1. |新定义(2025·昆明期中)如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”,它是由正整数的倒数组成的,第$n$行有$n$个数且两端的数均为$\frac{1}{n}(n≥2)$,每个数是它下一行左右相邻两数的和,如$\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6},\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12},\dots$,那么第7行第3个数为 ()

A.$\frac{1}{140}$
B.$\frac{1}{60}$
C.$\frac{1}{100}$
D.$\frac{1}{105}$

1. D 【解析】由题意可知,第六行第一个数是$\frac{1}{6}$,第二个数是$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$,第三个数是$\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=\frac{1}{60}$,第四个数是$\frac{1}{30}-\frac{1}{60}=\frac{1}{60}$,第五个数是$\frac{1}{20}-\frac{1}{60}=\frac{1}{30}$,第六个数是$\frac{1}{6}$,所以第六行数依次是$\frac{1}{6},\frac{1}{30},\frac{1}{60},\frac{1}{60},\frac{1}{30},\frac{1}{6}$;第七行第一个数是$\frac{1}{7}$,第二个数是$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{1}{42}$,第三个数是$\frac{1}{30}-\frac{1}{42}=\frac{1}{105}$,第四个数是$\frac{1}{60}-\frac{1}{105}=\frac{1}{140}$,第五个数是$\frac{1}{60}-\frac{1}{140}=\frac{1}{105}$,第六个数是$\frac{1}{30}-\frac{1}{105}=\frac{1}{42}$,第七个数是$\frac{1}{7}$,所以第七行数依次是$\frac{1}{7},\frac{1}{42},\frac{1}{105},\frac{1}{140},\frac{1}{105},\frac{1}{42},\frac{1}{7}$,所以第七行第三个数为$\frac{1}{105}$.故选 D.

2. 如图所示,将部分偶数依顺序排列成三角形数阵,从上到下称为行.图中数6为第2行、从左向右第2个数;数-24为第4行、从左向右第3个数,那么第11行、从左向右第4个数为.

2. -208 【解析】观察题中数阵可知,所有数的绝对值是从2开始的偶数,且第 $n$ 行有 $(2n-1)$ 个数,所以前 10 行一共有 $1+3+5+\dots+19=100$(个) 数. 又因为从 2 开始的第100 个偶数是 200,即第 10 行最后一个数的绝对值是 200,所以第 11 行第一个数的绝对值是 202. 因为奇数行第一个数为正,偶数行第一个数为负,且所有行都为正负数相间排列,所以第 11 行,从左向右第 4 个数为-208.

3. 把自然数依次排成以下数阵：
1,2,4,7,……
3,5,8,……
6,9,……
10,……
如果规定横为行,纵为列,如数8排在第2行第3列.已知$1+2+3+··· +n=\frac{n(n+1)}{2}$.
(1)排在第10行第5列的是哪个数?
(2)排在第98行第3列的是哪个数?
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P28 专题14

3. (1)因为第 1 行第 1 列的数是 1,第 2 行第 1 列的数是 3,$3=1+2$,第 3 行第 1 列的数是 6,$6=1+2+3$,第 4 行第 1 列的数是 10,$10=1+2+3+4$,…,所以第 $m$ 行第 1 列的数是$1+2+3+\dots +m=\frac{m(m+1)}{2}$, 则第 13 行第 1 列的数为$\frac{13×(13+1)}{2}=91$.
所以第 1 行第 14 列的数为 92,第 2 行第 13 列的数为93……第 10 行第 5 列的数为 101.
(2)由(1)得第 100 行第 1 列的数为$\frac{100×(100+1)}{2}=5\ 050$,所以第 99 行第 2 列的数为 5 049,第 98 行第 3 列的数为5 048.