7 一题多解 如图,点 C,D 在以 AB 为直径的半圆 O 上,且$∠ ADC=120°$,E 是$\overset{\frown}{AD}$上任意一点,连接 BC,BE,CE,则$∠ BEC$的度数为（）



A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$60°$

7. B 【解析】解法一(连直径):连接$AC$. $\because AB$是半圆$O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$. $\because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$. $\because ∠ ADC=120°$,$\therefore ∠ ABC=60°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC=90°-∠ ABC=30°$. $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠ BEC=∠ BAC=30°$. 解法二(连半径):连接$OC$. $\because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$. $\because ∠ ADC=120°$,$\therefore ∠ ABC=60°$. $\because OB=OC$,$\therefore △ OCB$是等边三角形,$\therefore ∠ BOC=60°$. $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠ BEC=\dfrac{1}{2}∠ BOC=30°$.

8 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴的负半轴上,点 B 在 y 轴的正半轴上,$\odot D$经过 A,B,O,C 四点,$∠ ACO=120°,AB=4$,则圆心 D 的坐标是.

8. $(-\sqrt{3},1)$

9 [2024 长春]如图,$AB$ 是半圆的直径,$AC$ 是一条弦,$D$ 是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$DE ⊥ AB$ 于点$E$,交$AC$ 于点$F$,$DB$ 交$AC$ 于点$G$,连接$AD$.给出下面 2 个结论:① $∠ ABD = ∠ DAC$;② $AF = FG$.上述结论中,正确结论的序号为.

9. ①② 【解析】$\because D$是$\overset{\frown}{AC}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore ∠ ABD=∠ DAC$. 故①正确. $\because AB$是半圆的直径,$\therefore ∠ ADB=90°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中,$∠ DAB+∠ ABD=90°$. $\because DE⊥ AB$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$∠ DAB+∠ ADE=90°$,$\therefore ∠ ABD=∠ ADE$,$\therefore ∠ ADE=∠ DAC$,$\therefore AF=DF$. $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ADG$中,$∠ DAC+∠ AGD=90°$,$∠ ADE+∠ FDG=90°$,$\therefore ∠ AGD=∠ FDG$,$\therefore DF=FG$,$\therefore AF=FG$. 综上所述,正确结论的序号为①②.

10 如图,四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O,∠ ABC=60°$,对角线 $DB$ 平分$∠ ADC.$
(1) 求证:$△ ABC$ 是等边三角形;
(2) 若 $AD=2,DC=3$,求$△ ABC$ 的周长.

10. (1) $\because$ 四边形$ABCD$内接于$\odot O$,$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°$. $\because ∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ ADC=120°$. $\because DB$平分$∠ ADC$,$\therefore ∠ ADB=∠ CDB=60°$. $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠ ACB=∠ ADB=60°$,$∠ BAC=∠ CDB=60°$,$\therefore ∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC$,$\therefore △ ABC$是等边三角形 (2) 如图,过点$A$作$AM⊥ CD$,交$CD$的延长线于点$M$. $\therefore ∠ AMD=90°$. $\because ∠ ADC=120°$,$\therefore ∠ ADM=180°-∠ ADC=60°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMD$中,$∠ DAM=30°$,$\therefore DM=\dfrac{1}{2}AD=1$,$\therefore AM=\sqrt{AD^2-DM^2}=\sqrt{3}$. $\because CD=3$,$\therefore CM=CD+DM=4$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ AMC$中,$AC=\sqrt{AM^2+CM^2}=\sqrt{19}$. $\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC=AC=\sqrt{19}$,$\therefore △ ABC$的周长为$3\sqrt{19}$

11 如图,圆内接四边形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$交于点$E$,$BD$平分$∠ ABC$,$∠ BAC=∠ ADB$.
(1) 求证:$DB$平分$∠ ADC$,并求$∠ BAD$的度数.
(2) 过点$C$作$CF// AD$,交$AB$的延长线于点$F$.若$AC=AD$,$BF=2$,求此圆的半径.

11. (1) $\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,$\therefore ∠ BAC=∠ CDB$. $\because ∠ BAC=∠ ADB$,$\therefore ∠ CDB=∠ ADB$, 即$DB$平分$∠ ADC$. $\because BD$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$. $\because △ ABD$与$△ CBD$的内角和均为$180°$,$\therefore ∠ BAD=∠ BCD$. $\because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形,$\therefore ∠ BAD+∠ BCD=180°$,$\therefore ∠ BAD=∠ BCD=90°$ (2) $\because ∠ BAD=90°$,$\therefore BD$是圆的直径. $\because ∠ ABD=∠ CBD$,$\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$,$\therefore AD=CD$. $\because AC=AD$,$\therefore AC=AD=CD$,$\therefore △ ADC$是等边三角形,$\therefore ∠ ADC=60°$,$\therefore ∠ CDB=\dfrac{1}{2}∠ ADC=30°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$BD=2BC$. $\because CF// AD$,$\therefore ∠ F+∠ BAD=180°$,$\therefore ∠ F=90°$. $\because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°$,$\therefore ∠ ABC=120°$,$\therefore ∠ FBC=180°-∠ ABC=60°$,$\therefore ∠ FCB=90°-60°=30°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BFC$中,$BF=\dfrac{1}{2}BC$. $\because BF=2$,$\therefore BC=4$,$\therefore BD=8$. $\because BD$是圆的直径,$\therefore$ 该圆的半径为$\dfrac{1}{2}BD=4$