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3. (2025·常州校级月考)如图,数轴上点A,B分别表示数-6,2.
(1)填空:A,B两点之间的距离为
(2)若点C从点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动,同时点D从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向右移动,设移动的时间为$t(t＞0)$秒.
①移动中,点C表示的数是
②移动中,若点C,D之间相距4个单位长度,求$t$的值;
③在点C,D出发的同时,点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动,在三个点移动的过程中,$|CD|+2|DP|$或$|CD|-2|DP|$在某种条件下是否会为定值?请分析并说明理由.
(1)填空:A,B两点之间的距离为
8
.(2)若点C从点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动,同时点D从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向右移动,设移动的时间为$t(t＞0)$秒.
①移动中,点C表示的数是
-6+4t
,点D表示的数是2+2t
,点C,D之间的距离$|CD|=$|2t-8|
;(用含有$t$的式子表示)②移动中,若点C,D之间相距4个单位长度,求$t$的值;
③在点C,D出发的同时,点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动,在三个点移动的过程中,$|CD|+2|DP|$或$|CD|-2|DP|$在某种条件下是否会为定值?请分析并说明理由.
答案
(1) 8 【解析】由题意得$2-(-6)=8$.
(2) ①$-6+4t$；$2+2t$；$|2t-8|$ 【解析】根据题意,点C从点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动,故点C表示的数是$-6+4t$,点D从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向右移动,故点D表示的数是$2+2t$,点C,D之间的距离$|CD|=|-6+4t-(2+2t)|=|2t-8|$.
②根据题意,可得$|2t-8|=4$,所以$2t-8=\pm4$,所以$t=6$或$t=2$.
③由题意可知,在点C,D出发的同时,点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动,则点P表示的数是$t$,所以$|DP|=|2t+2-t|=|t+2|$,$|CD|+2|DP|=|2t-8|+2|t+2|$,$|CD|-2|DP|=|2t-8|-2|t+2|$.因为当$t＞0$时,$|t+2|=t+2$,当$0＜t≤4$时,$|2t-8|=8-2t$;当$t＞4$时,$|2t-8|=2t-8$,所以当$0＜t≤4$时,$|CD|+2|DP|=|2t-8|+2|t+2|=8-2t+2t+4=12$,为定值,当$t＞4$时,$|CD|-2|DP|=|2t-8|-2|t+2|=2t-8-2t-4=-12$,为定值.综上所述,当$0＜t≤4$时,$|CD|+2|DP|$为定值;当$t＞4$时,$|CD|-2|DP|$为定值.
(2) ①$-6+4t$；$2+2t$；$|2t-8|$ 【解析】根据题意,点C从点A出发,以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右移动,故点C表示的数是$-6+4t$,点D从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向右移动,故点D表示的数是$2+2t$,点C,D之间的距离$|CD|=|-6+4t-(2+2t)|=|2t-8|$.
②根据题意,可得$|2t-8|=4$,所以$2t-8=\pm4$,所以$t=6$或$t=2$.
③由题意可知,在点C,D出发的同时,点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右移动,则点P表示的数是$t$,所以$|DP|=|2t+2-t|=|t+2|$,$|CD|+2|DP|=|2t-8|+2|t+2|$,$|CD|-2|DP|=|2t-8|-2|t+2|$.因为当$t＞0$时,$|t+2|=t+2$,当$0＜t≤4$时,$|2t-8|=8-2t$;当$t＞4$时,$|2t-8|=2t-8$,所以当$0＜t≤4$时,$|CD|+2|DP|=|2t-8|+2|t+2|=8-2t+2t+4=12$,为定值,当$t＞4$时,$|CD|-2|DP|=|2t-8|-2|t+2|=2t-8-2t-4=-12$,为定值.综上所述,当$0＜t≤4$时,$|CD|+2|DP|$为定值;当$t＞4$时,$|CD|-2|DP|$为定值.
4. 数轴上两个点A,B所对应的数分别为-8,4,A,B两点各自以一定的速度同时运动,且点A的运动速度为2个单位长度/秒.
(1)若A,B两点相向而行,在原点处相遇,求点B的运动速度.
(2)若A,B两点从开始位置上同时按照(1)中的速度向数轴正方向运动,多少秒时,A,B两点到原点的距离相等?
(3)A,B两点以(1)中的速度同时出发,向数轴负方向运动,与此同时,点C从原点出发也向数轴负方向运动,且点C总在A,B两点之间,并在运动过程中始终有$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$(BC表示点C到点B的距离),设运动t秒后,点A,B,C分别运动到点$A_1,B_1,C_1$,试说明$\frac{CC_1}{AA_1}$的值不变.
(1)若A,B两点相向而行,在原点处相遇,求点B的运动速度.
(2)若A,B两点从开始位置上同时按照(1)中的速度向数轴正方向运动,多少秒时,A,B两点到原点的距离相等?
(3)A,B两点以(1)中的速度同时出发,向数轴负方向运动,与此同时,点C从原点出发也向数轴负方向运动,且点C总在A,B两点之间,并在运动过程中始终有$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$(BC表示点C到点B的距离),设运动t秒后,点A,B,C分别运动到点$A_1,B_1,C_1$,试说明$\frac{CC_1}{AA_1}$的值不变.
答案
(1) A,B两点同时运动,相向而行,所以它们的运动时间相等.相遇时,点A运动了$8÷2=4$(秒),所以点B的运动速度为$4÷4=1$(个)单位长度/秒.
(2) 设$t$秒后,A,B到原点的距离相等.因为$OA+OB=8+4=12＞6$,且点A的运动速度大于点B的运动速度,所以分两种情况.①当点B在点A的右侧时,$8-2t=4+t$,解得$t=\frac{4}{3}$.②当点A与点B重合时,$-8+2t=4+t$,解得$t=12$.综合①②得,$\frac{4}{3}$秒和12秒时,A,B两点到原点的距离相等.
(3) 设点C的运动速度为$x$个单位长度/秒,运动时间为$t$秒.根据题意得$8+(2-x)× t=[4+(x-1)× t]×2$,整理得$2-x=2x-2$,解得$x=\frac{4}{3}$.故点C的运动速度为$\frac{4}{3}$个单位长度/秒,所以$CC_1=\frac{4}{3}t$.因为点A的运动速度为2个单位长度/秒,所以$AA_1=2t$,所以$\frac{CC_1}{AA_1}=\frac{\frac{4}{3}t}{2t}=\frac{2}{3}$,所以$\frac{CC_1}{AA_1}$的值不变.
(2) 设$t$秒后,A,B到原点的距离相等.因为$OA+OB=8+4=12＞6$,且点A的运动速度大于点B的运动速度,所以分两种情况.①当点B在点A的右侧时,$8-2t=4+t$,解得$t=\frac{4}{3}$.②当点A与点B重合时,$-8+2t=4+t$,解得$t=12$.综合①②得,$\frac{4}{3}$秒和12秒时,A,B两点到原点的距离相等.
(3) 设点C的运动速度为$x$个单位长度/秒,运动时间为$t$秒.根据题意得$8+(2-x)× t=[4+(x-1)× t]×2$,整理得$2-x=2x-2$,解得$x=\frac{4}{3}$.故点C的运动速度为$\frac{4}{3}$个单位长度/秒,所以$CC_1=\frac{4}{3}t$.因为点A的运动速度为2个单位长度/秒,所以$AA_1=2t$,所以$\frac{CC_1}{AA_1}=\frac{\frac{4}{3}t}{2t}=\frac{2}{3}$,所以$\frac{CC_1}{AA_1}$的值不变.
