1. |新方法（2025·杭州月考）阅读材料，回答问题.
材料一:因为$2^3=2×2×2,2^2=2×2$,所以$2^3×2^2=(2×2×2)×(2×2)=2^5$.
材料二:求$3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6$的值.
解:设$S=3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6$ ①,
则$3S=3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7$ ②,
②-①,得$3S-S=(3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7)-(3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6)=3^7-3$,
所以$2S=3^7-3$,即$S=\frac{3^7-3}{2}$,所以$3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6=\frac{3^7-3}{2}$.
这种方法我们称为“错位相减法”.
(1)填空:$5×5^8=5^{(\_\_\_\_\_\_)}$.
(2)“棋盘摆米”是一个著名的数学故事:阿基米德与国王下国际象棋(国际象棋棋盘共有64个小方格),国王输了,国王问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒米,第二格放二粒米,第三格放四粒米,第四格放八粒米……按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食,就随口答应了.
①第64格中应放粒米.
②设国王输给阿基米德的总米粒数为$S$,求$S$.

1.(1) 9 【解析】$5×5^8=5×(5×5×5×5×5×5×5×5)=5^9$.
(2)① $2^{63}$ 【解析】由题意得,第一格放的米粒数为1;第二格放的米粒数为$2=2^1$;第三格放的米粒数为$4=2^2$;第四格放的米粒数为$8=2^3$;…;所以第n格放的米粒数为$2^{n-1}$,所以在第64格中应放$2^{63}$粒米.
②由题意得 $S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63},2S=2+2^2+2^3+…+2^{64}$,
所以$2S-S=2^{64}-1$,即$S=2^{64}-1$.

2. 计算: (1) $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^3 + (\frac{1}{2})^4 + ··· + (\frac{1}{2})^8$; (2) $5 + 2 × 5^2 + 3 × 5^3 + 4 × 5^4 + ··· + 8 × 5^8$.

2.(1) 设$S=\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+(\frac{1}{2})^4+…+(\frac{1}{2})^8$ ①,
则$2S=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^3+…+(\frac{1}{2})^7$ ②,
则②-①,得$2S-S=S=1-\frac{1}{2^8}$.
(2) 设$M=5+2×5^2+3×5^3+4×5^4+…+8×5^8$ ①,所以$5M=1×5^2+2×5^3+3×5^4+…+8×5^9$ ②,所以②-①得$5M-M=(1×5^2+2×5^3+3×5^4+…+8×5^9)-(5+2×5^2+3×5^3+4×5^4+…+8×5^8)=8×5^9-(5+5^2+5^3+…+5^8)$.设$T=5+5^2+5^3+…+5^8$,所以$5T=5^2+5^3+…+5^9$,所以$5T-T=5^9-5$,所以$4T=5^9-5$,所以$T=\frac{5^9-5}{4}$,所以$4M=8×5^9-(5+5^2+5^3+…+5^8)=8×5^9-\frac{5^9-5}{4}$,所以$M=\frac{8×5^9}{4}-\frac{5^9-5}{16}=\frac{31×5^9+5}{16}$.