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1. 一次函数图象过点$(0,-3)$且与直线$y=1-\frac{3}{2}x$平行，求一次函数的表达式.
答案
设一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x+b$，将$(0,-3)$代入，得$b=-3$，
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x-3$.
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x-3$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，且两条互相平行的一次函数直线的斜率$k$相等，因此可结合已知直线的解析式先确定所求函数的$k$值为$-\frac{3}{2}$；第二步，此时解析式仅剩下参数$b$未知，根据函数图象过点$(0,-3)$的条件，使用待定系数法，将点的坐标代入解析式即可求解$b$的值；第三步，将求出的$k$和$b$代入一般式，即可得到最终的一次函数表达式。
【解析】
设所求一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
∵ 所求一次函数与直线$y=1-\frac{3}{2}x$平行，
∴ 两直线的$k$值相等，即$k=-\frac{3}{2}$，
因此一次函数表达式可写为$y=-\frac{3}{2}x+b$，
将点$(0,-3)$代入上述表达式，得：
$-3=-\frac{3}{2}×0 + b$，
解得$b=-3$，
∴ 一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x-3$。
【答案】
$y=-\frac{3}{2}x-3$
【知识点】
两直线平行的特征；待定系数法；求一次函数解析式
【点评】
本题是求解一次函数解析式的基础常规题，核心考察平行直线的性质和待定系数法的应用，掌握相关性质、熟练运用待定系数法的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，回忆一次函数的一般形式为$y=kx+b(k≠0)$，且两条互相平行的一次函数直线的斜率$k$相等，因此可结合已知直线的解析式先确定所求函数的$k$值为$-\frac{3}{2}$；第二步，此时解析式仅剩下参数$b$未知，根据函数图象过点$(0,-3)$的条件，使用待定系数法，将点的坐标代入解析式即可求解$b$的值；第三步，将求出的$k$和$b$代入一般式，即可得到最终的一次函数表达式。
【解析】
设所求一次函数的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，
∵ 所求一次函数与直线$y=1-\frac{3}{2}x$平行，
∴ 两直线的$k$值相等，即$k=-\frac{3}{2}$，
因此一次函数表达式可写为$y=-\frac{3}{2}x+b$，
将点$(0,-3)$代入上述表达式，得：
$-3=-\frac{3}{2}×0 + b$，
解得$b=-3$，
∴ 一次函数的表达式为$y=-\frac{3}{2}x-3$。
【答案】
$y=-\frac{3}{2}x-3$
【知识点】
两直线平行的特征；待定系数法；求一次函数解析式
【点评】
本题是求解一次函数解析式的基础常规题，核心考察平行直线的性质和待定系数法的应用，掌握相关性质、熟练运用待定系数法的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 已知一次函数 $ y = kx + b $，当 $ x = 2 $ 时，$ y = 2 $；当 $ x = -4 $ 时，$ y = 14 $。
(1)求 $ k $ 与 $ b $ 的值；
(2)当 $ y $ 与 $ x $ 互为相反数时，求 $ x $ 的值。
(1)求 $ k $ 与 $ b $ 的值；
(2)当 $ y $ 与 $ x $ 互为相反数时，求 $ x $ 的值。
答案
(1)由题意，得$\begin{cases}2k+b=2,\\-4k+b=14,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=6.\end{cases}$
(2)由(1)知$y=-2x+6$，当$y$与$x$互为相反数时，$-2x+6=-x$，解得$x=6$.
解得$\begin{cases}k=-2,\\b=6.\end{cases}$
(2)由(1)知$y=-2x+6$，当$y$与$x$互为相反数时，$-2x+6=-x$，解得$x=6$.
解析
【分析】
(1) 一次函数解析式$y=kx+b$中有两个未知参数$k$和$b$，题目给出了两组$x$、$y$的对应值，我们可以采用待定系数法，将两组值分别代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$和$b$的值。
(2) 先根据(1)的结果确定一次函数的具体解析式，再根据“互为相反数的两个数满足$y=-x$”的性质，将$y=-x$代入解析式，得到关于$x$的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 将$x=2,y=2$和$x=-4,y=14$分别代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 2 \\-4k + b = 14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得$6k=-12$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$2k + b = 2$，得$2×(-2)+b=2$，解得$b=6$。
(2) 由(1)可知一次函数解析式为$y=-2x+6$。
当$y$与$x$互为相反数时，$y=-x$，代入解析式得：
$-2x + 6 = -x$
移项合并同类项得$-x=-6$，解得$x=6$。
【答案】
(1) $\begin{cases}k=-2 \\b=6 \end{cases}$
(2) $x=6$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；相反数的性质
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，核心考查待定系数法的应用，同时结合了相反数的性质与一元一次方程的求解，运算步骤简单，掌握基础方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 一次函数解析式$y=kx+b$中有两个未知参数$k$和$b$，题目给出了两组$x$、$y$的对应值，我们可以采用待定系数法，将两组值分别代入解析式，得到关于$k$、$b$的二元一次方程组，解方程组即可求出$k$和$b$的值。
(2) 先根据(1)的结果确定一次函数的具体解析式，再根据“互为相反数的两个数满足$y=-x$”的性质，将$y=-x$代入解析式，得到关于$x$的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 将$x=2,y=2$和$x=-4,y=14$分别代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}2k + b = 2 \\-4k + b = 14 \end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$，得$6k=-12$，解得$k=-2$。
将$k=-2$代入$2k + b = 2$，得$2×(-2)+b=2$，解得$b=6$。
(2) 由(1)可知一次函数解析式为$y=-2x+6$。
当$y$与$x$互为相反数时，$y=-x$，代入解析式得：
$-2x + 6 = -x$
移项合并同类项得$-x=-6$，解得$x=6$。
【答案】
(1) $\begin{cases}k=-2 \\b=6 \end{cases}$
(2) $x=6$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；二元一次方程组的解法；相反数的性质
【点评】
本题是一次函数的基础常规题，核心考查待定系数法的应用，同时结合了相反数的性质与一元一次方程的求解，运算步骤简单，掌握基础方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 新情境 判断课桌椅的配套情况 为了保护学生的身体健康，某中学课桌椅的高度都是按一定的关系（一次函数）配套设计的，下表列出5套符合条件的课桌椅的高度.
假设课桌的高度为$y\ \mathrm{cm}$，椅子的高度为$x\ \mathrm{cm}$.
(1)请确定$y$与$x$的函数表达式.
(2)现有一把高$38\ \mathrm{cm}$的椅子和一张高$73.5\ \mathrm{cm}$的课桌，它们是否配套？为什么？
假设课桌的高度为$y\ \mathrm{cm}$，椅子的高度为$x\ \mathrm{cm}$.
(1)请确定$y$与$x$的函数表达式.
(2)现有一把高$38\ \mathrm{cm}$的椅子和一张高$73.5\ \mathrm{cm}$的课桌，它们是否配套？为什么？
答案
(1)$y=\frac{5}{3}x+9$.
(2)不配套.理由如下：
当$x=38$时，$y=\frac{5}{3}×38+9=72\frac{1}{3}≠73.5$，
所以一把高 38 cm 的椅子和一张高 73.5 cm 的课桌不配套.
一题多解 (2)不配套.理由如下：
当$y=73.5$时，$\frac{5}{3}x+9=73.5$，
解得$x=38.7≠38$，
所以一把高 38 cm 的椅子和一张高 73.5 cm 的课桌不配套.
(2)不配套.理由如下：
当$x=38$时，$y=\frac{5}{3}×38+9=72\frac{1}{3}≠73.5$，
所以一把高 38 cm 的椅子和一张高 73.5 cm 的课桌不配套.
一题多解 (2)不配套.理由如下：
当$y=73.5$时，$\frac{5}{3}x+9=73.5$，
解得$x=38.7≠38$，
所以一把高 38 cm 的椅子和一张高 73.5 cm 的课桌不配套.
解析
【分析】
(1) 题目明确y与x为一次函数关系，采用待定系数法求解即可：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值即可确定函数表达式，可代入其余数据验证结果正确性。
(2) 判断课桌椅是否配套，只需将已知的椅子高度代入所求函数表达式，计算出对应的标准桌子高度，和给出的桌子高度比较，数值相等则配套，不等则不配套；也可代入桌子高度计算对应标准椅子高度，和已知椅子高度比较判断。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），选取表格中$\begin{cases}x=45 \\ y=84\end{cases}$和$\begin{cases}x=42 \\ y=79\end{cases}$两组数据代入，得：
$\begin{cases}45k + b = 84 ① \\42k + b = 79 ②\end{cases}$
用①$-$②得：$3k=5$，解得$k=\frac{5}{3}$。
将$k=\frac{5}{3}$代入②，得：$42×\frac{5}{3}+b=79$，计算得$70+b=79$，解得$b=9$。
代入表格其余三组数据验证，均满足该表达式，因此$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{5}{3}x+9$。
(2) 不配套，理由如下：
将$x=38$代入$y=\frac{5}{3}x+9$，得：
$y=\frac{5}{3}×38 +9=72\frac{1}{3}$
因为$72\frac{1}{3}≠73.5$，所以高38cm的椅子和高73.5cm的课桌不配套。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{5}{3}x+9}$
(2) 不配套，当$x=38$时，$y=\frac{5}{3}×38+9=72\frac{1}{3}≠73.5$，因此二者不配套。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；二元一次方程组的求解
【点评】
本题结合课桌椅配套的生活情境考查一次函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能结合函数解析式完成数值计算和实际判断，题目贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 题目明确y与x为一次函数关系，采用待定系数法求解即可：先设一次函数的一般形式为$y=kx+b$（$k≠0$），从表格中选取两组对应的x、y值代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值即可确定函数表达式，可代入其余数据验证结果正确性。
(2) 判断课桌椅是否配套，只需将已知的椅子高度代入所求函数表达式，计算出对应的标准桌子高度，和给出的桌子高度比较，数值相等则配套，不等则不配套；也可代入桌子高度计算对应标准椅子高度，和已知椅子高度比较判断。
【解析】
(1) 设$y$与$x$的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），选取表格中$\begin{cases}x=45 \\ y=84\end{cases}$和$\begin{cases}x=42 \\ y=79\end{cases}$两组数据代入，得：
$\begin{cases}45k + b = 84 ① \\42k + b = 79 ②\end{cases}$
用①$-$②得：$3k=5$，解得$k=\frac{5}{3}$。
将$k=\frac{5}{3}$代入②，得：$42×\frac{5}{3}+b=79$，计算得$70+b=79$，解得$b=9$。
代入表格其余三组数据验证，均满足该表达式，因此$y$与$x$的函数表达式为$y=\frac{5}{3}x+9$。
(2) 不配套，理由如下：
将$x=38$代入$y=\frac{5}{3}x+9$，得：
$y=\frac{5}{3}×38 +9=72\frac{1}{3}$
因为$72\frac{1}{3}≠73.5$，所以高38cm的椅子和高73.5cm的课桌不配套。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=\frac{5}{3}x+9}$
(2) 不配套，当$x=38$时，$y=\frac{5}{3}×38+9=72\frac{1}{3}≠73.5$，因此二者不配套。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；二元一次方程组的求解
【点评】
本题结合课桌椅配套的生活情境考查一次函数的应用，解题核心是掌握待定系数法求函数解析式的步骤，能结合函数解析式完成数值计算和实际判断，题目贴近生活，难度较低。
【难度系数】
0.7
