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1. 高斯上小学时,有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”.许多同学都采用了依次累加的计算方法,计算起来非常繁琐,且易出错.聪明的小高斯经过探索后,给出了下面漂亮的解答过程.
解:设$S=1+2+3+···+100$ ①,
则$S=100+99+98+···+1$ ②,
①+②,得(即左、右两边分别相加)$2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+···+(100+1)=\underbrace{101+101+···+101}_{100个}=100×101$,所以$S=\frac{100×101}{2}$ ③,所以$1+2+3+···+100=5\ 050$.
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.请你利用“倒序相加法”解答下面的问题.
(1)计算:$1+2+3+···+101$;
(2)请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式,猜想:$1+2+3+···+n=$;
(3)至少用两种方法计算:$1\ 001+1\ 002+···+2\ 000$.
解:设$S=1+2+3+···+100$ ①,
则$S=100+99+98+···+1$ ②,
①+②,得(即左、右两边分别相加)$2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+···+(100+1)=\underbrace{101+101+···+101}_{100个}=100×101$,所以$S=\frac{100×101}{2}$ ③,所以$1+2+3+···+100=5\ 050$.
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”.请你利用“倒序相加法”解答下面的问题.
(1)计算:$1+2+3+···+101$;
(2)请你观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现的类似③式,猜想:$1+2+3+···+n=$;
(3)至少用两种方法计算:$1\ 001+1\ 002+···+2\ 000$.
答案
1.(1)设S=1+2+3+…+101 ①,则S=101+100+…+3+2+1 ②,①+②,得2S=102+102+102+…+102=101×102,所以$S=\frac{101×102}{2}=5\ 151$,即$1+2+3+…+101=5\ 151$.
(2)$\frac{n(n+1)}{2}$ 【解析】设$S=1+2+3+…+n$ ①,则$S=n+n-1+n-2+…+1$ ②,①+②(即左、右两边分别相加),得$2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+…+(n+1)=\underbrace{(n+1)+(n+1)+…+(n+1)}_{n个(n+1)}=n(n+1)$,所以$S=\frac{n(n+1)}{2}$.
(3)方法一:$1\ 001+1\ 002+…+2\ 000=(1+2+3+…+2\ 000)-(1+2+3+…+1\ 000)=\frac{2\ 000×(2\ 000+1)}{2}-\frac{1\ 000×(1\ 000+1)}{2}=2\ 001\ 000-500\ 500=1\ 500\ 500$.
方法二:设$S=1\ 001+1\ 002+…+2\ 000$,则$S=2\ 000+1\ 999+…+1\ 001$,两式相加得$2S=1000×3\ 001$,则$S=\frac{1\ 000×3\ 001}{2}=1\ 500\ 500$,即$1\ 001+1\ 002+…+2\ 000=1\ 500\ 500$.
(2)$\frac{n(n+1)}{2}$ 【解析】设$S=1+2+3+…+n$ ①,则$S=n+n-1+n-2+…+1$ ②,①+②(即左、右两边分别相加),得$2S=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+…+(n+1)=\underbrace{(n+1)+(n+1)+…+(n+1)}_{n个(n+1)}=n(n+1)$,所以$S=\frac{n(n+1)}{2}$.
(3)方法一:$1\ 001+1\ 002+…+2\ 000=(1+2+3+…+2\ 000)-(1+2+3+…+1\ 000)=\frac{2\ 000×(2\ 000+1)}{2}-\frac{1\ 000×(1\ 000+1)}{2}=2\ 001\ 000-500\ 500=1\ 500\ 500$.
方法二:设$S=1\ 001+1\ 002+…+2\ 000$,则$S=2\ 000+1\ 999+…+1\ 001$,两式相加得$2S=1000×3\ 001$,则$S=\frac{1\ 000×3\ 001}{2}=1\ 500\ 500$,即$1\ 001+1\ 002+…+2\ 000=1\ 500\ 500$.
2. 计算:
(1)$-\dfrac{1}{1\ 234}-\dfrac{2}{1\ 234}-\dfrac{3}{1\ 234}-···-\dfrac{2\ 467}{1\ 234}$; (2)$\dfrac{1}{2}-(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4})-···+(\dfrac{1}{1\ 000}+\dfrac{2}{1\ 000}+···+\dfrac{999}{1\ 000})$.
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P25 专题11
(1)$-\dfrac{1}{1\ 234}-\dfrac{2}{1\ 234}-\dfrac{3}{1\ 234}-···-\dfrac{2\ 467}{1\ 234}$; (2)$\dfrac{1}{2}-(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3})+(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4})-···+(\dfrac{1}{1\ 000}+\dfrac{2}{1\ 000}+···+\dfrac{999}{1\ 000})$.
$\gg$ 进一步挑战进阶专题:P25 专题11
答案
2.(1)设$A=-\frac{1}{1\ 234}-\frac{2}{1\ 234}-\frac{3}{1\ 234}-…-\frac{2\ 467}{1\ 234},B=-\frac{2\ 467}{1\ 234}-\frac{2\ 466}{1\ 234}-…-\frac{1}{1\ 234}$,则$A=B,A+B=2A=-(\frac{1}{1\ 234}+\frac{2\ 467}{1\ 234})-(\frac{2}{1\ 234}+\frac{2\ 466}{1\ 234})-…-(\frac{2\ 466}{1\ 234}+\frac{2}{1\ 234})-(\frac{2\ 467}{1\ 234}+\frac{1}{1\ 234})=-\frac{2\ 468}{1\ 234}-\frac{2\ 468}{1\ 234}-…-\frac{2\ 468}{1\ 234}=-2×2\ 467=-4\ 934$,所以$A=-2\ 467$.
(2)设$B=\frac{1}{2}-(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})-…+(\frac{1}{1\ 000}+\frac{2}{1\ 000}+…+\frac{999}{1\ 000})$ ①,
所以$B=\frac{1}{2}-(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})-…+(\frac{999}{1\ 000}+\frac{998}{1\ 000}+…+\frac{1}{1\ 000})$ ②,
①+②,得$2B=1-(1+1)+(1+1+1)-…+(1+1+…+1)=1-2+3-…-998+999=(-1)×\frac{998}{2}+999=500$,所以$B=250$.
(2)设$B=\frac{1}{2}-(\frac{1}{3}+\frac{2}{3})+(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4})-…+(\frac{1}{1\ 000}+\frac{2}{1\ 000}+…+\frac{999}{1\ 000})$ ①,
所以$B=\frac{1}{2}-(\frac{2}{3}+\frac{1}{3})+(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}+\frac{1}{4})-…+(\frac{999}{1\ 000}+\frac{998}{1\ 000}+…+\frac{1}{1\ 000})$ ②,
①+②,得$2B=1-(1+1)+(1+1+1)-…+(1+1+…+1)=1-2+3-…-998+999=(-1)×\frac{998}{2}+999=500$,所以$B=250$.
