一、选择题
1 [2025 巴中]如图,A,B,C 是$\odot O$上的点,BC 是圆的直径,在 BA 的延长线上取一点 D,使$AD=$$AC$,连接 CD,则$∠ ACD$的度数为（）

A.$70°$
B.$50°$
C.$45°$
D.$40°$

1. C

2 如图,在$\odot O$中,$OA ⊥ BC$,$∠ ADB=30^{ \circ }$,$BC=2\sqrt{3}$,则$OC$的长为（）

A.$1$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$

2. B

3 如图,$\odot O$是$△ ABC$的外接圆,且$AB=AC,∠ BAC=36°$,在$\overset{\frown}{AB}$上取点$D$(不与点$A,B$重合),连接$BD,AD$,则$∠ BAD+∠ ABD$的度数为（）

A.$60^{\circ }$
B.$62^{\circ }$
C.$72^{\circ }$
D.$73^{\circ }$

3. C

4 [2025 武汉] 如图,四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O,\widehat{AB}=2\widehat{CD}$. 若 $AB=6,CD=\sqrt{13}$, 则 $\odot O$ 的半径是
（）

A.$\dfrac{13}{4}$
B.$\dfrac{7}{2}$
C.$\dfrac{9}{2}$
D.$5$

4. A 【解析】如图,过点 O 作 $OE ⊥ AB$,垂足为 F,交 $\odot O$ 于点 E,连接 OA, AE, 则 $\overgroup{AE}=\overgroup{BE}, AF=BF=\frac{1}{2} AB=3 . \because \overgroup{AB}=2 \overgroup{CD}$,
$\therefore \overgroup{AE}=\overgroup{CD}, \therefore AE=CD=\sqrt{13}, \therefore \mathrm{Rt} △ AEF \mathrm{ 中, } EF=$$\sqrt{A E^{2}-A F^{2}}=2$. 设 $\odot O$ 的半径为 R, 则 O A=R, O F=R-2. 在 $\mathrm{Rt} △ A O F$ 中, 由勾股定理, 得 $O A^{2}=O F^{2}+A F^{2}$, 即 $R^{2}=(R-2)^{2}+$ $3^{2}$, 解得 $R=\frac{13}{4} . \therefore \odot O$ 的半径是 $\frac{13}{4}$.

二、填空题
5 [2025 甘孜]如图,点 A,B,C 在$\odot O$上.若$∠ O=64^{\circ }$,则$∠ A$的度数为.

5. $32°$

6 [2024 牡丹江]如图,在$\odot O$中,直径$AB ⊥ CD$于点$E$,$CD=6$,$BE=1$,则弦$AC$的长为.

6. $3 \sqrt{10}$

7 如图,某博览会上有一圆形展示区,在其圆形边缘的点 P 处安装了一台监视器,它的监控角度是$55^{\circ }$,为了监控整个展区,最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台.

7. 4

8 [2025 常州] 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, C D 是 $\odot O$ 的弦. 若 $∠ DCB=45°,AD=1$, 则 A B 的长为
.

8. $\sqrt{2}$

9 如图,$\odot O$的半径是2,直线$l$与$\odot O$相交于$A$,$B$两点,$M$,$N$是$\odot O$上的两个动点,且在直线$l$的异侧.若$∠ AMB=45^{ \circ }$,则四边形$MANB$面积的最大值是.

9. $4 \sqrt{2}$