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1. 点$A,B$在数轴上分别表示有理数$a,b$,且$(a+36)^2 + |b+20| = 0$.我们将$A,B$两点间的距离记为$AB$.
(1)求$AB$的长度.
(2)两带电粒子$P,Q$分别从$A,B$两点同时出发,沿数轴的正方向运动,其中带电粒子$Q$的运动速度为$2$个单位长度/秒.点$C$为线段$AB$上的一点.若两带电粒子$P,Q$运动开始时,在线段$AB$之间放入某种电场,使得带电粒子在线段$AC$运动时,速度比原来快$1$个单位长度/秒,在线段$CB$运动时,速度变为原速度的$2$倍,$P,Q$在其他位置速度与原来相同.若经过$x$秒的运动后,$PQ$的长度恒等于$10$,求运动时间$x$的最小值及点$C$所表示的数.
(1)求$AB$的长度.
(2)两带电粒子$P,Q$分别从$A,B$两点同时出发,沿数轴的正方向运动,其中带电粒子$Q$的运动速度为$2$个单位长度/秒.点$C$为线段$AB$上的一点.若两带电粒子$P,Q$运动开始时,在线段$AB$之间放入某种电场,使得带电粒子在线段$AC$运动时,速度比原来快$1$个单位长度/秒,在线段$CB$运动时,速度变为原速度的$2$倍,$P,Q$在其他位置速度与原来相同.若经过$x$秒的运动后,$PQ$的长度恒等于$10$,求运动时间$x$的最小值及点$C$所表示的数.
答案
(1) 因为$(a+36)^2 + |b+20| = 0$,所以$a+36=0,b+20=0$,解得$a=-36,b=-20$,所以$AB=|-36-(-20)|=16$.
(2) 因为经过$x$秒的运动后,$PQ$的长度恒等于$10$,所以点$P$和点$Q$的运动速度相同,即速度为2个单位长度/秒,且$x$的最小值为$10÷2=5$,若$AC$长为$c$,则$\frac{c}{2+1}+\frac{16-c}{2×2}=5$,得$c=12$,所以这时点$C$所表示的数为$-36+12=-24$.
(2) 因为经过$x$秒的运动后,$PQ$的长度恒等于$10$,所以点$P$和点$Q$的运动速度相同,即速度为2个单位长度/秒,且$x$的最小值为$10÷2=5$,若$AC$长为$c$,则$\frac{c}{2+1}+\frac{16-c}{2×2}=5$,得$c=12$,所以这时点$C$所表示的数为$-36+12=-24$.
2. 已知A,B,C三点在数轴上所对应的数分别为a,b,18,且a,b满足$(a+10)^2 + |b-10| = 0$.动点M从点A出发,以2个单位长度/秒的速度向右运动,同时,动点N从点C出发,以1个单位长度/秒的速度向左运动,线段OB为“变速区”,规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速,从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍,之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时,两点都停止运动.设运动的时间为t秒.
(1)$a=$
(2)M,N两点相遇时,求相遇点在数轴上所对应的数;
(3)点D为线段OB的中点,当t为何值时,$MD=ND$?
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P51 专题30~P53 专题32
(1)$a=$
-10
,$b=$10
,$AC=$28
;(2)M,N两点相遇时,求相遇点在数轴上所对应的数;
(3)点D为线段OB的中点,当t为何值时,$MD=ND$?
＞＞ 进一步挑战进阶专题:P51 专题30~P53 专题32
答案
(1) $a=-10$，$b=10$，$AC=28$ 【解析】因为$(a+10)^2 + |b-10| = 0$,所以$(a+10)^2=0,|b-10|=0$,所以$a=-10,b=10$,所以$AC=18-(-10)=28$.
(2) 设$M,N$相遇于点$P$,且点$P$表示的数为$m$.
①当点$M$在$OA$上,点$N$在$BC$上时,点$M$表示的数为$2t-10$,点$N$表示的数为$18-t$,此时无法相遇;
②当点$M$在$OB$上,点$N$在$BC$上时,无法相遇;
③当点$M$在$OB$上,点$N$在$OB$上时,可能相遇,则$BP=10-m,PO=m$,所以点$M$用时为$\frac{OA}{2}+\frac{OP}{2×\frac{1}{2}}=m+5$,点$N$用时为$\frac{BP}{1×2}+\frac{BC}{1}=\frac{10-m}{2}+8$,根据题意,得$\frac{10-m}{2}+8=m+5$,解得$m=\frac{16}{3}$,故相遇点在数轴上所对应的数为$\frac{16}{3}$.
(3) 因为点$A$表示的数是$-10$,点$B$表示的数是$10$,点$C$表示的数是$18$,点$D$为线段$OB$的中点,所以点$D$表示的数是5.
设运动$t$秒时,$MD=ND$.①当点$M$在$OA$上,点$N$在$BC$上时,$0≤t≤5$,点$M$表示的数为$2t-10$,点$N$表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(2t-10)=15-2t$,$ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$15-2t=13-t$,解得$t=2$;
②当点$M$在$OD$上,点$N$在$BC$上,即$5≤t≤8$时,点$M$表示的数为$t-5$,点$N$表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(t-5)=10-t$,$ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$10-t=13-t$,无解;
③当点$M,N$在$OB$上,即$8≤t≤13$时,点$M$表示的数为$t-5$,点$N$表示的数为$10-2(t-8)=26-2t$,此时$MD=|5-(t-5)|=|10-t|$,$ND=|26-2t-5|=|21-2t|$,因为$MD=ND$,所以$10-t=21-2t$或$10-t=-(21-2t)$,解得$t=11$或$t=\frac{31}{3}$;
④当点$M$在$DB$上,点$N$在$OA$上,即$13≤t≤15$时,点$M$表示的数为$t-5$,点$N$表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(t-5)-5=t-10$,$ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-10=t-8$,无解;
⑤当点$M$在$BC$上,点$N$在$OA$上,即$15≤t≤19$时,点$M$表示的数为$2(t-15)+10=2t-20$,点$N$表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(2t-20)-5=2t-25$,$ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-8=2t-25$,解得$t=17$.
综上所述,当$t=2$或$t=11$或$t=\frac{31}{3}$或$t=17$时,$MD=ND$.
(2) 设$M,N$相遇于点$P$,且点$P$表示的数为$m$.
①当点$M$在$OA$上,点$N$在$BC$上时,点$M$表示的数为$2t-10$,点$N$表示的数为$18-t$,此时无法相遇;
②当点$M$在$OB$上,点$N$在$BC$上时,无法相遇;
③当点$M$在$OB$上,点$N$在$OB$上时,可能相遇,则$BP=10-m,PO=m$,所以点$M$用时为$\frac{OA}{2}+\frac{OP}{2×\frac{1}{2}}=m+5$,点$N$用时为$\frac{BP}{1×2}+\frac{BC}{1}=\frac{10-m}{2}+8$,根据题意,得$\frac{10-m}{2}+8=m+5$,解得$m=\frac{16}{3}$,故相遇点在数轴上所对应的数为$\frac{16}{3}$.
(3) 因为点$A$表示的数是$-10$,点$B$表示的数是$10$,点$C$表示的数是$18$,点$D$为线段$OB$的中点,所以点$D$表示的数是5.
设运动$t$秒时,$MD=ND$.①当点$M$在$OA$上,点$N$在$BC$上时,$0≤t≤5$,点$M$表示的数为$2t-10$,点$N$表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(2t-10)=15-2t$,$ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$15-2t=13-t$,解得$t=2$;
②当点$M$在$OD$上,点$N$在$BC$上,即$5≤t≤8$时,点$M$表示的数为$t-5$,点$N$表示的数为$18-t$,此时$MD=5-(t-5)=10-t$,$ND=18-t-5=13-t$,因为$MD=ND$,所以$10-t=13-t$,无解;
③当点$M,N$在$OB$上,即$8≤t≤13$时,点$M$表示的数为$t-5$,点$N$表示的数为$10-2(t-8)=26-2t$,此时$MD=|5-(t-5)|=|10-t|$,$ND=|26-2t-5|=|21-2t|$,因为$MD=ND$,所以$10-t=21-2t$或$10-t=-(21-2t)$,解得$t=11$或$t=\frac{31}{3}$;
④当点$M$在$DB$上,点$N$在$OA$上,即$13≤t≤15$时,点$M$表示的数为$t-5$,点$N$表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(t-5)-5=t-10$,$ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-10=t-8$,无解;
⑤当点$M$在$BC$上,点$N$在$OA$上,即$15≤t≤19$时,点$M$表示的数为$2(t-15)+10=2t-20$,点$N$表示的数为$0-(t-13)=13-t$,此时$MD=(2t-20)-5=2t-25$,$ND=5-(13-t)=t-8$,因为$MD=ND$,所以$t-8=2t-25$,解得$t=17$.
综上所述,当$t=2$或$t=11$或$t=\frac{31}{3}$或$t=17$时,$MD=ND$.
