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二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11. 流感病毒的直径约为0.000 000 72 m,其中0.000 000 72用科学记数法可表示为
11. 流感病毒的直径约为0.000 000 72 m,其中0.000 000 72用科学记数法可表示为
$7.2 × 10^{-7}$
.答案
11. $7.2 × 10^{-7}$ 【点拨】本题考查科学记数法的表示形式.
【解析】$ 0.000 000 72 = 7.2 × 10^{-7} $. 故答案为 $ 7.2 × 10^{-7} $.
【解析】$ 0.000 000 72 = 7.2 × 10^{-7} $. 故答案为 $ 7.2 × 10^{-7} $.
12. 命题“末位数字是5的数能被5整除”的逆命题是
假
命题（填“真”或“假”）答案
12. 假 【点拨】本题考查逆命题与命题真假的判断.
【解析】命题“末位数字是 5 的数能被 5 整除”的逆命题是“能被 5 整除的数的末位数字是 5”,错误,是假命题. 故答案为假.
【解析】命题“末位数字是 5 的数能被 5 整除”的逆命题是“能被 5 整除的数的末位数字是 5”,错误,是假命题. 故答案为假.
13. 若$ a^m = 1, a^n = 2 $，则$ a^{m+n} = \_\_\_\_\_\_ $.
答案
13. 2 【点拨】本题考查同底数幂的乘法.
【解析】$ \because a^m = 1 ,a^n = 2 ,\therefore a^{m+n} = a^m · a^n = 1 × 2 = 2 $. 故答案为 2.
【解析】$ \because a^m = 1 ,a^n = 2 ,\therefore a^{m+n} = a^m · a^n = 1 × 2 = 2 $. 故答案为 2.
14. 用反证法证明命题：“已知$a,b,c$是三条不同的直线，如果$a// b$，$a$与$c$相交，那么$b$与$c$相交”是真命题时，第一步应假设________。
答案
14. $b // c$ 【点拨】本题考查反证法.
【解析】反证法证明命题:“已知 $a,b,c$ 是三条不同的直线,如果 $a // b$,$a$ 与 $c$ 相交,那么 $b$ 与 $c$ 相交”是真命题时,第一步应假设 $b$ 与 $c$ 不相交,即 $b // c$. 故答案为 $b // c$.
【解析】反证法证明命题:“已知 $a,b,c$ 是三条不同的直线,如果 $a // b$,$a$ 与 $c$ 相交,那么 $b$ 与 $c$ 相交”是真命题时,第一步应假设 $b$ 与 $c$ 不相交,即 $b // c$. 故答案为 $b // c$.
15. 如图，$△ ABC$中，$AB,AC$边的垂直平分线分别交$BC$于点$D,E$，垂足分别为$F,G$，若$△ ADE$的周长为8，则$BC$边的长度是________.
答案
15. 8 【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质.
【解析】$ \because AB,AC $ 边的垂直平分线分别交 $ BC $ 于点 $ D,E $,
$ \therefore DA = DB ,EA = EC. \because △ ADE $ 的周长为 8,$ \therefore DA + DE + EA = 8 $,
$ \therefore BC = BD + DE + EC = DA + DE + EA = 8 $. 故答案为 8.
【解析】$ \because AB,AC $ 边的垂直平分线分别交 $ BC $ 于点 $ D,E $,
$ \therefore DA = DB ,EA = EC. \because △ ADE $ 的周长为 8,$ \therefore DA + DE + EA = 8 $,
$ \therefore BC = BD + DE + EC = DA + DE + EA = 8 $. 故答案为 8.
16. 如图,将周长为18的$△ ABC$沿$BC$方向向右平移4个单位长度得到$△ DEF$,则四边形$ABFD$的周长为________.
答案
16. 26 【点拨】本题考查平移的性质.
【解析】$ \because △ ABC $ 沿 $ BC $ 方向向右平移 4 个单位长度得到 $ △ DEF ,\therefore AD = CF = 4 ,AC = DF ,\therefore $ 四边形 $ ABFD $ 的周长 $ = AB + (BC + CF) + DF + AD = AB + BC + AC + AD + CF. \because △ ABC $ 的周长为 18,$ \therefore AB + BC + AC = 18 ,\therefore $ 四边形 $ ABFD $ 的周长 $ = 18 + 4 + 4 = 26 $. 故答案为 26.
【解析】$ \because △ ABC $ 沿 $ BC $ 方向向右平移 4 个单位长度得到 $ △ DEF ,\therefore AD = CF = 4 ,AC = DF ,\therefore $ 四边形 $ ABFD $ 的周长 $ = AB + (BC + CF) + DF + AD = AB + BC + AC + AD + CF. \because △ ABC $ 的周长为 18,$ \therefore AB + BC + AC = 18 ,\therefore $ 四边形 $ ABFD $ 的周长 $ = 18 + 4 + 4 = 26 $. 故答案为 26.
17. 如图,现有甲、乙两个正方形纸片,将甲、乙并列放置后得到图1,已知甲、乙两个正方形的边长之和为10;将乙纸片放到甲的内部得到图2,图2的阴影部分面积为8,则图1的阴影部分面积为
$\frac{31}{2}$
.答案
17. $\frac{31}{2}$ 【点拨】本题考查完全平方公式的应用,列代数式解决图形面积问题.
【解析】设正方形甲的边长为 $ a $,正方形乙的边长为 $ b $,由题意得,$ a + b = 10 ,(a - b)^2 = 8 ,\because (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab ,\therefore 100 = 8 + 4ab ,\therefore ab = 23 $.
题图 1 中阴影部分的面积为 $ \frac{1}{2}a(a - b) + \frac{1}{2}b^2 $
$ = \frac{1}{2}(a^2 - ab + b^2) $
$ = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + ab] $
$ = \frac{1}{2} × (8 + 23) $
$ = \frac{31}{2} $.
故答案为 $ \frac{31}{2} $.
【解析】设正方形甲的边长为 $ a $,正方形乙的边长为 $ b $,由题意得,$ a + b = 10 ,(a - b)^2 = 8 ,\because (a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab ,\therefore 100 = 8 + 4ab ,\therefore ab = 23 $.
题图 1 中阴影部分的面积为 $ \frac{1}{2}a(a - b) + \frac{1}{2}b^2 $
$ = \frac{1}{2}(a^2 - ab + b^2) $
$ = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + ab] $
$ = \frac{1}{2} × (8 + 23) $
$ = \frac{31}{2} $.
故答案为 $ \frac{31}{2} $.
18. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图）就是一例，这个三角形给出了$(a+b)^n(n=0,1,2,3,4,5,6,\dots)$的展开式的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2
答案
解：
(1) $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
(2) 原式$=(2+1)^5 = 3^5 = 243$
(3) 令$x=1$，得：
$(1-1)^6 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$
即 $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 0$ ①
令$x=-1$，得：
$(-1-1)^6 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6$
即 $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 = 64$ ②
①+②，得：
$2(a_0 + a_2 + a_4 + a_6) = 64$
$\therefore a_0 + a_2 + a_4 + a_6 = 32$
(1) $(a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$
(2) 原式$=(2+1)^5 = 3^5 = 243$
(3) 令$x=1$，得：
$(1-1)^6 = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6$
即 $a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 0$ ①
令$x=-1$，得：
$(-1-1)^6 = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6$
即 $a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + a_6 = 64$ ②
①+②，得：
$2(a_0 + a_2 + a_4 + a_6) = 64$
$\therefore a_0 + a_2 + a_4 + a_6 = 32$
$(a+b)$（$n=0,1,2,3,4,5,6,···$）的展开式的系数规律.例如,在三角形中第三行的三个数1,2,1,恰好对应$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$展开式中各项的系数;第四行的四个数1,3,3,1,恰好对应着$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$展开式中各项的系数,等等.请你按照“杨辉三角”的规律填空:
$(a+b)^4$的展开式为$(a+b)^4 = \_\_\_\_\_\_$;$(a+b)^n$的展开式中的各项系数之和为________.
$(a+b)^4$的展开式为$(a+b)^4 = \_\_\_\_\_\_$;$(a+b)^n$的展开式中的各项系数之和为________.
答案
18. $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$；$2^n$ 【点拨】本题考查数字类的规律题,熟练掌握规律是解题的关键.
【解析】由题意可得$ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $.
$ (a + b)^0 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 = 2^0 $,$ (a + b)^1 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 1 = 2 = 2^1 $,$ (a + b)^2 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2 $,$ (a + b)^3 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3 $,$ (a + b)^4 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4 $,$ \dots \dots $,$ (a + b)^n $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 2^n $. 故答案为 $ a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $;$ 2^n $.
【解析】由题意可得$ (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $.
$ (a + b)^0 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 = 2^0 $,$ (a + b)^1 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 1 = 2 = 2^1 $,$ (a + b)^2 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2 $,$ (a + b)^3 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3 $,$ (a + b)^4 $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4 $,$ \dots \dots $,$ (a + b)^n $ 的展开式中的各项系数之和为 $ 2^n $. 故答案为 $ a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $;$ 2^n $.
三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出过程)
19. (8分)计算:
(1)$2^{-1} + (-1)^{2025} + (π - 3.14)^0$;
(2)$(-2x^3)^3 + x^4 · x^5$.
19. (8分)计算:
(1)$2^{-1} + (-1)^{2025} + (π - 3.14)^0$;
(2)$(-2x^3)^3 + x^4 · x^5$.
答案
19. 【点拨】本题考查负整数指数幂,零指数幂,积的乘方,同底数幂的乘法.
【解析】(1) $ 2^{-1} + (-1)^{2025} + (π - 3.14)^0 $
$ = \frac{1}{2} - 1 + 1 $
$ = \frac{1}{2} $.
(2) $ (-2x^3)^3 + x^4 · x^5 $
$ = -8x^9 + x^9 $
$ = -7x^9 $.
【解析】(1) $ 2^{-1} + (-1)^{2025} + (π - 3.14)^0 $
$ = \frac{1}{2} - 1 + 1 $
$ = \frac{1}{2} $.
(2) $ (-2x^3)^3 + x^4 · x^5 $
$ = -8x^9 + x^9 $
$ = -7x^9 $.
