8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=8,AC=6$,则边$BC$上的中线$AD$的长的取值范围是 （）

A.$6＜AD＜8$
B.$2＜AD＜14$
C.$1＜AD＜7$
D.无法确定

8. C 解析:延长 AD 到点 E,使 $DE=AD$,连接 CE,则 $AD=\frac{1}{2}AE$. 因为 AD 是边 BC 上的中线,所以 $BD=CD$. 又 $∠ ADB=∠ EDC$, 所以 $△ ADB≌△ EDC(\mathrm{SAS})$. 所以 $AB=EC$. 又 $AB=8,AC=6$, 所以 $EC=8$, 即 $EC-AC＜AE＜AC+EC$. 所以 $2＜AE＜14$, 即 AD 的长的取值范围为 $1＜AD＜7$.

9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B = ∠ C, BE = CD$, $BD = CF$.若$∠ EDF = α$,则$α$与$∠ A$之间的数量关系为.

9. $∠ A+2α=180°$ 解析:因为 $BE=CD,∠ B=∠ C$, $BD=CF$, 所以 $△ BDE≌△ CFD(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ BED=∠ CDF$. 又 $∠ CDE=∠ B+∠ BED$, $∠ CDE=∠ CDF+∠ EDF$, 所以 $∠ B=∠ EDF$. 又 $∠ A+∠ B+∠ C=180°,∠ EDF=α$, 所以 $∠ A+2α=180°$.

10.（2026·江苏苏州期中）如图，方格纸中∠1+∠2的度数为。

10. $45°$ 解析:如图,由题意,得 $∠ DBE=45°,AB=CD=2,∠ ABC=∠ CDE=90°,DE=BC=1$, 所以 $△ ABC≌△ CDE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ 1=∠ DCE$. 因为 $∠ DBE=∠ 2+∠ DCE$, 所以 $∠ 1+∠ 2=45°$.

11. 如图，$△ ABC$ 三个内角的平分线相交于点 $O$，延长 $BA$ 至点 $D$，连接 $DO$。若 $BD=BC$，$∠ AOD=∠ ADO$，$∠ ABC=54°$，则 $∠ BCA$ 的度数为 $°$。

11. 42 解析:因为 $∠ ADO=∠ AOD$, 所以 $∠ BAO=∠ ADO+∠ AOD=2∠ ADO$. 设 $∠ ADO=α$, 则 $∠ BAO=2α$. 因为 BO 平分 $∠ ABC$, 所以 $∠ OBD=∠ OBC$. 又 $BO=BO,BD=BC$, 所以 $△ DBO≌△ CBO(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ ADO=∠ BCO$, 即 $∠ BCO=α$. 又 AO 平分 $∠ BAC$,CO 平分 $∠ BCA$, 所以 $∠ BAC=2∠ BAO=4α$, $∠ BCA=2∠ BCO=2α$. 因为 $∠ ABC+∠ BAC+∠ BCA=180°$, 且 $∠ ABC=54°$, 所以 $54°+6α=180°$, 解得 $α=21°$. 则 $∠ BCA=2α=42°$.

12. 如图,在锐角三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E在AD上,DE=DC,BD=AD,F为BC的中点,连接EF并延长至点M,使FM=EF,连接BE,CM.
(1) 求证:BE=AC;
(2) 试判断线段AC与线段MC之间的关系,并证明你的结论.

12. (1) 因为 $AD⊥ BC$, 所以 $∠ ADC=∠ BDE=90°$. 又 $BD = AD, DE = DC$, 所以 $△ BDE ≌ △ ADC(\mathrm{SAS})$. 所以 $BE=AC$.
(2) $AC=MC,AC⊥ MC$. 证明如下:由(1),得 $BE=AC,∠ ADC=90°$,$△ BDE≌△ ADC$, 所以 $∠ DBE=∠ DAC$, $∠ DAC + ∠ ACD = 90°$, 即 $∠ DBE + ∠ ACD=90°$. 又 F 是 BC 的中点, 所以 $BF=CF$. 又 $∠ BFE=∠ CFM,EF=MF$, 所以 $△ BFE≌△ CFM(\mathrm{SAS})$. 所以 $BE=CM,∠ EBF=∠ MCF$, 即 $AC=MC,∠ MCF+∠ ACD=90°$. 所以 $∠ ACM=90°$, 即 $AC⊥ MC$.

13. (2026·江苏无锡期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=∠ ABC=40°$,BD是$∠ ABC$的平分线,延长BD至点E,使$DE=AD$,则$∠ ECA$的度数为。

13. $40°$ 解析:在边 BC 上取一点 F,使 $BF=BA$,连接 DF. 因为 BD 平分 $∠ ABC,∠ ABC=40°$, 所以 $∠ ABD=∠ FBD=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$. 又 $BD=BD$, 所以 $△ ABD≌△ FBD(\mathrm{SAS})$. 所以 $AD=FD,∠ ADB=∠ FDB$. 又 $AD=DE,∠ ADB=∠ EDC$, 所以 $FD=ED,∠ EDC=∠ FDB$. 又 $∠ ACB=∠ ABC=40°$, 所以 $∠ A=180°-∠ ABC-∠ ACB=100°$. 同理,得 $∠ ADB=60°$. 所以 $∠ EDC=∠ FDB=∠ ADB=60°$. 又 $∠ EDC+∠ FDC+∠ FDB=180°$, 所以 $∠ FDC=180°-∠ EDC-∠ FDB=60°$, 即 $∠ FDC=∠ EDC$. 又 $CD=CD$, 所以 $△ FDC≌△ EDC(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ FCD=∠ ECD$, 即 $∠ ECA=40°$.

14. 新趋势 推导探究 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是直线BC上一点,连接AD,以AD为一条边在AD的右侧作$△ ADE$,使$AE=AD$,$∠ DAE=∠ BAC$,连接CE.
(1) 当点D在线段BC的延长线上移动时,若$∠ BAC=25°$,则$∠ DCE$的度数为;
(2) 设$∠ BAC=α$,$∠ DCE=β$.
① 当点D在线段BC的延长线上移动时,$α$与$β$之间有什么数量关系?请说明理由;
② 当点D在直线BC上(不与B,C两点重合)移动时,$α$与$β$之间有什么数量关系?请说明理由.

备用图

14. (1) $25°$
(2) ① 当点 D 在线段 BC 的延长线上移动时,$α$与$β$之间的数量关系是$α=β$. 理由如下:因为 $∠ DAE=∠ BAC$, 所以 $∠ DAE+∠ CAD=∠ BAC+∠ CAD$, 即 $∠ BAD=∠ CAE$. 又 $AB=AC,AD=AE$, 所以 $△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ ABD=∠ ACE$. 因为 $∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ DCE$, 所以 $∠ BAC=∠ DCE$. 因为 $∠ BAC=α,∠ DCE=β$, 所以 $α=β$.
② 当点 D 在线段 BC 上时,$α+β=180°$;当点 D 在线段 BC 的延长线或反向延长线上时,$α=β$. 理由如下:当点 D 在线段 BC 上时,. 因为 $∠ DAE=∠ BAC$, 所以 $∠ DAE-∠ CAD=∠ BAC-∠ CAD$, 即 $∠ BAD=∠ CAE$. 又 $AB=AC,AD=AE$, 所以 $△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ ABC=∠ ACE$. 因为 $∠ ACF=∠ ABC+∠ BAC=∠ ACE+∠ ECF$, 所以 $∠ BAC=∠ ECF$. 因为 $∠ DCE+∠ ECF=180°$, 所以 $∠ DCE + ∠ BAC = 180°$. 又 $∠ BAC = α,∠ DCE=β$, 所以 $α+β=180°$;当点 D 在线段 BC 的延长线上时,由(2)①,得 $α=β$;当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时,. 因为 $∠ DAE=∠ BAC$, 所以 $∠ DAE - ∠ BAE = ∠ BAC - ∠ BAE$, 即 $∠ BAD=∠ CAE$. 又 $AB=AC,AD=AE$, 所以 $△ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$. 所以 $∠ ABD=∠ ACE$. 因为 $∠ ABD=∠ BAC+∠ ACB,∠ ACE=∠ ACB+∠ DCE$, 所以 $∠ BAC=∠ DCE$. 因为 $∠ BAC=α,∠ DCE=β$, 所以 $α=β$.