1. 若一个不等边三角形的两边长分别为6和10，且第三边长为偶数，则符合条件的三角形有（）

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

1. B

2. 已知$O$为$△ ABC$内任意一点，设$OA+$
$OB+OC=S_{1},AB+BC+AC=S_{2},$则下
列关系正确的是（）

A.$S_{2} ≥ 2S_{1}$
B.$S_{2} ＞ 2S_{1}$
C.$S_{2} ＜ 2S_{1} ≤ 2S_{2}$
D.$S_{2} ＜ 2S_{1} ＜ 2S_{2}$

2. D 提示:如图,OA+OB＞AB,OB+OC＞BC,OC+OA＞AC,三式相加,得2(OA+OB+OC)＞AB+BC+AC,即2S₁＞S₂,故A,B选项不符合题意；延长BO交AC于点G,则AB+AG＞BO+OG,OG+GC＞OC,两式相加并整理,得AB+AC＞OB+OC,同理AB+BC＞OA+OC,AC+BC＞OA+OB,把这三式相加,得2(AB+BC+AC)＞2(OA+OB+OC),则2S₂＞2S₁,故C选项不符合题意,D选项符合题意。

3. 如图，$∠ MAB$ 为锐角，$AB=a$，点 $C$ 在射线$AM$ 上，点 $B$ 到射线 $AM$ 的距离为 $d$，$BC=x$. 若$△ ABC$的形状、大小是唯一确定的，则 $x$ 的取值范围是（）

A.$x=d$ 或 $x≥ a$
B.$x≥ a$
C.$x=d$
D.$x=d$ 或 $x＞a$

3. A 提示:若△ABC的形状、大小是唯一确定的,则点C的位置也是唯一确定的.当x=d时,BC⊥AM,点C的位置是唯一确定的;当x≥a时,以点B为圆心,BC长为半径作弧,与射线AM只有一个交点(点A除外).所以当x=d或x≥a时,△ABC的形状、大小是唯一确定的.

4. 如图,在孔雀开屏般漂亮的 $4 × 4$ 正方形网
格中,$∠ 1+∠ 2+∠ 3+∠ 4+∠ 5+∠ 6+$
$∠ 7=$.

4. 315°

5. 已知在$△ ABC$中，$∠ A=40^{\circ }$，边$AB,AC$上的高所在的直线相交于点$H$，则$∠ BHC=$.

5. 140°或40° 提示:①如图1,当△ABC是锐角三角形时,因为BD,CE是△ABC的高线,所以∠ADB=90°,∠BEC=90°,在△ABD中,因为∠A=40°,所以∠ABD=90°-40°=50°,所以∠BHC=∠ABD+∠BEC=50°+90°=140°;②如图2,当△ABC是钝角三角形时,因为BD,CE是△ABC的高线,所以∠A+∠ACE=90°,∠BHC+∠HCD=90°,因为∠ACE=∠HCD,所以∠BHC=∠A=40°.综上所述,∠BHC的度数是140°或40°。

6. 在综合实践活动中,数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为$k$的三角形的个数$m$进行了探究,发现:当$k=1$时,只有$\{ 1,1,1\}$一种情况,即$m=1$;当$k=2$时,有$\{ 1,2,2\}$和$\{ 2,2,2\}$两种情况,即$m=2$;当$k=3$时,有$\{ 1,3,3\} ,\{ 2,2,3\} ,\{ 2,3,3\}$和$\{ 3,3,3\}$四种情况,即$m=4;··· $;若$k=6$,则$m$的值为;若$k=19$,则$m$的值为.

6. 12 100 提示:由题知,当k=1时,m=1;当k=2时,m=2;当k=3时,m=4;当k=4时,有如下情况:{1,4,4},{2,3,4},{2,4,4},{3,3,4},{3,4,4},{4,4,4},所以m=6.以此类推,当k=5时,m=9;当k=6时,m=12;…;因为1=1,2=1+1,4=1+2+1,6=1+2+2+1,9=1+2+3+2+1,12=1+2+3+3+2+1,…,所以当k=19时,m=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=100.

7. 如图,将等边三角形$ABC$的三条边向外延长一倍,得到第一个新的$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,第二次将等边三角形$A_{1}B_{1}C_{1}$的三边向外延长一倍,得到第二个新的$△ A_{2}B_{2}C_{2}······$依此规律继续延长下去,若$△ ABC$的面积$S_{0}=1$,则第2 026个新的三角形的面积$S_{2\ 026}=$.

7. $7^{2\ 026}$ 提示:如图,连接$CB_1$. 因为$AB=BB_1$,所以$S_{△ ABC}=S_{△ CBB_1}=1$. 因为$BC=CC_1$,所以$S_{△ BB_1C_1}=2S_{△ CBB_1}=2$. 同理可得$S_{△ CA_1C_1}=2$,$S_{△ AB_1A_1}=2$,所以$S_1=6+1=7$,所以$△ABC$向外扩展了一次得到的$△A_1B_1C_1$的面积为$6+1=7$,所以$△ABC$向外扩展了两次得到的$△A_2B_2C_2$,可以看作是$△A_1B_1C_1$向外扩展了一次得到的,所以$△A_2B_2C_2$的面积为$△A_1B_1C_1$面积的7倍,所以$△ABC$向外扩展了两次得到的$△A_2B_2C_2$的面积为$7^2$,…,依此类推,$△ABC$向外扩展了$n$次得到的$△A_nB_nC_n$的面积为$S_n=7^n$,所以第2026个新的三角形的面积$S_{2\ 026}=7^{2\ 026}$。

8. 如图 1,$CD$ 为$△ ABC$的高,$CE$ 平分$∠ ACB,∠ A＞∠ B.$

(1) $\dfrac{∠ A-∠ B}{∠ DCE}$的值为.
(2) 如图 2,在图 1 的基础上,$G$ 为$△ ABC$外一点,连接 $DG,BG$,作$∠ DGB$的平分线交 $CE$ 的延长线于点 $F$,若
$∠ DCE=16°,∠ CBG=∠ ACD+∠ CBD,∠ CDG-∠ BCE=18°,$ 则$∠ F=$.

8. (1) 2 提示:在$△ABC$中,$∠ACB=180°-∠A-∠B$. 因为$CE$平分$∠ACB$,所以$∠BCE=\frac{1}{2}∠ACB=90°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}∠B$,所以$∠DEC=∠B+∠BCE=∠B+90°-\frac{1}{2}∠A-\frac{1}{2}∠B=90°-\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}∠B$,所以$∠DCE=90°-∠DEC=90°-( 90°-\frac{1}{2}∠A+\frac{1}{2}∠B )=\frac{1}{2}(∠A-∠B)$,所以$\frac{∠A-∠B}{∠DCE}=\frac{∠A-∠B}{\frac{1}{2}(∠A-∠B)}=2$.
(2) $46°$ 提示:连接$CG$,记$BC$与$DG$的交点为$O$. 设$∠A=x$. 由(1),得$∠DCE=\frac{1}{2}(∠A-∠ABC)$,因为$∠DCE=16°$,所以$16°=\frac{1}{2}(x-∠ABC)$,解得$∠ABC=x-32°$. 因为$∠ADC=90°$,所以$∠ACD=90°-x$. 因为$∠CBG=∠ACD+∠CBD$,所以$∠CBG=90°-x+x-32°=58°$,$∠ABG=x-32°+58°=x+26°$. 因为$CE$平分$∠ACB$,即$∠BCE=∠ACE$,所以$∠BCE=∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°-x+16°=106°-x$. 因为$∠CDG-∠BCE=18°$,所以$∠CDG=18°+∠BCE=18°+106°-x=124°-x$. 因为$∠CDB=90°$,所以$∠BDG=90°-∠CDG=90°-(124°-x)=x-34°$. 因为$∠BDG+∠ABC=x-34°+x-32°=2x-66°$,$∠COG=∠BOD$,所以$∠BCG+∠DGC=2x-66°$. 因为$∠ABG=x+26°$,$∠BDG=x-34°$,所以$∠BGD=180°-∠ABG-∠BDG=180°-(x+26°)-(x-34°)=188°-2x$. 因为$GF$平分$∠DGB$,所以$∠DGF=\frac{1}{2}∠BGD=\frac{1}{2}(188°-2x)=94°-x$. 在$△CFG$中,$∠F=180°-(∠BCG+∠DGC)-∠BCE-∠DGF=180°-(2x-66°)-(106°-x)-(94°-x)=46°$,所以$∠F$的度数为$46°$.