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20. 新考法 新定义问题 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2,3)，B(6,3)，连接AB。如果直线AB上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段AB的“环绕点”。试判断点C(3,1.5)，D(3.8,3.6)是否是线段AB的“环绕点”，并说明理由。
答案
20.由“环绕点”的定义可知,点P到直线AB的距离d应满足d≤1,
∵A,B两点的纵坐标都是3,
∴AB//x轴.
∴点C到直线AB的距离为|1.5-3|=1.5＞1,
点D到直线AB的距离为|3.6-3|=0.6＜1.
∴点C不是线段AB的环绕点,点D是线段AB的环绕点.
∵A,B两点的纵坐标都是3,
∴AB//x轴.
∴点C到直线AB的距离为|1.5-3|=1.5＞1,
点D到直线AB的距离为|3.6-3|=0.6＜1.
∴点C不是线段AB的环绕点,点D是线段AB的环绕点.
解析
【分析】
解题的核心是先准确理解“环绕点”的新定义，将其转化为数学条件：点到直线AB的距离不大于1（即d≤1）。首先观察A、B两点的坐标特征，两点纵坐标均为3，可判断直线AB平行于x轴，点到平行于x轴的直线的距离等于该点纵坐标与直线纵坐标差的绝对值，接下来分别计算点C、点D到直线AB的距离，和1比较大小即可判断是否为环绕点。
【解析】
根据“环绕点”的定义可知：若点P是线段AB的环绕点，则点P到直线AB的距离d满足d≤1。
∵点A(2,3)，B(6,3)的纵坐标相等，
∴直线AB平行于x轴，直线AB对应的表达式为y=3。
点C(3,1.5)到直线AB的距离为：$\left|1.5-3\right|=1.5$，
∵1.5＞1，不符合d≤1的要求，
∴点C不是线段AB的环绕点。
点D(3.8,3.6)到直线AB的距离为：$\left|3.6-3\right|=0.6$，
∵0.6＜1，符合d≤1的要求，
∴点D是线段AB的环绕点。
【答案】
点C不是线段AB的环绕点，点D是线段AB的环绕点。
【知识点】
新定义理解，点到直线的距离计算，平行于x轴直线的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是把陌生的新定义转化为已学的坐标计算问题，结合平行于坐标轴的直线的坐标特征简化距离计算，考查了知识迁移和转化的能力。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先准确理解“环绕点”的新定义，将其转化为数学条件：点到直线AB的距离不大于1（即d≤1）。首先观察A、B两点的坐标特征，两点纵坐标均为3，可判断直线AB平行于x轴，点到平行于x轴的直线的距离等于该点纵坐标与直线纵坐标差的绝对值，接下来分别计算点C、点D到直线AB的距离，和1比较大小即可判断是否为环绕点。
【解析】
根据“环绕点”的定义可知：若点P是线段AB的环绕点，则点P到直线AB的距离d满足d≤1。
∵点A(2,3)，B(6,3)的纵坐标相等，
∴直线AB平行于x轴，直线AB对应的表达式为y=3。
点C(3,1.5)到直线AB的距离为：$\left|1.5-3\right|=1.5$，
∵1.5＞1，不符合d≤1的要求，
∴点C不是线段AB的环绕点。
点D(3.8,3.6)到直线AB的距离为：$\left|3.6-3\right|=0.6$，
∵0.6＜1，符合d≤1的要求，
∴点D是线段AB的环绕点。
【答案】
点C不是线段AB的环绕点，点D是线段AB的环绕点。
【知识点】
新定义理解，点到直线的距离计算，平行于x轴直线的性质
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是把陌生的新定义转化为已学的坐标计算问题，结合平行于坐标轴的直线的坐标特征简化距离计算，考查了知识迁移和转化的能力。
【难度系数】
0.8
21. 在平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(-1,5),B(4,2),C(-1,0)$三点.
(1)点$A$关于原点$O$的对称点$A'$的坐标为________,点$B$关于$x$轴的对称点$B'$的坐标为________,点$C$关于$y$轴的对称点$C'$的坐标为________;
(2)求(1)中的$△ A'B'C'$的面积.
(1)点$A$关于原点$O$的对称点$A'$的坐标为________,点$B$关于$x$轴的对称点$B'$的坐标为________,点$C$关于$y$轴的对称点$C'$的坐标为________;
(2)求(1)中的$△ A'B'C'$的面积.
答案
21.(1)(1,-5) (4,-2) (1,0)
(2)$△A'B'C'$的面积是7.5.
(2)$△A'B'C'$的面积是7.5.
解析
【分析】
解决第(1)问时，需对应不同对称方式的坐标变化规律计算：关于原点对称的点横、纵坐标均变为原坐标的相反数；关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标变为原坐标的相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为原坐标的相反数，代入对应点坐标即可求解。解决第(2)问时，先观察三个点的坐标特征，发现A'和C'横坐标相同，线段A'C'为竖直线段，可直接作为三角形的底，再求出点B'到直线A'C'的水平距离作为高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 根据对称点坐标规律计算：
点$A(-1,5)$关于原点对称，横纵坐标均变号，得$A'(1,-5)$；
点$B(4,2)$关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号，得$B'(4,-2)$；
点$C(-1,0)$关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号，得$C'(1,0)$。
(2) 已知$A'(1,-5)$，$B'(4,-2)$，$C'(1,0)$：
① 计算底$A'C'$的长度：$A'$和$C'$横坐标相同，线段$A'C'$平行于y轴，长度为纵坐标差的绝对值，即$A'C'=|0-(-5)|=5$；
② 计算高：直线$A'C'$为$x=1$，点$B'$到该直线的水平距离为$|4-1|=3$，即三角形的高为3；
③ 代入面积公式：$S_{△ A'B'C'}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×3=7.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,-5)}$，$\boldsymbol{(4,-2)}$，$\boldsymbol{(1,0)}$
(2) $\boldsymbol{7.5}$
【知识点】
1. 对称点坐标特征
2. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常规题，第一问核心是牢记不同对称方式下的坐标变化规律，可直接套用规律快速求解；第二问优先观察点的坐标特征找底和高，比通用割补法计算更简便，解题时要优先分析图形特征选择最优方法。
【难度系数】
0.85
解决第(1)问时，需对应不同对称方式的坐标变化规律计算：关于原点对称的点横、纵坐标均变为原坐标的相反数；关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标变为原坐标的相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为原坐标的相反数，代入对应点坐标即可求解。解决第(2)问时，先观察三个点的坐标特征，发现A'和C'横坐标相同，线段A'C'为竖直线段，可直接作为三角形的底，再求出点B'到直线A'C'的水平距离作为高，代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
(1) 根据对称点坐标规律计算：
点$A(-1,5)$关于原点对称，横纵坐标均变号，得$A'(1,-5)$；
点$B(4,2)$关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号，得$B'(4,-2)$；
点$C(-1,0)$关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号，得$C'(1,0)$。
(2) 已知$A'(1,-5)$，$B'(4,-2)$，$C'(1,0)$：
① 计算底$A'C'$的长度：$A'$和$C'$横坐标相同，线段$A'C'$平行于y轴，长度为纵坐标差的绝对值，即$A'C'=|0-(-5)|=5$；
② 计算高：直线$A'C'$为$x=1$，点$B'$到该直线的水平距离为$|4-1|=3$，即三角形的高为3；
③ 代入面积公式：$S_{△ A'B'C'}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×5×3=7.5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,-5)}$，$\boldsymbol{(4,-2)}$，$\boldsymbol{(1,0)}$
(2) $\boldsymbol{7.5}$
【知识点】
1. 对称点坐标特征
2. 坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常规题，第一问核心是牢记不同对称方式下的坐标变化规律，可直接套用规律快速求解；第二问优先观察点的坐标特征找底和高，比通用割补法计算更简便，解题时要优先分析图形特征选择最优方法。
【难度系数】
0.85
22. 如图，$A(-1,0),C(1,4)$，点$B$在$x$轴上，且$AB=3$.
(1)求点$B$的坐标.
(2)求$△ ABC$的面积.
(3)在$y$轴上是否存在点$P$，使以$A,B,P$三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
(1)求点$B$的坐标.
(2)求$△ ABC$的面积.
(3)在$y$轴上是否存在点$P$，使以$A,B,P$三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
22.(1)当点B在点A的右边时,-1+3=2;
当点B在点A的左边时,-1-3=-4,
所以点B的坐标为(2,0)或(-4,0).
(2)$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3)设点P到x轴的距离为h,
则$\frac{1}{2}×3h=10$,解得$h=\frac{20}{3}$.
故点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$.
当点B在点A的左边时,-1-3=-4,
所以点B的坐标为(2,0)或(-4,0).
(2)$△ABC$的面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$.
(3)设点P到x轴的距离为h,
则$\frac{1}{2}×3h=10$,解得$h=\frac{20}{3}$.
故点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$.
解析
【分析】
(1) 点B在x轴上，因此纵坐标为0，已知AB长为3，点A坐标为(-1,0)，点B可能在A的左侧也可能在右侧，分两种情况计算横坐标即可得到B的坐标。
(2) 求△ABC面积时，可将x轴上的AB作为底边，长度为3，AB边上的高是点C到x轴的距离，即C点纵坐标的绝对值4，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 探究y轴上是否存在点P满足条件时，仍以AB为底边，AB边上的高为点P到x轴的距离（即P点纵坐标的绝对值），根据面积列方程求出高的值，再分P在y轴正、负半轴两种情况即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 点B在x轴上，故其纵坐标为0，分两种情况讨论：
①当点B在点A右侧时，横坐标为$-1+3=2$，即$B(2,0)$；
②当点B在点A左侧时，横坐标为$-1-3=-4$，即$B(-4,0)$。
(2) AB长度为3，点C到x轴的距离（AB边上的高）为4，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×3×4=6$
(3) 存在。设点P到x轴的距离为h，由△ABP面积为10得：
$\frac{1}{2}×3h=10$，解得$h=\frac{20}{3}$
点P在y轴上，因此：
当P在y轴正半轴时，坐标为$(0,\frac{20}{3})$；当P在y轴负半轴时，坐标为$(0,-\frac{20}{3})$。
【答案】
(1) $(2,0)$或$(-4,0)$
(2) $6$
(3) 存在，点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$
【知识点】
点的坐标求解；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，解题核心是明确坐标轴上点的坐标特征，以及底在坐标轴上的三角形高的求法，解题时注意考虑点的位置的多种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 点B在x轴上，因此纵坐标为0，已知AB长为3，点A坐标为(-1,0)，点B可能在A的左侧也可能在右侧，分两种情况计算横坐标即可得到B的坐标。
(2) 求△ABC面积时，可将x轴上的AB作为底边，长度为3，AB边上的高是点C到x轴的距离，即C点纵坐标的绝对值4，代入三角形面积公式即可求解。
(3) 探究y轴上是否存在点P满足条件时，仍以AB为底边，AB边上的高为点P到x轴的距离（即P点纵坐标的绝对值），根据面积列方程求出高的值，再分P在y轴正、负半轴两种情况即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 点B在x轴上，故其纵坐标为0，分两种情况讨论：
①当点B在点A右侧时，横坐标为$-1+3=2$，即$B(2,0)$；
②当点B在点A左侧时，横坐标为$-1-3=-4$，即$B(-4,0)$。
(2) AB长度为3，点C到x轴的距离（AB边上的高）为4，因此：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB × 高=\frac{1}{2}×3×4=6$
(3) 存在。设点P到x轴的距离为h，由△ABP面积为10得：
$\frac{1}{2}×3h=10$，解得$h=\frac{20}{3}$
点P在y轴上，因此：
当P在y轴正半轴时，坐标为$(0,\frac{20}{3})$；当P在y轴负半轴时，坐标为$(0,-\frac{20}{3})$。
【答案】
(1) $(2,0)$或$(-4,0)$
(2) $6$
(3) 存在，点P的坐标为$(0,\frac{20}{3})$或$(0,-\frac{20}{3})$
【知识点】
点的坐标求解；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础常考题，解题核心是明确坐标轴上点的坐标特征，以及底在坐标轴上的三角形高的求法，解题时注意考虑点的位置的多种可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
23. 如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AD=4,BC=6,AB=3.
(1)请建立恰当的平面直角坐标系,并写出四个顶点的坐标.
(2)若要使点A的坐标为(-3,3),该如何建立平面直角坐标系?
(1)请建立恰当的平面直角坐标系,并写出四个顶点的坐标.
(2)若要使点A的坐标为(-3,3),该如何建立平面直角坐标系?
答案
23.(1)(答案不唯一)建立如图(1)所示的平面直角坐标系,
B(0,0),A(0,3),C(6,0),D(4,3).
(2)如图(2),要使点A的坐标为(-3,3),则x轴在点A下边3个单位长度处,y轴在点A右边3个单位长度处.
故应以BC所在的直线为x轴,在AD上截取AE=3,过点E作EF⊥x轴于点F,以EF所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
解析
【分析】
(1) 建立平面直角坐标系时，对于直角梯形可优先利用直角顶点作为原点，直角边作为坐标轴，能更简便地推导各点坐标。我们可以选点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建系，再结合各边长度计算各点坐标：点B在原点坐标为(0,0)，AB长3且在y轴上，因此A(0,3)；BC长6且在x轴上，因此C(6,0)；AD平行于BC，因此D点纵坐标和A相同为3，AD长4，因此D点横坐标为4。
(2) 点的坐标中，横坐标的绝对值是点到y轴的距离，负号说明点在y轴左侧；纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，正号说明点在x轴上方。已知A(-3,3)，说明A在x轴上方3个单位、y轴左侧3个单位，结合AB=3可知x轴就是BC所在直线（A到BC的距离为3）；再在AD上取距离A点3个单位的点E，过E作垂直BC的直线作为y轴，即可满足A的坐标要求。
【解析】
(1) 以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
点B为原点，坐标为(0,0)；
AB⊥BC，长度为3，因此点A坐标为(0,3)；
BC长度为6，在x轴正半轴上，因此点C坐标为(6,0)；
AD//BC，D点纵坐标与A相同为3，AD长度为4，因此D点横坐标为4，即D(4,3)。
（建系方法不唯一，合理即可）
(2) 若A的坐标为(-3,3)，可得：
① A到x轴的距离为3，且在x轴上方，结合AB=3，因此x轴为BC所在直线；
② A到y轴的距离为3，且在y轴左侧，因此在AD上截取AE=3，过点E作EF⊥BC于点F，以EF所在直线为y轴，建立的坐标系即可满足要求。
【答案】
(1)(答案不唯一)建立如图(1)所示的平面直角坐标系,
B(0,0),A(0,3),C(6,0),D(4,3).
(2)如图(2),要使点A的坐标为(-3,3),则x轴在点A下边3个单位长度处,y轴在点A右边3个单位长度处.
故应以BC所在的直线为x轴,在AD上截取AE=3,过点E作EF⊥x轴于点F,以EF所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
【知识点】
平面直角坐标系建立，点的坐标的意义，直角梯形的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系的灵活建立，解题核心是理解点的坐标与点到坐标轴的距离、位置的对应关系，坐标系建立方式不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
(1) 建立平面直角坐标系时，对于直角梯形可优先利用直角顶点作为原点，直角边作为坐标轴，能更简便地推导各点坐标。我们可以选点B为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建系，再结合各边长度计算各点坐标：点B在原点坐标为(0,0)，AB长3且在y轴上，因此A(0,3)；BC长6且在x轴上，因此C(6,0)；AD平行于BC，因此D点纵坐标和A相同为3，AD长4，因此D点横坐标为4。
(2) 点的坐标中，横坐标的绝对值是点到y轴的距离，负号说明点在y轴左侧；纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，正号说明点在x轴上方。已知A(-3,3)，说明A在x轴上方3个单位、y轴左侧3个单位，结合AB=3可知x轴就是BC所在直线（A到BC的距离为3）；再在AD上取距离A点3个单位的点E，过E作垂直BC的直线作为y轴，即可满足A的坐标要求。
【解析】
(1) 以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系：
点B为原点，坐标为(0,0)；
AB⊥BC，长度为3，因此点A坐标为(0,3)；
BC长度为6，在x轴正半轴上，因此点C坐标为(6,0)；
AD//BC，D点纵坐标与A相同为3，AD长度为4，因此D点横坐标为4，即D(4,3)。
（建系方法不唯一，合理即可）
(2) 若A的坐标为(-3,3)，可得：
① A到x轴的距离为3，且在x轴上方，结合AB=3，因此x轴为BC所在直线；
② A到y轴的距离为3，且在y轴左侧，因此在AD上截取AE=3，过点E作EF⊥BC于点F，以EF所在直线为y轴，建立的坐标系即可满足要求。
【答案】
(1)(答案不唯一)建立如图(1)所示的平面直角坐标系,
B(0,0),A(0,3),C(6,0),D(4,3).
(2)如图(2),要使点A的坐标为(-3,3),则x轴在点A下边3个单位长度处,y轴在点A右边3个单位长度处.
故应以BC所在的直线为x轴,在AD上截取AE=3,过点E作EF⊥x轴于点F,以EF所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
【知识点】
平面直角坐标系建立，点的坐标的意义，直角梯形的性质
【点评】
本题考查平面直角坐标系的灵活建立，解题核心是理解点的坐标与点到坐标轴的距离、位置的对应关系，坐标系建立方式不唯一，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
