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18.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases}2x + y = 7,\\2x - 3y = 3。\end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$。
(1)$\begin{cases}2x + y = 7,\\2x - 3y = 3。\end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$。
答案
18.(1)$\begin{cases} x = 3, \\ y = 1。 \end{cases}$ (2)$x = -\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1)对于二元一次方程组，观察到两个方程中x的系数相同，采用加减消元法，通过两式相减消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x的值；
(2)对于分式方程，先将分母统一，找到最简公分母转化为整式方程求解，最后必须验根，排除增根。
【解析】
(1)解方程组：
$\begin{cases}2x + y = 7&①\\2x - 3y = 3&②\end{cases}$
① - ②得：$(2x + y) - (2x - 3y) = 7 - 3$
化简得：$4y = 4$，解得$y = 1$
把$y = 1$代入①得：$2x + 1 = 7$，解得$x = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$
(2)解分式方程：$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$
整理右边：$\dfrac{x}{1 - x} = -\dfrac{x}{x - 1}$，原方程可化为：
$\dfrac{2}{x - 1} = -\dfrac{x}{x - 1} - 1$
两边同乘最简公分母$(x - 1)$（$x≠1$）得：
$2 = -x - (x - 1)$
去括号得：$2 = -x - x + 1$
移项合并同类项得：$2x = -1$，解得$x = -\dfrac{1}{2}$
检验：把$x = -\dfrac{1}{2}$代入原方程，左边$=\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2} -1}=-\dfrac{4}{3}$，右边$=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{1 - (-\dfrac{1}{2})} -1 = -\dfrac{1}{3} -1 = -\dfrac{4}{3}$，左边=右边，所以$x = -\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$；(2)$x = -\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题分别考查二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，属于基础题型，需注意分式方程求解后必须验根，避免出现增根，整体难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
(1)对于二元一次方程组，观察到两个方程中x的系数相同，采用加减消元法，通过两式相减消去x，先求出y的值，再代入原方程求出x的值；
(2)对于分式方程，先将分母统一，找到最简公分母转化为整式方程求解，最后必须验根，排除增根。
【解析】
(1)解方程组：
$\begin{cases}2x + y = 7&①\\2x - 3y = 3&②\end{cases}$
① - ②得：$(2x + y) - (2x - 3y) = 7 - 3$
化简得：$4y = 4$，解得$y = 1$
把$y = 1$代入①得：$2x + 1 = 7$，解得$x = 3$
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$
(2)解分式方程：$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$
整理右边：$\dfrac{x}{1 - x} = -\dfrac{x}{x - 1}$，原方程可化为：
$\dfrac{2}{x - 1} = -\dfrac{x}{x - 1} - 1$
两边同乘最简公分母$(x - 1)$（$x≠1$）得：
$2 = -x - (x - 1)$
去括号得：$2 = -x - x + 1$
移项合并同类项得：$2x = -1$，解得$x = -\dfrac{1}{2}$
检验：把$x = -\dfrac{1}{2}$代入原方程，左边$=\dfrac{2}{-\dfrac{1}{2} -1}=-\dfrac{4}{3}$，右边$=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{1 - (-\dfrac{1}{2})} -1 = -\dfrac{1}{3} -1 = -\dfrac{4}{3}$，左边=右边，所以$x = -\dfrac{1}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$；(2)$x = -\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组的解法、分式方程的解法
【点评】
本题分别考查二元一次方程组的加减消元法和分式方程的解法，属于基础题型，需注意分式方程求解后必须验根，避免出现增根，整体难度较低，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
19.(8分)某小区有一块长为$(x+2y)\mathrm{m}$、宽为$(2x+y)\mathrm{m}$的长方形空地,现要美化这块空地,在上面修建如图所示的“T”形花圃(阴影部分),在花圃内种花草。
(1)求“T”形花圃的面积(用含$x,y$的代数式表示)。
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”形花圃的面积。
(1)求“T”形花圃的面积(用含$x,y$的代数式表示)。
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”形花圃的面积。
答案
19.(1)“T”形花圃的面积为$(2x+y)(x+2y)-2y^2=2x^2+4xy+xy+2y^2-2y^2=2x^2+5xy(\mathrm{m}^2)$。
(2)当x=3,y=8时，$2x^2+5xy=2×3^2+5×3×8=18+120=138$。所以“T”形花圃的面积为$138\mathrm{m}^2$。
(2)当x=3,y=8时，$2x^2+5xy=2×3^2+5×3×8=18+120=138$。所以“T”形花圃的面积为$138\mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要计算“T”形花圃的面积，采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分（花圃）的面积。计算时需利用多项式乘多项式法则展开大长方形面积，合并同类项化简后，再代入数值计算具体结果。
【解析】
(1) 计算长方形空地的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $(x+2y)(2x+y)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$(x+2y)(2x+y)=2x^2+xy+4xy+2y^2=2x^2+5xy+2y^2$
两个空白正方形的总面积：每个正方形边长为$y$，单个面积为$y^2$，两个总面积为$2y^2$
因此，“T”形花圃的面积 = 长方形空地面积 - 两个空白正方形面积 = $(2x^2+5xy+2y^2)-2y^2=2x^2+5xy\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 当$x=3,y=8$时，代入(1)的结果：
$2x^2+5xy=2×3^2+5×3×8=18+120=138\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $(2x^2+5xy)\ \mathrm{m}^2$；(2) $138\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
整式的乘法、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的实际应用，核心是通过“整体减空白”简化面积计算，需熟练掌握多项式乘多项式的展开与同类项合并，代入数值时注意运算顺序。
【难度系数】
0.6
要计算“T”形花圃的面积，采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分（花圃）的面积。计算时需利用多项式乘多项式法则展开大长方形面积，合并同类项化简后，再代入数值计算具体结果。
【解析】
(1) 计算长方形空地的面积：
长方形面积 = 长×宽 = $(x+2y)(2x+y)$
根据多项式乘多项式法则展开：
$(x+2y)(2x+y)=2x^2+xy+4xy+2y^2=2x^2+5xy+2y^2$
两个空白正方形的总面积：每个正方形边长为$y$，单个面积为$y^2$，两个总面积为$2y^2$
因此，“T”形花圃的面积 = 长方形空地面积 - 两个空白正方形面积 = $(2x^2+5xy+2y^2)-2y^2=2x^2+5xy\ (\mathrm{m}^2)$
(2) 当$x=3,y=8$时，代入(1)的结果：
$2x^2+5xy=2×3^2+5×3×8=18+120=138\ (\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) $(2x^2+5xy)\ \mathrm{m}^2$；(2) $138\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
整式的乘法、整式的加减、代数式求值
【点评】
本题是整式运算的实际应用，核心是通过“整体减空白”简化面积计算，需熟练掌握多项式乘多项式的展开与同类项合并，代入数值时注意运算顺序。
【难度系数】
0.6
20.(8分)先化简:$(\dfrac{3}{a+2} + a - 2) ÷ \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a+2}$,再从$-2,1,3$这三个数中选取一个合适的作为$a$的值代入求值。
答案
20.原式$=(\dfrac{3}{a+2}+\dfrac{a^2-4}{a+2})·\dfrac{a+2}{(a-1)^2}=\dfrac{a^2-1}{a+2}·\dfrac{a+2}{(a-1)^2}=\dfrac{a+1}{a-1}$，因为要保证分式有意义，a≠−2,1，所以a=3。当a=3时，原式$=\dfrac{3+1}{3-1}=2$。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先对括号内的部分通分，将整式转化为同分母分式以便合并；第二步，将除法运算转化为乘法运算（除以分式等于乘以其倒数）；第三步，对分子、分母进行因式分解，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）确定合适的$a$值，最后代入最简分式计算结果。
【解析】
解：原式$=(\frac{3}{a+2} + a -2) ÷ \frac{a^2 -2a +1}{a+2}$
对括号内通分：
$=(\frac{3}{a+2} + \frac{(a-2)(a+2)}{a+2}) · \frac{a+2}{(a-1)^2}$
合并括号内的分式：
$=\frac{3 + a^2 -4}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}$
化简分子：
$=\frac{a^2 -1}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}$
利用平方差公式分解$a^2-1=(a-1)(a+1)$，约分：
$=\frac{(a-1)(a+1)}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2} = \frac{a+1}{a-1}$
根据分式有意义的条件：$a+2≠0$且$a-1≠0$，即$a≠-2$且$a≠1$，选取$a=3$代入：
当$a=3$时，原式$=\frac{3+1}{3-1}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式化简求值；分式有意义条件；因式分解
【点评】
本题考查分式混合运算，核心是通分、因式分解和约分的运用，需注意分式有意义的取值限制，避免代入使分母为0的数值，属于基础运算题，侧重考查学生的运算能力。
【难度系数】
0.6
本题是分式的化简求值题，解题思路如下：第一步，先对括号内的部分通分，将整式转化为同分母分式以便合并；第二步，将除法运算转化为乘法运算（除以分式等于乘以其倒数）；第三步，对分子、分母进行因式分解，通过约分得到最简分式；第四步，根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）确定合适的$a$值，最后代入最简分式计算结果。
【解析】
解：原式$=(\frac{3}{a+2} + a -2) ÷ \frac{a^2 -2a +1}{a+2}$
对括号内通分：
$=(\frac{3}{a+2} + \frac{(a-2)(a+2)}{a+2}) · \frac{a+2}{(a-1)^2}$
合并括号内的分式：
$=\frac{3 + a^2 -4}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}$
化简分子：
$=\frac{a^2 -1}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2}$
利用平方差公式分解$a^2-1=(a-1)(a+1)$，约分：
$=\frac{(a-1)(a+1)}{a+2} · \frac{a+2}{(a-1)^2} = \frac{a+1}{a-1}$
根据分式有意义的条件：$a+2≠0$且$a-1≠0$，即$a≠-2$且$a≠1$，选取$a=3$代入：
当$a=3$时，原式$=\frac{3+1}{3-1}=2$
【答案】
2
【知识点】
分式化简求值；分式有意义条件；因式分解
【点评】
本题考查分式混合运算，核心是通分、因式分解和约分的运用，需注意分式有意义的取值限制，避免代入使分母为0的数值，属于基础运算题，侧重考查学生的运算能力。
【难度系数】
0.6
