三、解答题
10 如图,$\odot O$是等边三角形 ABC 的外接圆,连接 CO 并延长,交 AB 于点 D,交$\odot O$于点 E,连接EA,EB.
(1) 写出图中一个度数为 $30°$ 的角:,图中与$△ ACD$全等的三角形是;
(2) 连接 OA,OB,判断四边形 OAEB 的形状,并说明理由.

10. (1) $∠ A C E$ (答案不唯一) $△ B C D$ (2) 四边形 O A E B 为菱形 理由: $\because △ A B C$ 为等边三角形, $\therefore A C=B C, ∠ A C B=60°$. $\because C O=C O, O A=O B, \therefore △ A C O ≌ △ B C O(\mathrm{SSS}), \therefore ∠ A C O=$ $∠ B C O=30° . \because \overgroup{A E}=\overgroup{A E}, \therefore ∠ A O E=2 ∠ A C O=60° . \because O A=$ $O E, \therefore △ O A E$ 为等边三角形, $\therefore O E=A E$. 同理, 可证 O E=B E, $\therefore O A=O B=A E=B E, \therefore$ 四边形 O A E B 为菱形.

11 [2025 无锡改编]如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, D 是弦 A C 延长线上的一点, 且 $C D=C A, D B$ 的延长线交 $\odot O$ 于点 E.
(1) 求证: $A B=B D$;
(2) 若 $A B=3, \dfrac{B E}{E D}=\dfrac{1}{4}$, 求 $A D$ 的长.

11. (1) 连接 $B C . \because A B$ 是圆的直径, $\therefore ∠ A C B=90°$, 即 $B C ⊥ A D$. $\because C D=C A, \therefore B C$ 垂直平分 $A D, \therefore A B=B D$ (2) 连接 A E. $\because A B$ 是圆的直径, $\therefore ∠ E=90° . \because \frac{B E}{E D}=\frac{1}{4}, \therefore \frac{B E}{B D}=\frac{1}{3}$. $\because A B=3, A B=B D, \therefore B D=3, \therefore B E=1, \therefore \mathrm{Rt} △ A E B$ 中, $A E^{2}=$ $A B^{2}-B E^{2}=8 . \because D E=B D+B E=4, \therefore \mathrm{Rt} △ A E D$ 中, $A D=$ $\sqrt{A E^{2}+D E^{2}}=2 \sqrt{6}$

12 如图,直线$l$经过$\odot O$的圆心,且交$\odot O$于$A$,$B$两点,点$C$在$\odot O$上,且$∠ AOC=30^{ \circ }$,$P$是直线$l$上的一个动点(不与圆心$O$重合),$CP$与$\odot O$相交于另一点$Q$,连接$QO$.若$QP=QO$,求$∠ OCP$的度数.

12. 分以下三种情况讨论. ① 如图①, 当点 P 在线段 O A 上时, 在 $△ Q O C$ 中, $\because O C=O Q, \therefore ∠ Q=∠ C$. 在 $△ O P Q$ 中, $\because Q P=Q O$, $\therefore ∠ Q O P=∠ Q P O . \because ∠ A O C=30°, \therefore ∠ Q P O=∠ C+∠ A O C=$ $∠ C+30°$. 又 $\because ∠ Q O P+∠ Q P O+∠ Q=180°$, 即 $(∠ C+30°)+$ $(∠ C+30°)+∠ C=180°, \therefore ∠ C=40°$, 即 $∠ O C P=40°$. ② 如图②,当点 P 在线段 O A 的延长线上时, 在 $△ Q O C$ 中, $\because O C=O Q$,
$\therefore ∠ O Q P=∠ O C Q=\frac{1}{2}(180°-∠ Q O C)$. 在 $△ O P Q$ 中, $\because Q P=$ $Q O, \therefore ∠ O P Q=∠ Q O P$. 又 $\because ∠ O P Q+∠ Q O P+∠ O Q P=180°$, $∠ Q O P=∠ Q O C+∠ A O C=∠ Q O C+30°, \therefore(∠ Q O C+30°)+$ $(∠ Q O C+30°)+\frac{1}{2}(180°-∠ Q O C)=180°, \therefore ∠ Q O C=20°$, $\therefore ∠ O Q P=80°, \therefore ∠ O C P=∠ Q O C+∠ O Q P=100°$. ③ 如图③, 当点 P 在线段 O A 的反向延长线上时, 在 $△ Q O C$ 中, $\because O C=O Q$, $\therefore ∠ O C P=∠ O Q C$. 在 $△ O P Q$ 中, $\because Q O=Q P, \therefore ∠ Q P O=$ $∠ Q O P=\frac{1}{2} ∠ O Q C=\frac{1}{2} ∠ O C P . \because ∠ A O C=30°, \therefore ∠ Q P O+$ $∠ O C P=30°$, 即 $\frac{1}{2} ∠ O C P+∠ O C P=30°, \therefore ∠ O C P=20°$. 综上所述, $∠ O C P$ 的度数为 $40°$ 或 $100°$ 或 $20°$