1. ★★★ 观察下列等式：
①$1^{3}=1^{2}$
②$1^{3}+2^{3}=3^{2}$
③$1^{3}+2^{3}+3^{3}=6^{2}$
④$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}=10^{2}$
……
根据此规律,第10个等式的右边应该是$a^{2}$,则$a$的值是 （）

A.45
B.54
C.55
D.65

1. C 【解析】等式右边的数依次为 $1^{2},(1+2)^{2},(1+2+3)^{2},…,$第 10 个等式的右边应该是 $(1+2+3+…+10)^{2}=55^{2},$所以 $a=55.$故选 C.

2. 请你先计算 $0.1^3, 1^3, 10^3, 100^3$，然后根据发现的规律解决问题：已知 $9.9^3 = 970.2999$，则 $990^3 = \_\_\_\_\_\_$。（用科学记数法表示）

2. $9.702\ 99×10^8$ 【解析】因为 $9.9^3 = 970.299$, 所以 $990^3 = 970.299×1\ 000\ 000=9.702\ 99×10^8$.

3. 观察一列数：$13^1=13,13^2=169,13^3=2197,13^4=28561,13^5=371293,13^6=4826809,···,$根据上述算式中的规律，式子$13^1+13^2+13^3+13^4+13^5+13^6+···+13^{999}$的结果的末位数字为________.

3. 9 【解析】这列数的末位数字为 3,9,7,1,3,9……每4个数循环一次,因为 999÷4 = 249……3,所以 $13^1 +13^2 +13^3 +13^4 +13^5 +13^6 +…+13^{999}$的末位数字相加为 249×(3+9+7+1)+3+9+7 = 4 999,所以式子 $13^1 +13^2 +13^3 +13^4 +13^5 +13^6 +…+13^{999}$的结果的末位数字为 9.

4. 观察下面三行数：
$1,-2,4,-8,16,-32,64,···$； ①
$3,0,6,-6,18,-30,66,···$； ②
$0,3,-3,9,-15,33,-63,···$. ③
(1) 第①行数的第$n(n≥2)$个数是________.
(2) 请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第$n(n≥2)$个数是________；同理直接写出第③行数的第$n(n≥2)$个数是________.
(3) 取每行的第$k$个数，这三个数的和能否等于$-509$？如果能，请求出$k$的值；如果不能，请说明理由.
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P27 专题13,P28 专题14

4. (1) $(-1)^{n+1}×2^{n-1}$
(2) $(-1)^{n+1}×2^{n-1}+2$ $1-(-1)^{n+1}×2^{n-1}$ 【解析】由题中的数据可得,第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是 2,则第②行数的第 $n(n≥2)$ 个数是$(-1)^{n+1}×2^{n-1}+2$,第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是 1,则第 ③ 行数的第$n(n≥2)$个数是 $1-(-1)^{n+1}×2^{n-1}$.
(3)取每行的第 k 个数,这三个数的和能等于-509,令$(-1)^{k+1}×2^{k-1}+2+(-1)^{k+1}×2^{k-1}+1-(-1)^{k+1}×2^{k-1}=-509$,得 k = 10,即取每行的第 10 个数,这三个数的和能等于-509.