度,使其与线段CD重合(点A与点C重合,点B与点D重合),则这个旋转中心的坐标为
(4,2)
。答案
15.(4,2) [解析]如图所示,旋转中心是点P,P(4,2).
解析
【分析】
要确定旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。本题中A的对应点是C，B的对应点是D，只需分别求出线段AC、BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的旋转中心，再结合平面直角坐标系的坐标运算求出交点坐标即可。
【解析】
由题意得，旋转后点A与点C重合，点B与点D重合，即A(2,0)对应C(2,4)，B(0,4)对应D(6,6)。
1. 求线段AC的垂直平分线：
A、C横坐标均为2，线段AC为垂直于x轴的竖直线段，其中点坐标为$(\frac{2+2}{2},\frac{0+4}{2})=(2,2)$，因此AC的垂直平分线是过点(2,2)且平行于x轴的直线，即$\boldsymbol{y=2}$。
2. 求线段BD的垂直平分线：
先求BD的中点坐标：$(\frac{0+6}{2},\frac{4+6}{2})=(3,5)$；
线段BD的斜率为$k_{BD}=\frac{6-4}{6-0}=\frac{1}{3}$，因此其垂直平分线的斜率为负倒数$-3$；
结合中点(3,5)可得BD的垂直平分线解析式：$y-5=-3(x-3)$，整理得$\boldsymbol{y=-3x+14}$。
3. 求两条垂直平分线的交点：
将$y=2$代入$y=-3x+14$，得$2=-3x+14$，解得$x=4$，即交点坐标为$(4,2)$，也就是所求的旋转中心。
【答案】
$(4,2)$
【知识点】
旋转的性质，线段垂直平分线的性质，一次函数的应用
【点评】
本题解题关键是牢记旋转中心的确定方法：旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，结合平面直角坐标系的坐标计算、一次函数的相关知识即可求解，解题时注意不要混淆对应点的对应关系。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心到任意一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。本题中A的对应点是C，B的对应点是D，只需分别求出线段AC、BD的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的旋转中心，再结合平面直角坐标系的坐标运算求出交点坐标即可。
【解析】
由题意得，旋转后点A与点C重合，点B与点D重合，即A(2,0)对应C(2,4)，B(0,4)对应D(6,6)。
1. 求线段AC的垂直平分线：
A、C横坐标均为2，线段AC为垂直于x轴的竖直线段，其中点坐标为$(\frac{2+2}{2},\frac{0+4}{2})=(2,2)$，因此AC的垂直平分线是过点(2,2)且平行于x轴的直线，即$\boldsymbol{y=2}$。
2. 求线段BD的垂直平分线：
先求BD的中点坐标：$(\frac{0+6}{2},\frac{4+6}{2})=(3,5)$；
线段BD的斜率为$k_{BD}=\frac{6-4}{6-0}=\frac{1}{3}$，因此其垂直平分线的斜率为负倒数$-3$；
结合中点(3,5)可得BD的垂直平分线解析式：$y-5=-3(x-3)$，整理得$\boldsymbol{y=-3x+14}$。
3. 求两条垂直平分线的交点：
将$y=2$代入$y=-3x+14$，得$2=-3x+14$，解得$x=4$，即交点坐标为$(4,2)$，也就是所求的旋转中心。
【答案】
$(4,2)$
【知识点】
旋转的性质，线段垂直平分线的性质，一次函数的应用
【点评】
本题解题关键是牢记旋转中心的确定方法：旋转中心是两组对应点连线的垂直平分线的交点，结合平面直角坐标系的坐标计算、一次函数的相关知识即可求解，解题时注意不要混淆对应点的对应关系。
【难度系数】
0.7
16.已知正六边形ABCDEF在平面直角坐标系内的位置如图所示，A(-2,0)，点B在原点，把正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2028次翻转之后，点B的坐标是
(4 056,0)
.答案
16.(4 056,0)
解析
【分析】
首先根据已知点A、B的坐标求出正六边形的边长，再结合正六边形的特征确定翻转的周期：正六边形每次翻转60°，每翻转6次为一个完整周期，每个周期后正六边形沿x轴正方向移动6个边长的距离，且点B会回到x轴上。接下来计算2028次翻转包含的完整周期数，判断翻转后点B的位置特征，最后计算横坐标即可得到坐标。
【解析】
1. 求正六边形边长：已知A(-2,0)，点B在原点，因此边长$AB=|0-(-2)|=2$。
2. 确定翻转周期：正六边形每次翻转60°，翻转6次总共旋转$6×60°=360°$，完成一个完整循环，此时正六边形沿x轴正方向移动的距离为6个边长，即$6×2=12$，且点B落在x轴上。
3. 计算周期数：$2028÷6=338$，说明2028次翻转刚好是338个完整周期，翻转后点B仍在x轴上，纵坐标为0。
4. 计算点B横坐标：每个周期点B向右移动12，338个周期共移动$338×12=4056$，因此点B坐标为$(4056,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(4056,0)}$
【知识点】
正六边形的性质，坐标与图形旋转，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是找到正六边形翻转的周期，结合周期判断点的位置特征，再进行计算即可，需要注意无滑动翻转时移动距离和边长的关系。
【难度系数】
0.65
首先根据已知点A、B的坐标求出正六边形的边长，再结合正六边形的特征确定翻转的周期：正六边形每次翻转60°，每翻转6次为一个完整周期，每个周期后正六边形沿x轴正方向移动6个边长的距离，且点B会回到x轴上。接下来计算2028次翻转包含的完整周期数，判断翻转后点B的位置特征，最后计算横坐标即可得到坐标。
【解析】
1. 求正六边形边长：已知A(-2,0)，点B在原点，因此边长$AB=|0-(-2)|=2$。
2. 确定翻转周期：正六边形每次翻转60°，翻转6次总共旋转$6×60°=360°$，完成一个完整循环，此时正六边形沿x轴正方向移动的距离为6个边长，即$6×2=12$，且点B落在x轴上。
3. 计算周期数：$2028÷6=338$，说明2028次翻转刚好是338个完整周期，翻转后点B仍在x轴上，纵坐标为0。
4. 计算点B横坐标：每个周期点B向右移动12，338个周期共移动$338×12=4056$，因此点B坐标为$(4056,0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(4056,0)}$
【知识点】
正六边形的性质，坐标与图形旋转，规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，解题的核心是找到正六边形翻转的周期，结合周期判断点的位置特征，再进行计算即可，需要注意无滑动翻转时移动距离和边长的关系。
【难度系数】
0.65
17. 如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10,0)，(0,4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为
(2,4)或(3,4)或(8,4)
。答案
17.(2,4)或(3,4)或(8,4)
解析
【分析】首先从已知条件入手，长方形OABC中BC边平行于x轴，因此点P的纵坐标恒为4，只需求出横坐标即可。先求出D点坐标，可知OD长度为5，题目要求△ODP是腰长为5的等腰三角形，需分两类讨论腰的对应情况：一是OD与OP为腰（OD=OP=5），二是OD与DP为腰（OD=DP=5），结合勾股定理计算横坐标，同时排除不符合腰长要求的情况即可得到结果。
【解析】
解：已知A(10,0)，点D是OA的中点，因此D点坐标为(5,0)，OD=5。
∵四边形OABC是长方形，C点坐标为(0,4)，
∴BC边平行于x轴，点P在BC上运动，故设P点坐标为(x,4)，其中0≤x≤10。
△ODP是腰长为5的等腰三角形，分情况讨论：
1. 当OD=OP=5时：
由勾股定理得：$\sqrt{x^2 + 4^2}=5$，
化简得$x^2 + 16 = 25$，解得$x=3$（x为负数不符合坐标范围舍去），即P(3,4)。
2. 当OD=DP=5时：
由勾股定理得：$\sqrt{(x-5)^2 + 4^2}=5$，
化简得$(x-5)^2 + 16 = 25$，即$(x-5)^2=9$，
解得$x=5+3=8$或$x=5-3=2$，均符合0≤x≤10的范围，即P(2,4)或P(8,4)。
若OP=DP为腰，计算得此时腰长不等于5，不符合要求，舍去。
【答案】(2,4)或(3,4)或(8,4)
【知识点】平面直角坐标系，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】本题核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意腰的对应关系不唯一，需结合图形的坐标范围筛选解，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】0.6
【解析】
解：已知A(10,0)，点D是OA的中点，因此D点坐标为(5,0)，OD=5。
∵四边形OABC是长方形，C点坐标为(0,4)，
∴BC边平行于x轴，点P在BC上运动，故设P点坐标为(x,4)，其中0≤x≤10。
△ODP是腰长为5的等腰三角形，分情况讨论：
1. 当OD=OP=5时：
由勾股定理得：$\sqrt{x^2 + 4^2}=5$，
化简得$x^2 + 16 = 25$，解得$x=3$（x为负数不符合坐标范围舍去），即P(3,4)。
2. 当OD=DP=5时：
由勾股定理得：$\sqrt{(x-5)^2 + 4^2}=5$，
化简得$(x-5)^2 + 16 = 25$，即$(x-5)^2=9$，
解得$x=5+3=8$或$x=5-3=2$，均符合0≤x≤10的范围，即P(2,4)或P(8,4)。
若OP=DP为腰，计算得此时腰长不等于5，不符合要求，舍去。
【答案】(2,4)或(3,4)或(8,4)
【知识点】平面直角坐标系，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】本题核心考查等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意腰的对应关系不唯一，需结合图形的坐标范围筛选解，避免出现漏解或多解的问题。
【难度系数】0.6
18.如图，已知点$A(-3,4)$，将线段$OA$绕点$A$逆时针旋转$90°$至$AA'$，则点$A'$的坐标是
(1,7)
。答案
18.(1,7) [解析]如图,过点A作y轴的平行线EF,交x轴于点N,再过点A'作EF的垂线,垂足为M.
由旋转可知,AO=AA',∠A'AO=90°,
∴∠A'AM+∠OAN=90°.
又A'M⊥EF,AN⊥x轴,
∴∠A'MA=∠ANO=90°,
∴∠OAN+∠AON=90°,
∴∠A'AM=∠AON.
在△A'MA和△ANO中,
$\begin{cases}∠A'MA=∠ANO, \\∠A'AM=∠AON, \\AA'=OA,\end{cases}$
∴△A'MA≌△ANO(AAS),
∴A'M=AN,MA=NO.
∵点A的坐标为(-3,4),
∴A'M=AN=4,MA=NO=3,
∴4-3=1,4+3=7,
∴点A'的坐标为(1,7).
解析
【分析】
遇到旋转90°求点坐标的问题，可结合旋转性质构造全等三角形求解。首先由旋转可得AA'=OA且∠A'AO=90°，我们过点A作平行于y轴的直线，再过点A'作该直线的垂线，可得到两个直角三角形；利用同角的余角相等可推出两个三角形的对应角相等，结合旋转得到的等边，即可证明两三角形全等；再将已知点A的坐标转化为对应线段的长度，就能推导得到点A'的坐标。
【解析】
过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点A'作EF的垂线，垂足为M。
由旋转的性质可知：$AO=AA'$，$∠ A'AO=90°$，
$\therefore ∠ A'AM + ∠ OAN = 90°$。
$\because A'M⊥ EF$，$AN⊥ x$轴，
$\therefore ∠ A'MA = ∠ ANO = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ANO$中，$∠ OAN + ∠ AON = 90°$，
$\therefore ∠ A'AM = ∠ AON$。
在$△ A'MA$和$△ ANO$中：
$\begin{cases}∠ A'MA = ∠ ANO \\∠ A'AM = ∠ AON \\AA' = OA\end{cases}$
$\therefore △ A'MA ≌ △ ANO \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore A'M = AN$，$MA = NO$。
$\because$点$A$的坐标为$(-3,4)$，
$\therefore AN=4$，$NO=3$，即$A'M=4$，$MA=3$。
$\therefore$点$A'$的横坐标为$-3 + 4 = 1$，纵坐标为$4 + 3 = 7$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何变换的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将点的坐标与线段长度互相转化求解，有助于锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
遇到旋转90°求点坐标的问题，可结合旋转性质构造全等三角形求解。首先由旋转可得AA'=OA且∠A'AO=90°，我们过点A作平行于y轴的直线，再过点A'作该直线的垂线，可得到两个直角三角形；利用同角的余角相等可推出两个三角形的对应角相等，结合旋转得到的等边，即可证明两三角形全等；再将已知点A的坐标转化为对应线段的长度，就能推导得到点A'的坐标。
【解析】
过点A作y轴的平行线EF，交x轴于点N，再过点A'作EF的垂线，垂足为M。
由旋转的性质可知：$AO=AA'$，$∠ A'AO=90°$，
$\therefore ∠ A'AM + ∠ OAN = 90°$。
$\because A'M⊥ EF$，$AN⊥ x$轴，
$\therefore ∠ A'MA = ∠ ANO = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ANO$中，$∠ OAN + ∠ AON = 90°$，
$\therefore ∠ A'AM = ∠ AON$。
在$△ A'MA$和$△ ANO$中：
$\begin{cases}∠ A'MA = ∠ ANO \\∠ A'AM = ∠ AON \\AA' = OA\end{cases}$
$\therefore △ A'MA ≌ △ ANO \ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore A'M = AN$，$MA = NO$。
$\because$点$A$的坐标为$(-3,4)$，
$\therefore AN=4$，$NO=3$，即$A'M=4$，$MA=3$。
$\therefore$点$A'$的横坐标为$-3 + 4 = 1$，纵坐标为$4 + 3 = 7$。
【答案】
$(1,7)$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系中几何变换的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到全等三角形，将点的坐标与线段长度互相转化求解，有助于锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
19. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁的顶点均在格点上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系。画出四边形ABCD沿y轴正方向平移4个单位长度得到的四边形A₂B₂C₂D₂，并求出点D₂的坐标和点A₁，B₂之间的距离。
19. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，四边形ABCD和四边形A₁B₁C₁D₁的顶点均在格点上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系。画出四边形ABCD沿y轴正方向平移4个单位长度得到的四边形A₂B₂C₂D₂，并求出点D₂的坐标和点A₁，B₂之间的距离。
答案
19.如图,四边形$A_2B_2C_2D_2$即为所求.
$D_2(1,3)$,$A_1B_2=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
解析
【分析】
解题时首先明确平移规则：沿y轴正方向平移4个单位长度时，图形上所有点的横坐标保持不变，纵坐标增加4。第一步先找到四边形ABCD的四个顶点，按照平移规则得到对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接即可得到平移后的图形；第二步根据平移后的坐标变化规律写出D₂的坐标；第三步先确定A₁和B₂的坐标，计算两点的横坐标差值和纵坐标差值，再利用勾股定理即可求出两点间的距离。
【解析】
1. 绘制平移后的四边形：
观察网格确定四边形ABCD各顶点的位置，将各点横坐标保持不变，纵坐标加4，得到平移后对应点A₂、B₂、C₂、D₂的位置，顺次连接四个点，即可得到四边形A₂B₂C₂D₂。
2. 计算D₂的坐标：
原D点坐标为$(1,-1)$，沿y轴正方向平移4个单位后，纵坐标变为$-1+4=3$，横坐标不变，因此$D_2$的坐标为$(1,3)$。
3. 计算A₁、B₂之间的距离：
观察网格可得$A_1$坐标为$(-3,6)$，$B_2$坐标为$(1,0)$，两点横坐标的差为$1-(-3)=4$，纵坐标的差为$6-0=6$，根据勾股定理，两点之间的距离为：
$A_1B_2=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
如图,四边形$A_2B_2C_2D_2$即为所求.
$D_2(1,3)$,$A_1B_2=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
【知识点】
1. 图形平移变换
2. 坐标与图形变化
3. 两点间距离计算
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查平移的坐标变化规律和格点中线段长度的计算方法，解题时需注意准确数清格点避免坐标计数错误，熟练掌握平移的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确平移规则：沿y轴正方向平移4个单位长度时，图形上所有点的横坐标保持不变，纵坐标增加4。第一步先找到四边形ABCD的四个顶点，按照平移规则得到对应点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接即可得到平移后的图形；第二步根据平移后的坐标变化规律写出D₂的坐标；第三步先确定A₁和B₂的坐标，计算两点的横坐标差值和纵坐标差值，再利用勾股定理即可求出两点间的距离。
【解析】
1. 绘制平移后的四边形：
观察网格确定四边形ABCD各顶点的位置，将各点横坐标保持不变，纵坐标加4，得到平移后对应点A₂、B₂、C₂、D₂的位置，顺次连接四个点，即可得到四边形A₂B₂C₂D₂。
2. 计算D₂的坐标：
原D点坐标为$(1,-1)$，沿y轴正方向平移4个单位后，纵坐标变为$-1+4=3$，横坐标不变，因此$D_2$的坐标为$(1,3)$。
3. 计算A₁、B₂之间的距离：
观察网格可得$A_1$坐标为$(-3,6)$，$B_2$坐标为$(1,0)$，两点横坐标的差为$1-(-3)=4$，纵坐标的差为$6-0=6$，根据勾股定理，两点之间的距离为：
$A_1B_2=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
如图,四边形$A_2B_2C_2D_2$即为所求.
$D_2(1,3)$,$A_1B_2=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$.
【知识点】
1. 图形平移变换
2. 坐标与图形变化
3. 两点间距离计算
【点评】
本题属于基础类题型，主要考查平移的坐标变化规律和格点中线段长度的计算方法，解题时需注意准确数清格点避免坐标计数错误，熟练掌握平移的坐标变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
