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1. 七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究,他们决定研究“折线数轴”.
【探索“折线数轴”】素材1 如图,将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下,得到一条“折线数轴”.图中点A表示-9,点B表示12,点C表示24,点D表示36,我们称点A与点D在数轴上的“友好 距 离 ”为45个单位长度,并表示为$\overset{\frown}{AD}=45$.
素材2 动点P从点A出发,以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半;当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍.经过点C后立刻恢复初始速度.
【问题解决】探索1 动点P从点A运动至点B需要多长时间?
探索2 动点P从点A出发,运动$t$秒至点B和点C之间时,求点P表示的数;(用含$t$的式子表示)
探索3 动点P从点A出发,运动至点D的过程中某个时刻满足$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$时,求动点P运动的时间.
【探索“折线数轴”】素材1 如图,将一条数轴在原点O,点B,点C处折一下,得到一条“折线数轴”.图中点A表示-9,点B表示12,点C表示24,点D表示36,我们称点A与点D在数轴上的“友
素材2 动点P从点A出发,以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动.当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半;当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的2倍.经过点C后立刻恢复初始速度.
【问题解决】探索1 动点P从点A运动至点B需要多长时间?
探索2 动点P从点A出发,运动$t$秒至点B和点C之间时,求点P表示的数;(用含$t$的式子表示)
探索3 动点P从点A出发,运动至点D的过程中某个时刻满足$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$时,求动点P运动的时间.
答案
探索1:因为点A表示-9,点B表示12,所以OA=9,OB=12因为点P在AO段初始速度为2个单位长度/秒,点P在OB段速度为初始速度的一半,所以点P在OB段速度为1个单位长度/秒,所以点P从点A运动至点B的时间为$\frac{9}{2}+\frac{12}{1}=16.5$(秒).
探索2:因为点P的初始速度为2个单位长度/秒,点P在BC段速度为初始速度的2倍,所以点P在BC段速度为4个单位长度/秒,由探索1可得点P在BC段运动时间为(t-16.5)秒,所以BP=4(t-16.5)=4t-66.因为点B表示12,所以点P表示的数为12+(4t-66)=4t-54.
探索3:设t秒后$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$,①当点P在BO上时,因为$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$,所以PB+(PB+BC)=16.因为BC=12,所以PB=2,所以PO=10,所以$t=\frac{9}{2}+\frac{10}{1}=14.5$(秒);
②当点P在CD上时,因为$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$,所以PC+(PC+BC)=16.因为BC=12,所以PC=2,所以$t=\frac{9}{2}+\frac{12}{1}+\frac{12}{4}+\frac{2}{2}=20.5$(秒).
综上,动点P运动的时间为14.5秒或20.5秒.
探索2:因为点P的初始速度为2个单位长度/秒,点P在BC段速度为初始速度的2倍,所以点P在BC段速度为4个单位长度/秒,由探索1可得点P在BC段运动时间为(t-16.5)秒,所以BP=4(t-16.5)=4t-66.因为点B表示12,所以点P表示的数为12+(4t-66)=4t-54.
探索3:设t秒后$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$,①当点P在BO上时,因为$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$,所以PB+(PB+BC)=16.因为BC=12,所以PB=2,所以PO=10,所以$t=\frac{9}{2}+\frac{10}{1}=14.5$(秒);
②当点P在CD上时,因为$\overset{\frown}{PB}+\overset{\frown}{PC}=16$,所以PC+(PC+BC)=16.因为BC=12,所以PC=2,所以$t=\frac{9}{2}+\frac{12}{1}+\frac{12}{4}+\frac{2}{2}=20.5$(秒).
综上,动点P运动的时间为14.5秒或20.5秒.
2. 如图,将一条数轴在原点 O 和点 B 处各折一下,得到一条“折线数轴”.图中点 A 表示-12,点 B 表示 12,点 C 表示 20,我们称点 A 和点 C 在数轴上相距 32 个单位长度,记为$L_{AC}=32$.动点 M 从点 A 出发,以 2 个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动,从点 O 运动到点 B 期间,速度变为原来的一半,之后立刻恢复原速;同时,动点 N 从点 C 出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动,从点 B 运动到点 O 期间,速度变为原来的 2 倍,之后也立刻恢复原速.设运动时间为 t 秒.
(1)当$t=4$时,M,N 两点在数轴上相距多少个单位长度?
(2)当 M,N 两点相遇时,求运动时间 t 的值.
(3)若“折线数轴”上定点 P 与 O,B 两点相距的长度相等,当 t 为何值时,M,N 与点 P 相距的长度之和等于 6?
(1)当$t=4$时,M,N 两点在数轴上相距多少个单位长度?
(2)当 M,N 两点相遇时,求运动时间 t 的值.
(3)若“折线数轴”上定点 P 与 O,B 两点相距的长度相等,当 t 为何值时,M,N 与点 P 相距的长度之和等于 6?
答案
(1)因为点A表示-12,点O表示0,点B表示12,点C表示20,所以$L_{AO}=12,L_{OB}=12,L_{BC}=8$.因为12÷2=6(秒),8÷1=8(秒),所以当t=4时,点M表示-12+2×4=-4,点N表示20-1×4=16,所以$L_{MN}=16-(-4)=20$.故当t=4时,M,N两点在数轴上相距20个单位长度.
(2)由题可知,点M从点A至点B的时间为6+12=18(秒),点N从点C到点B的时间为8秒,所以M,N两点相遇在线段OB上,当t＞8时,点M表示0+(t-6)=t-6,点N表示12-2(t-8)=28-2t,根据题意得t-6=28-2t,解得$t=\frac{34}{3}$.故当M,N两点相遇时,运动时间t的值为$\frac{34}{3}$.
(3)因为“折线数轴”上定点P与O,B两点相距的长度相等,所以点P表示6.点M在AO上用时12÷2=6(秒),在OB上用时12÷1=12(秒),在BC上用时8÷2=4(秒).点N在CB上用时8÷1=8(秒),在BO上用时12÷2=6(秒),在OA上用时12÷1=12(秒).当t＜6时,M,N与点P相距的长度之和显然大于6;当6＜t≤8时,点M在OP上,点N在BC上,点M表示0+(t-6)=t-6,点N表示20-t,所以$L_{PM}=6-(t-6)=12-t$,$L_{PN}=20-t-6=14-t$,根据题意得12-t+14-t=6,解得t=10(舍去);当8＜t≤11时,点M在OP上,点N在BP上,点M表示t-6,点N表示12-2(t-8)=28-2t,所以$L_{PM}=6-(t-6)=12-t$,$L_{PN}=28-2t-6=22-2t$,根据题意得12-t+22-2t=6,解得$t=\frac{28}{3}$;当11＜$t≤\frac{34}{3}$时,M,N与点P相距的长度之和显然小于6;当$\frac{34}{3}$＜t≤14时,点M在PB上,点N在OP上,点M表示t-6,点N表示28-2t,所以$L_{PM}=t-6-6=t-12$,$L_{PN}=6-(28-2t)=2t-22$,根据题意得t-12+2t-22=6,解得$t=\frac{40}{3}$;当14＜t≤18时,点M在PB上,点N在OA上,点M表示t-6,点N表示0-(t-14)=14-t,所以$L_{PM}=t-6-6=t-12$,$L_{PN}=6-(14-t)=t-8$,根据题意得t-12+t-8=6,解得t=13＜14(舍去);当t＞18时,M,N与点P相距的长度之和显然大于6.综上,当$t=\frac{28}{3}$或$\frac{40}{3}$时,M,N与点P相距的长度之和等于6.
(2)由题可知,点M从点A至点B的时间为6+12=18(秒),点N从点C到点B的时间为8秒,所以M,N两点相遇在线段OB上,当t＞8时,点M表示0+(t-6)=t-6,点N表示12-2(t-8)=28-2t,根据题意得t-6=28-2t,解得$t=\frac{34}{3}$.故当M,N两点相遇时,运动时间t的值为$\frac{34}{3}$.
(3)因为“折线数轴”上定点P与O,B两点相距的长度相等,所以点P表示6.点M在AO上用时12÷2=6(秒),在OB上用时12÷1=12(秒),在BC上用时8÷2=4(秒).点N在CB上用时8÷1=8(秒),在BO上用时12÷2=6(秒),在OA上用时12÷1=12(秒).当t＜6时,M,N与点P相距的长度之和显然大于6;当6＜t≤8时,点M在OP上,点N在BC上,点M表示0+(t-6)=t-6,点N表示20-t,所以$L_{PM}=6-(t-6)=12-t$,$L_{PN}=20-t-6=14-t$,根据题意得12-t+14-t=6,解得t=10(舍去);当8＜t≤11时,点M在OP上,点N在BP上,点M表示t-6,点N表示12-2(t-8)=28-2t,所以$L_{PM}=6-(t-6)=12-t$,$L_{PN}=28-2t-6=22-2t$,根据题意得12-t+22-2t=6,解得$t=\frac{28}{3}$;当11＜$t≤\frac{34}{3}$时,M,N与点P相距的长度之和显然小于6;当$\frac{34}{3}$＜t≤14时,点M在PB上,点N在OP上,点M表示t-6,点N表示28-2t,所以$L_{PM}=t-6-6=t-12$,$L_{PN}=6-(28-2t)=2t-22$,根据题意得t-12+2t-22=6,解得$t=\frac{40}{3}$;当14＜t≤18时,点M在PB上,点N在OA上,点M表示t-6,点N表示0-(t-14)=14-t,所以$L_{PM}=t-6-6=t-12$,$L_{PN}=6-(14-t)=t-8$,根据题意得t-12+t-8=6,解得t=13＜14(舍去);当t＞18时,M,N与点P相距的长度之和显然大于6.综上,当$t=\frac{28}{3}$或$\frac{40}{3}$时,M,N与点P相距的长度之和等于6.
