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1. (大庆中考)写出一个过点$(1,1)$且$y$的值随$x$值增大而减小的函数表达式:________.
答案
1. $y=-x+2$(答案不唯一)
解析
【分析】
这是一道开放性题目，解题可按以下思路思考：首先明确题目两个要求：①函数图像过点$(1,1)$，即$x=1$时$y=1$；②$y$随$x$的增大而减小。结合所学的一次函数知识，一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，当$k＜0$时满足$y$随$x$增大而减小的要求。我们可以先任意选取一个小于0的$k$值，再将点$(1,1)$代入函数表达式求出对应的$b$值，即可得到符合要求的函数解析式。
【解析】
我们以一次函数为例求解：
设一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）
∵ $y$的值随$x$值增大而减小
∴ 可令$k=-1$（只要取$k＜0$即可，取值不唯一），此时函数表达式为$y=-x+b$
将点$(1,1)$代入$y=-x+b$得：
$1 = -1 + b$
解得$b=2$
因此得到符合要求的函数表达式为$y=-x+2$，也可选取其他$k＜0$的值得到不同的答案，故答案不唯一。
【答案】
$y=-x+2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对函数增减性的理解和待定系数法的应用，解题时只要满足增减性和过定点两个要求即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性题目，解题可按以下思路思考：首先明确题目两个要求：①函数图像过点$(1,1)$，即$x=1$时$y=1$；②$y$随$x$的增大而减小。结合所学的一次函数知识，一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，当$k＜0$时满足$y$随$x$增大而减小的要求。我们可以先任意选取一个小于0的$k$值，再将点$(1,1)$代入函数表达式求出对应的$b$值，即可得到符合要求的函数解析式。
【解析】
我们以一次函数为例求解：
设一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）
∵ $y$的值随$x$值增大而减小
∴ 可令$k=-1$（只要取$k＜0$即可，取值不唯一），此时函数表达式为$y=-x+b$
将点$(1,1)$代入$y=-x+b$得：
$1 = -1 + b$
解得$b=2$
因此得到符合要求的函数表达式为$y=-x+2$，也可选取其他$k＜0$的值得到不同的答案，故答案不唯一。
【答案】
$y=-x+2$（答案不唯一）
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题属于开放性基础题，重点考查对函数增减性的理解和待定系数法的应用，解题时只要满足增减性和过定点两个要求即可，答案灵活多样。
【难度系数】
0.8
2. 已知 y 与 x 成一次函数关系，且当 $ x=2 $ 时，$ y=4 $；当 $ x=-3 $ 时，$ y=-1 $，求这个一次函数的表达式。
答案
2. $y=x+2$.
解析
【分析】
求一次函数表达式通常使用待定系数法，解题思路如下：第一步先写出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）；第二步将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入一般式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组；第三步求解方程组得到$k$、$b$的值；第四步将$k$、$b$的值代回一般式，即可得到所求的一次函数表达式。
【解析】
设这个一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=2$，$y=4$和$x=-3$，$y=-1$分别代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 4 \\-3k + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：
$2k + b - (-3k + b) = 4 - (-1)$
化简得$5k = 5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$2k + b = 4$，得$2×1 + b = 4$，解得$b=2$。
将$k=1$、$b=2$代回$y=kx+b$即可得到函数表达式。
【答案】
$y=x+2$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 一次函数表达式
3. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础常规题，核心考查待定系数法的应用步骤，只要熟练掌握二元一次方程组的解法就能顺利解答，是一次函数相关知识的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
求一次函数表达式通常使用待定系数法，解题思路如下：第一步先写出一次函数的一般形式$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠0$）；第二步将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入一般式，得到关于$k$和$b$的二元一次方程组；第三步求解方程组得到$k$、$b$的值；第四步将$k$、$b$的值代回一般式，即可得到所求的一次函数表达式。
【解析】
设这个一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
将$x=2$，$y=4$和$x=-3$，$y=-1$分别代入表达式，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 4 \\-3k + b = -1\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得：
$2k + b - (-3k + b) = 4 - (-1)$
化简得$5k = 5$，解得$k=1$。
将$k=1$代入$2k + b = 4$，得$2×1 + b = 4$，解得$b=2$。
将$k=1$、$b=2$代回$y=kx+b$即可得到函数表达式。
【答案】
$y=x+2$
【知识点】
1. 待定系数法
2. 一次函数表达式
3. 二元一次方程组求解
【点评】
本题是求一次函数解析式的基础常规题，核心考查待定系数法的应用步骤，只要熟练掌握二元一次方程组的解法就能顺利解答，是一次函数相关知识的基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
3. 如图,正比例函数$y=kx$经过点$A$,点$A$在第四象限,过点$A$作$AH⊥x$轴,垂足为$H$,点$A$的横坐标为$3$,且$△ AOH$的面积为$3$.求正比例函数的表达式.
答案
3. $\because AH⊥ x$轴,且$S_{△ AOH}=3$,
$\therefore \frac{1}{2}OH· AH=3$.
$\because$ 点 $A$ 在第四象限,点 $A$ 的横坐标为 3,
$\therefore OH=3,\therefore \frac{1}{2}×3× AH=3$,
$\therefore AH=2$,即 $A(3,-2)$.
将点 $A(3,-2)$ 代入 $y=kx$ 中,
得 $3k=-2$,解得 $k=-\frac{2}{3}$,
$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x$.
$\therefore \frac{1}{2}OH· AH=3$.
$\because$ 点 $A$ 在第四象限,点 $A$ 的横坐标为 3,
$\therefore OH=3,\therefore \frac{1}{2}×3× AH=3$,
$\therefore AH=2$,即 $A(3,-2)$.
将点 $A(3,-2)$ 代入 $y=kx$ 中,
得 $3k=-2$,解得 $k=-\frac{2}{3}$,
$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x$.
解析
【分析】
要确定正比例函数的表达式，只需求出系数$k$的值，因此需要先得到正比例函数上一个点的坐标。首先，已知点$A$的横坐标为3，$AH⊥ x$轴，可得$OH=3$；再结合$△ AOH$的面积为3，利用三角形面积公式可求出$AH$的长度，也就是点$A$纵坐标的绝对值；接下来根据点$A$在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负，即可确定点$A$的完整坐标；最后将点$A$的坐标代入$y=kx$，解一元一次方程求出$k$，就能得到函数表达式。
【解析】
$\because AH⊥ x$轴，且$S_{△ AOH}=3$，
$\therefore \frac{1}{2}OH· AH=3$。
$\because$ 点 $A$ 在第四象限，点 $A$ 的横坐标为 3，
$\therefore OH=3$，代入得$\frac{1}{2}×3× AH=3$，
解得$AH=2$，因此点$A$的纵坐标为$-2$，即 $A(3,-2)$。
将点 $A(3,-2)$ 代入 $y=kx$ 中，
得 $3k=-2$，解得 $k=-\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x$。
【答案】
$y=-\frac{2}{3}x$
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数
2. 三角形面积公式
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数相关的基础题，结合了平面直角坐标系点的特征和三角形面积的计算，解题关键是先准确求出点$A$的坐标，再用待定系数法计算系数$k$，熟练掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
要确定正比例函数的表达式，只需求出系数$k$的值，因此需要先得到正比例函数上一个点的坐标。首先，已知点$A$的横坐标为3，$AH⊥ x$轴，可得$OH=3$；再结合$△ AOH$的面积为3，利用三角形面积公式可求出$AH$的长度，也就是点$A$纵坐标的绝对值；接下来根据点$A$在第四象限，第四象限内点的纵坐标为负，即可确定点$A$的完整坐标；最后将点$A$的坐标代入$y=kx$，解一元一次方程求出$k$，就能得到函数表达式。
【解析】
$\because AH⊥ x$轴，且$S_{△ AOH}=3$，
$\therefore \frac{1}{2}OH· AH=3$。
$\because$ 点 $A$ 在第四象限，点 $A$ 的横坐标为 3，
$\therefore OH=3$，代入得$\frac{1}{2}×3× AH=3$，
解得$AH=2$，因此点$A$的纵坐标为$-2$，即 $A(3,-2)$。
将点 $A(3,-2)$ 代入 $y=kx$ 中，
得 $3k=-2$，解得 $k=-\frac{2}{3}$，
$\therefore$ 正比例函数的表达式为 $y=-\frac{2}{3}x$。
【答案】
$y=-\frac{2}{3}x$
【知识点】
1. 待定系数法求正比例函数
2. 三角形面积公式
3. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是正比例函数相关的基础题，结合了平面直角坐标系点的特征和三角形面积的计算，解题关键是先准确求出点$A$的坐标，再用待定系数法计算系数$k$，熟练掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
4. 一次函数 $y=kx+b(k≠0)$ 的图象如图所示. 求:
(1)一次函数的表达式；
(2)一次函数图象与 $x$ 轴的交点 $A$ 的坐标.
(1)一次函数的表达式；
(2)一次函数图象与 $x$ 轴的交点 $A$ 的坐标.
答案
4. (1)由题图,知该函数经过点$(0,10),(20,30)$,
$\therefore b=10,k=1$,
$\therefore y=x+10$.
(2)令 $y=0$,则 $x=-10$,
$\therefore A(-10,0)$.
$\therefore b=10,k=1$,
$\therefore y=x+10$.
(2)令 $y=0$,则 $x=-10$,
$\therefore A(-10,0)$.
解析
【分析】
(1) 求一次函数表达式可使用待定系数法，首先从图像中提取函数经过的两个已知点的坐标，代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的方程，求解即可得到$k$、$b$的值，进而得到函数表达式。从图中可直接读出函数经过$(0,10)$和$(20,30)$两个点，可直接代入计算。
(2) 一次函数与x轴交点的纵坐标为0，因此只需令第一问求出的表达式中$y=0$，解出对应的$x$值，即可得到交点$A$的坐标。
【解析】
(1) 由图像可知，一次函数$y=kx+b$经过点$(0,10)$和$(20,30)$。
将点$(0,10)$代入$y=kx+b$，得：
$10 = k×0 + b$，解得$b=10$。
将$b=10$和点$(20,30)$代入$y=kx+b$，得：
$30 = 20k + 10$，
移项计算得$20k=20$，解得$k=1$。
因此一次函数的表达式为$y=x+10$。
(2) 一次函数图像与x轴交点的纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=x+10$得：
$0 = x + 10$，
解得$x=-10$。
因此点$A$的坐标为$(-10,0)$。
【答案】
(1) $y=x+10$
(2) $A(-10,0)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题是一次函数的基础题型，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，以及函数与坐标轴交点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，这类基础方法是后续解决一次函数综合题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1) 求一次函数表达式可使用待定系数法，首先从图像中提取函数经过的两个已知点的坐标，代入$y=kx+b$得到关于$k$、$b$的方程，求解即可得到$k$、$b$的值，进而得到函数表达式。从图中可直接读出函数经过$(0,10)$和$(20,30)$两个点，可直接代入计算。
(2) 一次函数与x轴交点的纵坐标为0，因此只需令第一问求出的表达式中$y=0$，解出对应的$x$值，即可得到交点$A$的坐标。
【解析】
(1) 由图像可知，一次函数$y=kx+b$经过点$(0,10)$和$(20,30)$。
将点$(0,10)$代入$y=kx+b$，得：
$10 = k×0 + b$，解得$b=10$。
将$b=10$和点$(20,30)$代入$y=kx+b$，得：
$30 = 20k + 10$，
移项计算得$20k=20$，解得$k=1$。
因此一次函数的表达式为$y=x+10$。
(2) 一次函数图像与x轴交点的纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=x+10$得：
$0 = x + 10$，
解得$x=-10$。
因此点$A$的坐标为$(-10,0)$。
【答案】
(1) $y=x+10$
(2) $A(-10,0)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数与坐标轴交点计算
【点评】
本题是一次函数的基础题型，解题核心是熟练掌握待定系数法求解析式的步骤，以及函数与坐标轴交点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，这类基础方法是后续解决一次函数综合题的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
