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20. (8分)解方程组:
(1) $\begin{cases} y = x - 1, \\ x + 2y = 7; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ 3x + 2y = 8. \end{cases}$
(1) $\begin{cases} y = x - 1, \\ x + 2y = 7; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x - 3y = 1, \\ 3x + 2y = 8. \end{cases}$
答案
20. 【点拨】本题考查解二元一次方程组.
【解析】(1) 将 $ y = x - 1 $ 代入 $ x + 2y = 7 $,得 $ x + 2(x - 1) = 7 $,解得 $ x = 3 $,则 $ y = 3 - 1 = 2 $,则原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3 ,\\ y = 2. \end{cases} $
(2) 将第一个方程乘 3,第二个方程乘 2,得 $ \begin{cases} 6x - 9y = 3 ,\\ 6x + 4y = 16 , \end{cases} $
两式相减得 $ 13y = 13 $,解得 $ y = 1 $,
把 $ y = 1 $ 代入 $ 3x + 2y = 8 $,得 $ 3x + 2 = 8 $,解得 $ x = 2 $,
则原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 2 ,\\ y = 1. \end{cases} $
【解析】(1) 将 $ y = x - 1 $ 代入 $ x + 2y = 7 $,得 $ x + 2(x - 1) = 7 $,解得 $ x = 3 $,则 $ y = 3 - 1 = 2 $,则原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3 ,\\ y = 2. \end{cases} $
(2) 将第一个方程乘 3,第二个方程乘 2,得 $ \begin{cases} 6x - 9y = 3 ,\\ 6x + 4y = 16 , \end{cases} $
两式相减得 $ 13y = 13 $,解得 $ y = 1 $,
把 $ y = 1 $ 代入 $ 3x + 2y = 8 $,得 $ 3x + 2 = 8 $,解得 $ x = 2 $,
则原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 2 ,\\ y = 1. \end{cases} $
21. (6 分)先化简,再求值:$(a-2b)(a+2b)+(a+2b)^2$,其中$a=-1,b=2$.
答案
21. 【点拨】本题考查整式的化简求值.
【解析】 $ (a - 2b)(a + 2b) + (a + 2b)^2 $
$ = a^2 - 4b^2 + a^2 + 4ab + 4b^2 $
$ = 2a^2 + 4ab $,
当 $ a = -1 ,b = 2 $ 时,原式 $ = 2 × (-1)^2 + 4 × (-1) × 2 = 2 × 1 - 8 = 2 - 8 = -6 $.
【解析】 $ (a - 2b)(a + 2b) + (a + 2b)^2 $
$ = a^2 - 4b^2 + a^2 + 4ab + 4b^2 $
$ = 2a^2 + 4ab $,
当 $ a = -1 ,b = 2 $ 时,原式 $ = 2 × (-1)^2 + 4 × (-1) × 2 = 2 × 1 - 8 = 2 - 8 = -6 $.
22. (8 分)$△ ABC$在网格中的位置如图所示,其中每个小正方形的边长为1.
(1)将$△ ABC$先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,请画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2)连接$AA_{1}$与$BB_{1}$,线段$AA_{1}$与$BB_{1}$之间的关系是________,$△ ABC$扫过的面积为________;
(3)画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$绕点$P$旋转$180°$之后得到的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$.
(1)将$△ ABC$先向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到$△ A_{1}B_{1}C_{1}$,请画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2)连接$AA_{1}$与$BB_{1}$,线段$AA_{1}$与$BB_{1}$之间的关系是________,$△ ABC$扫过的面积为________;
(3)画出$△ A_{1}B_{1}C_{1}$绕点$P$旋转$180°$之后得到的$△ A_{2}B_{2}C_{2}$.
答案
22. 【点拨】本题考查图形的平移及旋转,平移的性质.
【解析】(1) 如图,$ △ A_1B_1C_1 $ 即为所求.
(2) 如图,连接 $ AA_1 ,BB_1 ,CC_1 $.
由平移得,线段 $ AA_1 $ 与 $ BB_1 $ 之间的关系是平行且相等. $ △ ABC $ 扫过的面积为 $ S_{\mathrm{四边形}AA_1C_1C} + S_{△ A_1B_1C_1} = 4 × 3 + \frac{1}{2} × 4 × 2 = 12 + 4 = 16 $. 故答案为平行且相等; 16.
(3) 如图,$ △ A_2B_2C_2 $ 即为所求.
23. (6 分)填空,完成下面的证明过程.
已知:如图,$AB// CD,∠BAC$的平分线与$∠ACD$的平分线交于点 E.
求证:$AE⊥CE$.
证明:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠BAC +$ $\_\_\_\_\_\_=180°$( ).
$\because AE$平分$∠BAC,CE$平分$∠ACD$,
$\therefore ∠1=\frac{1}{2}∠BAC,∠2=\frac{1}{2}∠ACD$,
$\therefore ∠1 + ∠2 =$ ______.
$\because ∠E + ∠1 + ∠2 = 180°$( ),
$\therefore ∠E = 180° - ∠1 - ∠2 = 90°$,
$\therefore AE⊥CE$.
请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题:________.
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已知:如图,$AB// CD,∠BAC$的平分线与$∠ACD$的平分线交于点 E.
求证:$AE⊥CE$.
证明:$\because AB// CD$,
$\therefore ∠BAC +$ $\_\_\_\_\_\_=180°$( ).
$\because AE$平分$∠BAC,CE$平分$∠ACD$,
$\therefore ∠1=\frac{1}{2}∠BAC,∠2=\frac{1}{2}∠ACD$,
$\therefore ∠1 + ∠2 =$ ______.
$\because ∠E + ∠1 + ∠2 = 180°$( ),
$\therefore ∠E = 180° - ∠1 - ∠2 = 90°$,
$\therefore AE⊥CE$.
请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题:________.
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答案
23. 【点拨】本题考查平行线的性质,三角形的内角和定理,角平分线的定义.
【解析】证明:$ \because AB // CD $,
$ \therefore ∠ BAC + ∠ ACD = 180° $(两直线平行,同旁内角互补).
$ \because AE $ 平分 $ ∠ BAC ,CE $ 平分 $ ∠ ACD $,
$ \therefore ∠ 1 = \frac{1}{2}∠ BAC ,∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ACD $,
$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 90° $.
$ \because ∠ E + ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $(三角形内角和定理),
$ \therefore ∠ E = 180° - ∠ 1 - ∠ 2 = 90° $,
$ \therefore AE ⊥ CE $.
用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题:两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直.
【解析】证明:$ \because AB // CD $,
$ \therefore ∠ BAC + ∠ ACD = 180° $(两直线平行,同旁内角互补).
$ \because AE $ 平分 $ ∠ BAC ,CE $ 平分 $ ∠ ACD $,
$ \therefore ∠ 1 = \frac{1}{2}∠ BAC ,∠ 2 = \frac{1}{2}∠ ACD $,
$ \therefore ∠ 1 + ∠ 2 = 90° $.
$ \because ∠ E + ∠ 1 + ∠ 2 = 180° $(三角形内角和定理),
$ \therefore ∠ E = 180° - ∠ 1 - ∠ 2 = 90° $,
$ \therefore AE ⊥ CE $.
用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题:两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线互相垂直.
