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9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$CD$平分$∠ ACB$,$O$为线段$CD$上一点,连接$OB$.若$∠ ACD＞30°$,试比较$OB$与$CD$的大小关系,并说明理由.
答案
9. 解:$OB＞CD$. 理由如下：
因为$CD$平分$∠ACB$,所以$∠ACD=∠BCD$. 因为$∠ACD＞30°$,所以$∠ACB＞60°$. 因为$∠A=90°$,所以$∠ABC＜30°$,所以$∠DCB＞∠CBD$,所以$BD＞CD$. 在$△BOD$中,$∠BDO=90°+∠ACD＞90°$,$∠BOD＜90°$,所以$∠BDO＞∠BOD$,所以$OB＞BD$,所以$OB＞CD$.
因为$CD$平分$∠ACB$,所以$∠ACD=∠BCD$. 因为$∠ACD＞30°$,所以$∠ACB＞60°$. 因为$∠A=90°$,所以$∠ABC＜30°$,所以$∠DCB＞∠CBD$,所以$BD＞CD$. 在$△BOD$中,$∠BDO=90°+∠ACD＞90°$,$∠BOD＜90°$,所以$∠BDO＞∠BOD$,所以$OB＞BD$,所以$OB＞CD$.
10. 如图，$CA ⊥ AB$，垂足为$A$，$AB = 24\ \mathrm{cm}$，$AC = 12\ \mathrm{cm}$，射线$BM ⊥ AB$，垂足为$B$. 一动点$E$从点$A$出发以$3\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AN$匀速运动，$D$为射线$BM$上一动点，随着点$E$运动而运动，且始终保持$ED = CB$，求经过多少秒时，以$D,E,B$为顶点的三角形与以$B,C,A$为顶点的三角形全等.
答案
10. 解:设经过$t\ \mathrm{s}$时,以$D,E,B$为顶点的三角形与以$B,C,A$为顶点的三角形全等,则$AE=3t\ \mathrm{cm}$. 根据题意,分2种情况讨论. ①当点$E$在点$B$的左侧时,若$△DEB≌△BCA$,则$EB=CA$,即$24-3t=12$,解得$t=4$;若$△DEB≌△CBA$,则$EB=BA$,即$24-3t=24$,解得$t=0$. ②当点$E$在点$B$的右侧时,若$△DEB≌△BCA$,则$EB=CA$,即$3t-24=12$,解得$t=12$;若$△DEB≌△CBA$,则$EB=BA$,即$3t-24=24$,解得$t=16$. 综上所述,当点$E$经过$0\ \mathrm{s}$或$4\ \mathrm{s}$或$12\ \mathrm{s}$或$16\ \mathrm{s}$时,以$D,E,B$为顶点的三角形与以$B,C,A$为顶点的三角形全等.
11. 如图,在$△ ABC$中，
$D$是边$BC$上一点，$BD:CD=1:2$,连接$AD$,$E$是线段$AD$的中点,连接$CE$,$F$是线段$CE$的中点,连接$BF$交线段$AD$于点$G$,过点$E$作$EH// BF$交$AB$于点$H$,连接$HG$.给出下列结论:①$S_{△ ACE}=S_{△ DCE}$;②$S_{△ BCF}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$;③$S_{△ EFG}=S_{△ GBH}$;④$S_{△ EFG}+$$S_{△ DBG}=S_{四边形CFGD}$.其中正确的个数是（
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
$D$是边$BC$上一点，$BD:CD=1:2$,连接$AD$,$E$是线段$AD$的中点,连接$CE$,$F$是线段$CE$的中点,连接$BF$交线段$AD$于点$G$,过点$E$作$EH// BF$交$AB$于点$H$,连接$HG$.给出下列结论:①$S_{△ ACE}=S_{△ DCE}$;②$S_{△ BCF}=\dfrac{1}{4}S_{△ ABC}$;③$S_{△ EFG}=S_{△ GBH}$;④$S_{△ EFG}+$$S_{△ DBG}=S_{四边形CFGD}$.其中正确的个数是（C
）A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
11. C 提示:连接$BE,DF$,设$S_{△ ABD}=2S$,则$S_{△ ACD}=4S$,$S_{△ ABC}=6S$. 因为$E$是线段$AD$的中点,所以$S_{△ ACE}=S_{△ DCE}=2S$,$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}=S$,故①正确;可知$S_{△ BCE}=S_{△ DCE}+S_{△ DBE}=3S$,因为$F$是线段$CE$的中点,所以$S_{△ BCF}=\frac{1}{2}S_{△ BCE}=\frac{3}{2}S$,所以$S_{△ BCF}:S_{△ ABC}=1:4$,即$S_{△ BCF}=\frac{1}{4}S_{△ ABC}$,故②正确;易得$S_{△ DEF}=S_{△ DBE}$,设点$F$到$DE$的距离为$m$,点$B$到$DE$的距离为$n$,所以$\frac{1}{2}DE· m=\frac{1}{2}DE· n$,则$m=n$,因为$S_{△ DFG}=\frac{1}{2}DG· m$,$S_{△ DBG}=\frac{1}{2}DG· n$,所以$S_{△ DFG}=S_{△ DBG}$,所以$S_{△ DEF}-S_{△ DFG}=S_{△ DBE}-S_{△ DBG}$,即$S_{△ EFG}=S_{△ EBG}=\frac{1}{2}S_{△ BEF}=\frac{3}{4}S$,因为$EH// BF$,所以$S_{△ GBH}=S_{△ EBG}=S_{△ EFG}$,故③正确;因为$S_{△ EFG}+S_{△ DBG}=S_{△ EBG}+S_{△ DBG}=S$,$S_{四边形CFGD}=S_{△ DCE}-S_{△ EFG}=\frac{5}{4}S$,所以$S_{△ EFG}+S_{△ DBG}≠ S_{四边形CFGD}$,故④错误.
12.【操作与实践】
(1) 如图 1,请你在 $△ ABC$ 中画一条线段,把 $△ ABC$ 分成面积相等的两部分.
(2) 如图 2,请你按照(1)的方法把四边形$ABCD$ 分成面积相等的两部分.
(3) 如图 3,已知 $l_1// l_2$,点 $E,F$ 在 $l_1$ 上,点 $G, H$ 在 $l_2$ 上,则 $△ EGO$ 与$△ FHO$ 的面积相等;利用以上性质尝试在如图 4 所示的四边形 $ABCD$ 中作一条线段,把四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分,请简要写出画图步骤.
(1) 如图 1,请你在 $△ ABC$ 中画一条线段,把 $△ ABC$ 分成面积相等的两部分.
(2) 如图 2,请你按照(1)的方法把四边形$ABCD$ 分成面积相等的两部分.
(3) 如图 3,已知 $l_1// l_2$,点 $E,F$ 在 $l_1$ 上,点 $G, H$ 在 $l_2$ 上,则 $△ EGO$ 与$△ FHO$ 的面积相等;利用以上性质尝试在如图 4 所示的四边形 $ABCD$ 中作一条线段,把四边形 $ABCD$ 分成面积相等的两部分,请简要写出画图步骤.
答案
12. 解:(1) 如图1,线段$AD$即为所求(答案不唯一).
(2) 如图2所示,即为所求(答案不唯一).
提示:易知$S_{△ ADE}=S_{△ CDE}$,$S_{△ ABE}=S_{△ BCE}$,所以$S_{△ ADE}+S_{△ ABE}=S_{△ CDE}+S_{△ BCE}$,所以$S_{四边形ABED}=S_{四边形BCDE}$.
(3) 如图3,连接$AC,BD$,取$AC$的中点$O$,过点$O$作$OE// BD$交$CD$于点$E$,连接$BE$,则线段$BE$把四边形$ABCD$分成面积相等的两部分. 提示:连接$OD,OB$. 因为$OE// BD$,所以$S_{△ DEB}=S_{△ OBD}$. 因为$O$是$AC$的中点,所以$S_{△ ADO}=S_{△ CDO}$,$S_{△ ABO}=S_{△ CBO}$,所以$S_{四边形ABOD}=S_{△ ADO}+S_{△ ABO}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}+\frac{1}{2}S_{△ ADC}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}$,所以$S_{四边形ABED}=S_{△ ABD}+S_{△ DEB}=S_{△ ABD}+S_{△ OBD}=S_{四边形ABOD}=\frac{1}{2}S_{四边形ABCD}$. 所以$S_{△ BCE}=S_{四边形ABED}$. 所以线段$BE$把四边形$ABCD$分成了面积相等的两部分.
