1. 如图,在 AB,AC 上各取一点 E,D,使
$AE=AD$,连接 BD,CE 相交于点 O,再连接 AO,BC. 若$∠ 1=∠ 2$,则图中的全等三角形共有（）

A.3 对
B.4 对
C.5 对
D.6 对

1. C

2. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB=AD$,
$∠ BAD=120°,∠ B+∠ D=180°,E,F$ 分别是 $BC,CD$ 上的点, 且 $∠ EAF=\dfrac{1}{2}∠ BAD$,若$∠ AEF=α$,则$∠ CFE$一定等于 （）

A.$360°-2α$
B.$30°+α$
C.$2α-60°$
D.$20°+α$

2. C 提示:如图,延长 CB 至点 H,使 $BH=DF$,连接 AH,则 $∠ ABC + ∠ ABH = 180°$. 因为$∠ BAD=120°,∠ ABC+∠ D=180°$,所以 $∠ C=360°-∠ BAD-(∠ ABC+∠ D)=60°,∠ ABH = ∠ D$. 在$△ ABH$ 和 $△ ADF$ 中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠ ABH=∠ D, \\ BH=DF, \end{cases}$所以 $△ ABH ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$,所以 $AH=AF,∠ BAH=∠ DAF$. 因为$∠ EAF=\frac{1}{2}∠ BAD$,所以 $∠ EAH = ∠ BAE + ∠ BAH = ∠ BAE + ∠ DAF = \frac{1}{2}∠ BAD$,所以 $∠ EAH=∠ EAF$. 在$△ EAH$ 和 $△ EAF$ 中, $\begin{cases} AH=AF, \\ ∠ EAH=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$所以$△ EAH ≌ △ EAF(\mathrm{SAS})$,所以$∠ AEH=∠ AEF=α$,所以$∠ FEH=2∠ AEF=2α$. 因为$∠ FEH=∠ CFE+∠ C$,所以$∠ CFE=∠ FEH-∠ C=2α-60°$.

3. 在 $△ A B C$ 中, 已知 $A D$ 是边 $B C$ 上的中线, $A B=12, A C=8$, 则边 $B C$ 及其中线$A D$ 长的取值范围分别是（）

A.$2＜B C＜10,2＜A D＜10$
B.$4＜B C＜20,4＜A D＜20$
C.$2＜B C＜10,4＜A D＜20$
D.$4＜B C＜20,2＜A D＜10$

3. D 提示:根据题意,得 $12-8＜BC＜12+8$,即 $4＜BC＜20$. 如图,在$△ ABC$ 中,延长 $AD$ 至点 $E$,使 $DE=AD$,连接 $BE$. 因为 $AD$ 是边 $BC$ 上的中线,所以 $BD=CD$. 易证$△ ACD ≌ △ EBD$,所以 $EB=AC=8$. 在$△ ABE$ 中,$AB-EB＜AE＜AB+EB$,所以 $12-8＜AE＜12+8$,即 $4＜AE＜20$,所以 $2＜AD＜10$.

4. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$△ ABC$的角平分线$AD$，$BE$相交于点$O$，过点$O$作$OF⊥ AD$交$BC$的延长线于点$F$，交$AC$于点$G$，现有下列结论：
①$∠ BOD=45°$；②$△ BOA≌△ BOF$；
③$BD+AG=AB$.其中正确的结论是（）

A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③

4. D 提示:因为$△ ABC$ 的角平分线$AD,BE$ 相交于点 $O$,所以$∠ ABO=∠ CBO=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ BAO=∠ OAC=\frac{1}{2}∠ BAC$, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,$∠ ACB + ∠ ABC + ∠ BAC = 180°$, 所以 $∠ ABC + ∠ BAC = 180° - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$, 所以 $∠ ABO + ∠ BAO = \frac{1}{2}∠ ABC + \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)=\frac{1}{2}×90°=45°$,所以$∠ BOD=∠ ABO+∠ BAO=45°$,故 ① 正确; 因为 $∠ BOD + ∠ BOA = 180°$,$∠ BOD=45°$,所以 $∠ BOA = 180° - ∠ BOD = 180° - 45° = 135°$, 因为 $OF ⊥ AD$,所以 $∠ DOF=90°$,所以 $∠ BOF = ∠ BOD + ∠ DOF = 45° + 90° = 135°$,所以 $∠ BOA = ∠ BOF$,在 $△ BOA$ 和 $△ BOF$ 中,$\begin{cases} ∠ ABO=∠ FBO, \\ OB=OB, \\ ∠ BOA=∠ BOF, \end{cases}$所以 $△ BOA ≌ △ BOF(\mathrm{ASA})$,故②正确;如图,延长 $FO$ 交 $AB$ 于点 $H$,所以 $∠ AOG = ∠ AOH = 90°$,又因为 $∠ HAO = ∠ GAO$,$AO=AO$,所以 $△ AOH ≌ △ AOG(\mathrm{ASA})$,所以 $AG=AH$, 因为 $∠ BOH = 180° - ∠ BOF = 45°$,所以 $∠ BOH = ∠ BOD = 45°$,又因为 $∠ OBH = ∠ OBD$,$BO=BO$,所以 $△ BOH ≌ △ BOD(\mathrm{ASA})$,所以 $BH=BD$,所以 $AB=AH+BH=AG+BD$,即 $BD+AG=AB$,故③正确.

5. 如图,已知 $AB ⊥ CD$ 且 $AB=CD,E,F$ 是$AD$ 上两点,$CE ⊥ AD,BF ⊥ AD$. 若 $AD=$$15,CE=10,BF=8$,则 $EF$ 的长为.

5. 3 提示:易知$△ ABF ≌ △ CDE$,所以 $DE=BF=8$,$AF=CE=10$. 因为 $AE=AD-DE=7$,所以 $EF=AF-AE=3$.

6. 如图,在$△ ACD$中,$∠ CAD=90^{ \circ }$,$AC=6$,$AD=8$,$AB // CD$,$E$是边$CD$上一点,$BE$交$AD$于点$F$.若$EF=BF$,则图中阴影部分的面积为.

6. 24 提示:因为 $AB// CD$,所以 $∠ B = ∠ FED$.
在 $△ BAF$ 和 $△ EDF$ 中, $\begin{cases} ∠ B=∠ FED, \\ BF=EF, \\ ∠ AFB=∠ DFE, \end{cases}$所以 $△ BAF ≌ △ EDF$,所以 $S_{△ BAF}=S_{△ EDF}$. 所以题图中阴影部分的面积为 $S_{\mathrm{四边形}ACEF} + S_{△ BAF} = S_{\mathrm{四边形}ACEF} + S_{△ EDF} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AC · AD = 24$.

7. 如图,在同一平面内,直线$l$同侧有三个正方形$A,B,C$.若$A,C$的面积分别为25和9,则阴影部分的总面积为.

7. 15 提示:如图,过点 $L$ 作 $LM ⊥ FE$,交 $FE$ 的延长线于点 $M$,交 $JI$ 的延长线于点 $N$. 因为四边形 $A,B,C$ 都是正方形,且正方形 $A,C$ 的面积分别为 25,9,所以 $DE=5$,$HI=3$. 易证 $△ EDK ≌ △ KHI(\mathrm{AAS})$,所以 $DK=HI=3$,所以 $S_{△ EDK}=S_{△ KHI}=\frac{15}{2}$. 因为 $∠ LEM=90° - ∠ KEM = ∠ KED$,所以易证 $△ EML ≌ △ EDK(\mathrm{AAS})$,所以 $EM=ED=EF$,所以 $S_{△ EFL}=S_{△ EML}=S_{△ EDK}=\frac{15}{2}$. 同理 $△ LNI ≌ △ KHI(\mathrm{AAS})$,所以 $IN=IH=IJ$,所以 $S_{△ LJI}=S_{△ LNI}=S_{△ KHI}=\frac{15}{2}$. 所以 $S_{△ EFL} + S_{△ LJI}=15$,即阴影部分的总面积为 15.

8. (徐州市校级期中)【材料阅读】小明在学习完全等三角形后,为了进一步探究,他尝试用三种不同方式摆放一副三角板(在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC$;在$△ DEF$中,$∠ DEF=90°$,$∠ EDF=30°$),并提出了相应的问题.
(1)【发现】如图1,将两个三角板互不重叠地摆放在一起,当顶点$B$摆放在线段$DF$上时,过点$A$作$AM⊥ DF$,垂足为$M$,过点$C$作$CN⊥ DF$,垂足为$N$,易证$△ ABM≌△ BCN$.若$AM=2$,$CN=7$,则$MN=$.
(2)【类比】如图2,将两个三角板叠放在一起,当顶点$B$在线段$DE$上,且顶点$A$在线段$EF$上时,过点$C$作$CP⊥ DE$,垂足为$P$,猜想线段$AE$,$PE$,$CP$之间的数量关系,并说明理由.
(3)【拓展】如图3,将两个三角板叠放在一起,当顶点$A$在线段$DE$上且顶点$B$在线段$EF$上时,若$BE=1$,连接$CE$,则$△ BCE$的面积为.

8. 解:(1) 9
(2) $CP=PE+AE$. 理由如下:
因为 $CP ⊥ DE$,所以 $∠ BPC=90°$. 因为 $∠ ABC=90°$,所以 $∠ ABE + ∠ CBP = 90° = ∠ BCP + ∠ CBP$,所以 $∠ ABE = ∠ BCP$. 因为 $∠ AEB=90°$,所以 $∠ AEB = ∠ BPC$,又因为 $AB=BC$,所以 $△ ABE ≌ △ BCP(\mathrm{AAS})$,所以 $AE=BP$,$BE=CP$. 因为 $BE=PE+BP$,所以 $CP=PE+AE$.
(3) $\frac{1}{2}$ 提示:如图,过点 $C$ 作 $CG ⊥ EF$,交 $FE$ 延长线于点 $G$. 同(2),得 $△ AEB ≌ △ BGC$,所以 $CG=BE=1$. 所以 $S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE · CG=\frac{1}{2}$.