1. 如图,在$△ ABC$中,$AD$和$BE$分别是边$BC,AC$上的高,且相交于点$F$.若$BF=$$AF,\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{5}{2}$,则$\dfrac{AF}{DF}$的值为（）

A.$2$
B.$\dfrac{5}{2}$
C.$3$
D.$\dfrac{7}{2}$

1. D 提示:如图,连接 CF. 因为 AD 和 BE 分别是边 BC,AC 上的高,所以 $∠BDF=∠CDF=∠AEF=∠CEF=90°$. 在 $△BDF$ 和 $△AEF$ 中,
$\begin{cases}∠BDF=∠AEF,\\∠BFD=∠AFE,\\BF=AF,\end{cases}$
所以 $△BDF≌△AEF$(AAS),所以 $S_{△BDF}=S_{△AEF},DF=EF$. 在 $\mathrm{Rt}△CDF$ 和 $\mathrm{Rt}△CEF$ 中,
$\begin{cases}DF=EF,\\CF=CF,\end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△CDF≌\mathrm{Rt}△CEF$(HL),所以 $S_{△CDF}=S_{△CEF}$. 因为 $\dfrac{S_{△BDF}}{S_{△CDF}}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{5}{2}$,所以设 $S_{△BDF}=5x$, 则 $S_{△CDF}=S_{△CEF}=2x$, $S_{△AEF}=5x$, 所以 $S_{△CAF}=S_{△AEF}+S_{△CEF}=7x$, 所以 $\dfrac{AF}{DF}=\dfrac{S_{△CAF}}{S_{△CDF}}=\dfrac{7x}{2x}=\dfrac{7}{2}$.

2. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ ABC = ∠ ACB =$ $40°$,$BD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线, 延长 $BD$ 至点 $E$,使 $DE = AD$,则 $∠ ECA$ 的度数为
（）

A.$30°$
B.$35°$
C.$40°$
D.$45°$

2. C 提示:在 BC 上截取 $BF=AB$,连接 DF. 因为 $∠ABC=∠ACB=40°$, 所以 $∠A=180°-∠ACB-∠ABC=100°$. 易证 $△ABD≌△FBD$(SAS),所以 $DF=DA=DE$,$∠BFD=∠A=100°$,所以 $∠CFD=180°-∠BFD=80°$, 所以 $∠FDC=180°-∠ACB-∠CFD=60°$. 因为 BD 是 $△ABC$ 的角平分线,所以 $∠ABD=\dfrac{1}{2}∠ABC=20°$. 因为 $∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=60°$,所以 $∠FDC=∠EDC$. 易证 $△DCE≌△DCF$(SAS),所以 $∠ECA=∠ACB=40°$.

3. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD ⊥ BC$ 于点 $D$, $CE ⊥ AB$ 于点 $E$,$AD$ 与 $CE$ 交于点 $F$, 且 $AD=CD$. 已知 $BC=7$,$AD=5$, 则 $AF$ 的长为.

3. 3 提示: 因为 $AD⊥BC$,$CE⊥AB$, 所以 $∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°$,所以 $∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°$,所以 $∠BAD=∠FCD$. 在 $△ABD$ 和 $△CFD$ 中,
$\begin{cases}∠ADB=∠CDF,\\AD=CD,\\∠BAD=∠FCD,\end{cases}$
所以 $△ABD≌△CFD$.
所以 $BD=FD$. 因为 $BC=7$,$CD=AD=5$, 所以 $FD=BD=BC-CD=2$, 所以 $AF=AD-FD=3$.

4. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB = AD$, $∠ BAD = ∠ BCD = 90°$, 连接 $AC$. 若 $AC =$

解：
过点A作AE⊥AC，交BC的延长线于点E。
∵ ∠BAD = 90°，
∴ ∠DAC + ∠BAC = 90°，
∵ AE⊥AC，
∴ ∠BAE + ∠BAC = 90°，
∴ ∠DAC = ∠BAE。
∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°，四边形内角和为360°，
∴ ∠D + ∠ABC = 180°，
又∵ ∠ABE + ∠ABC = 180°，
∴ ∠D = ∠ABE。
在△ADC和△ABE中，
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠ABE \\AD = AB \\∠DAC = ∠BAE\end{array} $
∴ △ADC ≌ △ABE（ASA）。
∴ $S_{△ ADC} = S_{△ ABE}$，AC = AE。
∴ $S_{四边形ABCD} = S_{△ ADC} + S_{△ ABC} = S_{△ ABE} + S_{△ ABC} = S_{△ ACE}$。
∵ AC = AE = 4，∠CAE = 90°，
∴ $S_{△ ACE} = \frac{1}{2} × AC × AE = \frac{1}{2} × 4 × 4 = 8$。
答：四边形ABCD的面积为8。

8,则四边形 ABCD 的面积为.

4. 32 提示:过点 A 作 $AE⊥AC$,交 CD 的延长线于点 E,则 $∠EAC=90°$. 因为 $∠BAD=90°$,所以 $∠DAE+∠DAC=∠DAC+∠BAC=90°$,所以 $∠DAE=∠BAC$. 因为 $∠BAD=∠BCD=90°$,所以 $∠ADC+∠B=180°$. 因为 $∠EDA+∠ADC=180°$,所以 $∠EDA=∠B$. 在 $△ABC$ 和 $△ADE$ 中,
$\begin{cases}∠BAC=∠DAE,\\AB=AD,\\∠B=∠EDA,\end{cases}$
所以 $△ABC≌△ADE$,所以 $AE=AC=8$,$S_{△ABC}=S_{△ADE}$. 所以 $S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△AEC}=\dfrac{1}{2}AC· AE=\dfrac{1}{2}×8×8=32$.

5. 如图,$AD$是$△ ABC$的中线,$E,F$分别是$AD$和$AD$延长线上的点,且$DE=DF$,连接$BF,CE$,有下列说法:①$△ ABD$和$△ ACD$的面积相等;②$∠ BAD=∠ CAD$;③$△ BDF ≌ △ CDE$;④$BF // CE$;⑤$CE=BF$.其中一定正确的有(填序号).

5. ①③④⑤ 提示: 因为 AD 是 $△ABC$ 的中线,所以 $BD=CD$,所以 $△ABD$ 和 $△ACD$ 的面积相等,故①正确;无法证明 $∠BAD$ 和 $∠CAD$ 相等,故②错误;
在 $△BDF$ 和 $△CDE$ 中, $\begin{cases}BD=CD,\\∠BDF=∠CDE,\\DF=DE,\end{cases}$ 所以 $△BDF≌△CDE$,故③正确; 因为 $△BDF≌△CDE$,所以 $∠F=∠DEC$,所以 $BF// CE$, 故 ④ 正确; 因为 $△BDF≌△CDE$,所以 $CE=BF$,故⑤正确.

6. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$BC$上,且$BD=CD$,连接$AD$,分别过点$B,C$作直线$AD$的垂线段,垂足分别为$E,F$.点$G$在射线$DA$上,连接$CG$,若$∠ G=∠ BAD,DF=1$,则$GA$的长为.

6. 2 提示: 因为 $BE⊥DE$,$CF⊥DF$, 所以 $∠E=∠CFD=90°$. 又因为 $BD=CD$,$∠BDE=∠CDF$,所以 $△BDE≌△CDF$(AAS),所以 $BE=CF$,$DE=DF=1$, 则 $EF=DE+DF=2$. 又因为 $∠G=∠BAD$,所以 $△ABE≌△GCF$(AAS),所以 $AE=GF$, 所以 $GF-AF=AE-AF$,即 $GA=EF=2$.

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB＞BC$,点$D$在边$BC$上,$CD=2BD$,点$E,F$在线段$AD$上,$∠ 1=∠ 2=∠ BAC$. 若$△ BDE$的面积为2,$△ ABC$的面积为21,则$△ CFD$的面积为.

7. 9 提示: 因为 $∠1=∠2=∠BAC$,$∠1=∠ABE+∠BAE$,$∠2=∠ACF+∠CAF$,$∠BAC=∠CAF+∠BAE$, 所以 $∠ABE=∠CAF$,$∠ACF=∠BAE$. 又因为 $AB=CA$,所以 $△ABE≌△CAF$(ASA),所以 $S_{△ABE}=S_{△CAF}$. 因为 $CD=2BD$,所以 $S_{△ACD}=2S_{△ABD}$,所以 $S_{△ACD}=\dfrac{2}{3}S_{△ABC}=\dfrac{2}{3}×21=14$,$S_{△ABD}=\dfrac{1}{3}S_{△ABC}=\dfrac{1}{3}×21=7$, 所以 $S_{△CAF}=S_{△ABE}=S_{△ABD}-S_{BDE}=7-2=5$, 所以 $S_{△CFD}=S_{△ACD}-S_{△CAF}=14-5=9$.

8. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是高线,$E,F$分别是边$AB,AC$的中点,$AB=8,AC=6$.
(1) 求四边形$AEDF$的周长.
(2) 若$∠ BAC=90°$,求四边形$AEDF$的面积.

8. 解:(1) 延长 DE 至点 G,使 $GE=DE$,连接 BG. 因为 E 是边 AB 的中点,所以 $AE=BE$.
在 $△AED$ 和 $△BEG$ 中, $\begin{cases}AE=BE,\\∠AED=∠BEG,\\DE=GE,\end{cases}$ 所以 $△AED≌△BEG$(SAS). 所以 $AD=BG$,$∠DAE=∠GBE$. 因为 $AD⊥BC$,所以 $∠DAE+∠ABD=90°$. 所以 $∠GBE+∠ABD=90°$,即 $∠GBD=∠ADB=90°$. 在 $△GBD$ 和 $△ADB$ 中,
$\begin{cases}BG=DA,\\∠GBD=∠ADB,\\BD=DB,\end{cases}$
所以 $△GBD≌△ADB$(SAS).
所以 $GD=AB$. 因为 $DE=\dfrac{1}{2}GD$,所以 $DE=\dfrac{1}{2}AB=4$. 同理可证 $DF=\dfrac{1}{2}AC=3$. 所以四边形 AEDF 的周长为 $AE+ED+DF+FA=14$.
(2) 由 (1), 得 $AE=DE=\dfrac{1}{2}AB=4$, $AF=DF=\dfrac{1}{2}AC=3$, 在 $△AEF$ 和 $△DEF$ 中
$\begin{cases}AE=DE,\\AF=DF,\\EF=EF,\end{cases}$
所以 $△AEF≌△DEF$(SSS).
所以 $S_{△AEF}=S_{△DEF}$. 因为 $∠BAC=90°$, 所以 $S_{△AEF}=\dfrac{1}{2}AE· AF=6$. 所以 $S_{\mathrm{四边形}AEDF}=S_{△AEF}+S_{△DEF}=2S_{△AEF}=12$.