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9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=DC$，$AB ⊥$$AE$，且$AE=AB$，连接$DE$交$AC$的
延长线于点$F$，$\dfrac{AC}{CF}=\dfrac{5}{3}$，则$\dfrac{BD}{CD}=$
延长线于点$F$，$\dfrac{AC}{CF}=\dfrac{5}{3}$，则$\dfrac{BD}{CD}=$$\dfrac{6}{5}$
.答案
9. $\dfrac{6}{5}$ 提示:如图,在 CD 上截取 $CG=CF$,连接 AG. 因为 $AC=DC$,$∠ACG=∠DCF=90°$, 所以 $△ACG≌△DCF$(SAS),所以 $∠AGC=∠DFC$. 设 $AC=CD=5x$, 则 $CF=CG=3x$,$GD=2x$. 因为 $∠EAB=∠EAF+∠CAB=∠CAB+∠B=90°$, 所以 $∠EAF=∠B$, 所以 $∠E=∠DFC-∠EAF=∠AGC-∠B=∠GAB$. 又因为 $EA=AB$, 所以 $△FEA≌△GAB$(ASA), 所以 $BG=AF=AC+CF=5x+3x=8x$, 所以 $BD=BG-GD=8x-2x=6x$, 所以 $\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{6x}{5x}=\dfrac{6}{5}$.
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=$$A C, ∠ E A F=\frac{1}{2} ∠ B A C$,$B F ⊥ A E$于点$E$,交$A F$于点$F$,连接$CF$.
(1) 如图 1,当$∠ E A F$在$∠ B A C$内部时,求证:$E F=B E+C F$.
(2) 如图 2,当$∠ E A F$的边$A E$,$A F$分别在$∠ B A C$外部、内部时,试探索线段$C F$,$B F$,$B E$之间的数量关系,并加以证明.
(1) 如图 1,当$∠ E A F$在$∠ B A C$内部时,求证:$E F=B E+C F$.
(2) 如图 2,当$∠ E A F$的边$A E$,$A F$分别在$∠ B A C$外部、内部时,试探索线段$C F$,$B F$,$B E$之间的数量关系,并加以证明.
答案
10. (1) 证明:在 EF 上截取 $EH=BE$,连接 AH. 因为 $AE⊥BF$, 所以 $∠AEB=∠AEH=90°$. 又因为 $AE=AE$,$EB=EH$,所以 $△ABE≌△AHE$,所以 $∠BAE=∠HAE$,$AB=AH$. 因为 $AB=AC$,所以 $AC=AH$. 因为 $∠EAF=\dfrac{1}{2}∠BAC$,所以 $∠BAE+∠CAF=∠EAF$,所以 $∠HAE+∠CAF=∠HAE+∠HAF$,所以 $∠CAF=∠HAF$. 在 $△ACF$ 和 $△AHF$ 中,
$\begin{cases}AC=AH,\\∠CAF=∠HAF,\\AF=AF,\end{cases}$
所以 $△ACF≌△AHF$(SAS), 所以 $CF=HF$. 所以 $EF=EH+HF=BE+CF$.
(2) 解:$CF=BF+2BE$. 证明如下:
在 BE 的延长线上截取 $EN=BE$,连接 AN. 同(1)可证,$△ABE≌△ANE$,所以 $AN=AB=AC$,$∠BAE=∠NAE$. 因为 $∠EAF=\dfrac{1}{2}∠BAC$,所以 $∠NAF=∠EAF+∠NAE=\dfrac{1}{2}(∠BAC+∠BAN)=\dfrac{1}{2}∠CAN=∠CAF$, 同(1)可证 $△ACF≌△ANF$(SAS), 所以 $CF=NF=BF+2BE$.
$\begin{cases}AC=AH,\\∠CAF=∠HAF,\\AF=AF,\end{cases}$
所以 $△ACF≌△AHF$(SAS), 所以 $CF=HF$. 所以 $EF=EH+HF=BE+CF$.
(2) 解:$CF=BF+2BE$. 证明如下:
在 BE 的延长线上截取 $EN=BE$,连接 AN. 同(1)可证,$△ABE≌△ANE$,所以 $AN=AB=AC$,$∠BAE=∠NAE$. 因为 $∠EAF=\dfrac{1}{2}∠BAC$,所以 $∠NAF=∠EAF+∠NAE=\dfrac{1}{2}(∠BAC+∠BAN)=\dfrac{1}{2}∠CAN=∠CAF$, 同(1)可证 $△ACF≌△ANF$(SAS), 所以 $CF=NF=BF+2BE$.
11. (常州市校级期中)如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90°,AC=BC,E$为射线$CB$上一动点,连接$AE$,过点$A$作$AF⊥ AE$,且$AF=AE$,垂足为$A$.
(1) 如图1,过点$F$作$FD⊥ AC$于点$D$,求证:$EC+CD=DF$.
(2) 如图2,连接$BF$交$AC$于点$G$,若$\dfrac{AG}{CG}=3$,求证:$E$为$BC$的中点.
(3) 当点$E$在射线$CB$上,连接$BF$与直线$AC$交于点$G$,若$\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{5}{2}$,则$\dfrac{AG}{CG}=$
(1) 如图1,过点$F$作$FD⊥ AC$于点$D$,求证:$EC+CD=DF$.
(2) 如图2,连接$BF$交$AC$于点$G$,若$\dfrac{AG}{CG}=3$,求证:$E$为$BC$的中点.
(3) 当点$E$在射线$CB$上,连接$BF$与直线$AC$交于点$G$,若$\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{5}{2}$,则$\dfrac{AG}{CG}=$
6或4
.答案
11. 证明:(1) 因为 $∠FAD+∠CAE=90°$,$∠FAD+∠DFA=90°$, 所以 $∠CAE=∠DFA$, 可证 $△ADF≌△ECA$(AAS), 所以 $AD=EC$,$DF=CA$, 所以 $EC+CD=AD+CD=CA=DF$.
(2) 过点 F 作 $FD⊥AC$ 交 AC 于点 D, 由 (1) 知, $△ADF≌△ECA$. 所以 $AD=EC$,$FD=AC=BC$. 因为 $∠FGD=∠BGC$,$∠FDG=∠BCG$, 所以 $△FDG≌△BCG$(AAS), 所以 $DG=CG$. 因为 $\dfrac{AG}{CG}=3$, 所以 $\dfrac{AD}{CG}=2$, 所以 $\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{2}$. 所以 $\dfrac{EC}{BC}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{2}$, 即 E 为 BC 的中点.
(3) 6 或 4 提示:当点 E 在 CB 的延长线上时,如图,过点 F 作 $FD⊥AG$,交 AC 的延长线于点 D. 因为 $\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{5}{2}$,$BC=AC$,$CE=CB+BE$, 所以 $\dfrac{AC}{CE}=\dfrac{5}{7}$. 由 (1)(2) 知, $△ADF≌△ECA$,$△GDF≌△GCB$, 所以 $CG=DG$,$AD=EC$, 所以 $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{5}{7}$, 所以 $\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{5}{2}$, 所以 $\dfrac{AG}{CG}=6$. 同理, 当点 E 在线段 CB 上时, $\dfrac{AG}{CG}=4$.
