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9. 如图,在一次数学实践活动课上,某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠。折痕分别为AB,CD。若$CD// BE$,且$∠ ABC=3∠ EBC$,则$∠ 1$的度数为 （
A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
A
）A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
9.A 【解析】由折叠可知，2∠ABE+∠CBE=180°，因为∠ABC=3∠EBC，∠ABC=∠ABE+∠CBE，所以∠ABE=2∠CBE。所以4∠CBE+∠CBE=180°。所以∠CBE=36°。因为BE//CD，所以∠BCD=180°−∠CBE=144°。由折叠可知，2∠DCF+∠1=180°，因为∠BCD=∠1+∠DCF，所以2(144°−∠1)+∠1=180°。所以∠1=108°。故选A。
解析
【分析】
本题是纸带折叠的角度计算问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质，结合平角定义得到∠ABE与∠EBC的关系；再根据已知∠ABC=3∠EBC，将∠ABC拆分为∠ABE+∠EBC，求出∠EBC的度数；接着利用CD//BE，根据平行线同旁内角互补求出∠BCD的度数；最后结合折痕CD的折叠性质，以及∠BCD与∠1、∠DCF的和差关系，建立方程求解∠1的度数。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，折痕AB使对应角相等，因此 $2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$（平角的定义）。
2. 已知 $∠ ABC = 3∠ EBC$，且 $∠ ABC = ∠ ABE + ∠ EBC$，代入得：$∠ ABE + ∠ EBC = 3∠ EBC$，即 $∠ ABE = 2∠ EBC$。
3. 将 $∠ ABE = 2∠ EBC$ 代入 $2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$，得：$2×2∠ EBC + ∠ EBC = 5∠ EBC = 180°$，解得 $∠ EBC = 36°$。
4. 因为 $CD // BE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得 $∠ BCD + ∠ EBC = 180°$，所以 $∠ BCD = 180° - 36° = 144°$。
5. 由折叠的性质可知，折痕CD使对应角相等，因此 $2∠ DCF + ∠ 1 = 180°$（平角的定义）。又因为 $∠ BCD = ∠ 1 + ∠ DCF$，所以 $∠ DCF = ∠ BCD - ∠ 1 = 144° - ∠ 1$。
6. 将 $∠ DCF = 144° - ∠ 1$ 代入 $2∠ DCF + ∠ 1 = 180°$，得：$2(144° - ∠ 1) + ∠ 1 = 180°$，展开计算：$288° - ∠ 1 = 180°$，解得 $∠ 1 = 108°$。
【答案】
108°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角度计算
【点评】
本题结合纸带折叠考查角度计算，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平行线同旁内角互补建立等量关系，需要理清各角的和差关系逐步推导，是中等难度的几何角度问题。
【难度系数】
0.5
本题是纸带折叠的角度计算问题，解题思路如下：首先利用折叠的性质，结合平角定义得到∠ABE与∠EBC的关系；再根据已知∠ABC=3∠EBC，将∠ABC拆分为∠ABE+∠EBC，求出∠EBC的度数；接着利用CD//BE，根据平行线同旁内角互补求出∠BCD的度数；最后结合折痕CD的折叠性质，以及∠BCD与∠1、∠DCF的和差关系，建立方程求解∠1的度数。
【解析】
1. 由折叠的性质可知，折痕AB使对应角相等，因此 $2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$（平角的定义）。
2. 已知 $∠ ABC = 3∠ EBC$，且 $∠ ABC = ∠ ABE + ∠ EBC$，代入得：$∠ ABE + ∠ EBC = 3∠ EBC$，即 $∠ ABE = 2∠ EBC$。
3. 将 $∠ ABE = 2∠ EBC$ 代入 $2∠ ABE + ∠ EBC = 180°$，得：$2×2∠ EBC + ∠ EBC = 5∠ EBC = 180°$，解得 $∠ EBC = 36°$。
4. 因为 $CD // BE$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，得 $∠ BCD + ∠ EBC = 180°$，所以 $∠ BCD = 180° - 36° = 144°$。
5. 由折叠的性质可知，折痕CD使对应角相等，因此 $2∠ DCF + ∠ 1 = 180°$（平角的定义）。又因为 $∠ BCD = ∠ 1 + ∠ DCF$，所以 $∠ DCF = ∠ BCD - ∠ 1 = 144° - ∠ 1$。
6. 将 $∠ DCF = 144° - ∠ 1$ 代入 $2∠ DCF + ∠ 1 = 180°$，得：$2(144° - ∠ 1) + ∠ 1 = 180°$，展开计算：$288° - ∠ 1 = 180°$，解得 $∠ 1 = 108°$。
【答案】
108°
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、角度计算
【点评】
本题结合纸带折叠考查角度计算，核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合平行线同旁内角互补建立等量关系，需要理清各角的和差关系逐步推导，是中等难度的几何角度问题。
【难度系数】
0.5
10.如图,在正方形ABCD中,E为CD延长线上一点,以CE为边向右作正方形CEFG,连结AE,AG,EG。若要求出$△ AEG$的面积,只需知道 (
A.AB的长
B.AG的长
C.AE的长
D.CG的长
D
)A.AB的长
B.AG的长
C.AE的长
D.CG的长
答案
10.D 【解析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，所以AB=BC=CD=a，CG=CE=b。所以BG=BC+CG=a+b。所以$S_{△ ABG}=\frac{1}{2}BG· AB=\frac{1}{2}a(a+b)$，$S_{△ CGE}=\frac{1}{2}CG· CE=\frac{1}{2}b^2$。又因为$S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}(AB+CE)· BC=\frac{1}{2}a(a+b)$，所以$S_{△ AEG}=S_{梯形ABCE}+S_{△ CGE}-S_{△ ABG}=\frac{1}{2}a(a+b)+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{1}{2}b^2$。所以若要求出△AEG的面积，只需知道CG的长。故选D。
解析
【分析】要计算△AEG的面积，可采用割补法，将其转化为规则图形的面积和差。设两个正方形的边长，通过计算相关图形的面积，化简后发现△AEG的面积仅与正方形CEFG的边长有关，而CG是正方形CEFG的边长，由此可确定所需知道的线段。
【解析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则AB=BC=CD=a，CG=CE=b，BG=BC+CG=a+b。
分别计算各图形面积：
1. $S_{△ABG}=\frac{1}{2}×BG×AB=\frac{1}{2}a(a+b)$
2. $S_{△CGE}=\frac{1}{2}×CG×CE=\frac{1}{2}b^2$
3. $S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}×(AB+CE)×BC=\frac{1}{2}a(a+b)$
根据面积关系：$S_{△AEG}=S_{梯形ABCE}+S_{△CGE}-S_{△ABG}$，代入计算得：
$S_{△AEG}=\frac{1}{2}a(a+b)+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{1}{2}b^2$
因为$b=CG$，所以只需知道CG的长即可求出△AEG的面积，故选D。
【答案】D
【知识点】正方形的性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】本题通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，核心是找到面积间的等量关系，考查学生对几何面积计算方法的灵活运用。
【难度系数】0.5
【解析】设正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，则AB=BC=CD=a，CG=CE=b，BG=BC+CG=a+b。
分别计算各图形面积：
1. $S_{△ABG}=\frac{1}{2}×BG×AB=\frac{1}{2}a(a+b)$
2. $S_{△CGE}=\frac{1}{2}×CG×CE=\frac{1}{2}b^2$
3. $S_{梯形ABCE}=\frac{1}{2}×(AB+CE)×BC=\frac{1}{2}a(a+b)$
根据面积关系：$S_{△AEG}=S_{梯形ABCE}+S_{△CGE}-S_{△ABG}$，代入计算得：
$S_{△AEG}=\frac{1}{2}a(a+b)+\frac{1}{2}b^2-\frac{1}{2}a(a+b)=\frac{1}{2}b^2$
因为$b=CG$，所以只需知道CG的长即可求出△AEG的面积，故选D。
【答案】D
【知识点】正方形的性质、三角形面积计算、割补法求面积
【点评】本题通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，简化了计算过程，核心是找到面积间的等量关系，考查学生对几何面积计算方法的灵活运用。
【难度系数】0.5
11.若分式$\dfrac{3}{x-1}$有意义,则$x$的取值范围是________。
答案
11.x≠1
解析
【分析】要确定分式有意义时x的取值范围，需牢记分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。本题中分式$\dfrac{3}{x-1}$的分母是$x-1$，因此只需让分母$x-1$不等于0，解这个不等式即可得到x的取值范围。
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{3}{x-1}$，令分母$x-1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
【答案】x≠1
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础知识点，属于分式章节的入门题型，只要掌握“分式分母不为0”的规则就能快速解答，是学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】0.9
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{3}{x-1}$，令分母$x-1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
【答案】x≠1
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础知识点，属于分式章节的入门题型，只要掌握“分式分母不为0”的规则就能快速解答，是学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】0.9
12.分解因式:$3a - a^2=$
a(3−a)
。答案
12.a(3−a)
解析
【分析】首先观察多项式$3a - a^2$，各项都含有公因式$a$，分解因式的基础方法是提公因式法，先确定公因式为$a$，将公因式提取后整理剩余部分即可得到结果。
【解析】解：对$3a - a^2$提取公因式$a$，可得：
$3a - a^2 = a · 3 - a · a = a(3 - a)$
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题考查因式分解的基础方法——提公因式法，属于因式分解的入门题型，侧重考查学生对基础分解方法的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】解：对$3a - a^2$提取公因式$a$，可得：
$3a - a^2 = a · 3 - a · a = a(3 - a)$
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题考查因式分解的基础方法——提公因式法，属于因式分解的入门题型，侧重考查学生对基础分解方法的掌握，难度较低。
【难度系数】0.9
13. 已知$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，则$\frac{a}{a+b}=$
$\frac{4}{9}$
。答案
13.$\frac{4}{9}$
解析
【分析】
本题是已知两数的比例关系，求相关分式的值。解题思路为：利用设参数法，根据已知的$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，用同一个参数$k$表示$a$和$b$，再将其代入所求分式化简计算，该方法步骤清晰，能避免复杂的比例变形，适合快速求解。
【解析】
解：已知$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$），则$b=5k$。
将$a=4k$、$b=5k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{4k}{4k+5k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$（$k≠0$，可约去参数$k$）
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
比例的性质、代数式求值
【点评】
本题属于比例相关的基础计算题，采用设参数的方法简化计算，思路直观，是解决这类比例求值问题的常用方法，能帮助学生巩固比例的基本应用。
【难度系数】
0.8
本题是已知两数的比例关系，求相关分式的值。解题思路为：利用设参数法，根据已知的$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，用同一个参数$k$表示$a$和$b$，再将其代入所求分式化简计算，该方法步骤清晰，能避免复杂的比例变形，适合快速求解。
【解析】
解：已知$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$），则$b=5k$。
将$a=4k$、$b=5k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{4k}{4k+5k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$（$k≠0$，可约去参数$k$）
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
比例的性质、代数式求值
【点评】
本题属于比例相关的基础计算题，采用设参数的方法简化计算，思路直观，是解决这类比例求值问题的常用方法，能帮助学生巩固比例的基本应用。
【难度系数】
0.8
14. 如图1,为响应国家新能源建设,浙江某市公交站亭装上了太阳能电池板。当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为$62°$,如图2,电池板$AB$与最大夹角时刻的太阳光线相垂直,此时电池板$CD$与水平线夹角为$48°$,要使$AB// CD$,需将电池板$CD$逆时针旋转$α°$,则$α$为________。$(0＜α＜90)$
答案
14.20
解析
【分析】
要解决这个问题，需先求出电池板AB与水平线的夹角，再结合CD与水平线的原有夹角，利用平行线的性质计算CD的旋转角度α。具体思路：1. 根据AB与最大夹角的太阳光线垂直，结合太阳光线与水平线的夹角，算出AB与水平线的夹角；2. 要使AB//CD，CD旋转后与水平线的夹角需等于AB与水平线的夹角，再结合CD原有的夹角，即可求出旋转角度α。
【解析】
已知太阳光与水平线最大夹角为62°，且AB与该太阳光线垂直，因此AB与水平线的夹角为：$90° - 62° = 28°$。
要使$AB // CD$，则CD旋转后与水平线的夹角需等于AB与水平线的夹角（$28°$）。
又因为CD原来与水平线的夹角为$48°$，所以需要逆时针旋转的角度$α$为：$48° - 28° = 20°$。
【答案】
20
【知识点】
平行线性质，角度计算，垂直性质
【点评】
本题结合太阳能电池板的实际场景，考查垂直、平行线的角度关系，解题关键是先确定AB与水平线的夹角，再结合CD的原有夹角计算旋转角度，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先求出电池板AB与水平线的夹角，再结合CD与水平线的原有夹角，利用平行线的性质计算CD的旋转角度α。具体思路：1. 根据AB与最大夹角的太阳光线垂直，结合太阳光线与水平线的夹角，算出AB与水平线的夹角；2. 要使AB//CD，CD旋转后与水平线的夹角需等于AB与水平线的夹角，再结合CD原有的夹角，即可求出旋转角度α。
【解析】
已知太阳光与水平线最大夹角为62°，且AB与该太阳光线垂直，因此AB与水平线的夹角为：$90° - 62° = 28°$。
要使$AB // CD$，则CD旋转后与水平线的夹角需等于AB与水平线的夹角（$28°$）。
又因为CD原来与水平线的夹角为$48°$，所以需要逆时针旋转的角度$α$为：$48° - 28° = 20°$。
【答案】
20
【知识点】
平行线性质，角度计算，垂直性质
【点评】
本题结合太阳能电池板的实际场景，考查垂直、平行线的角度关系，解题关键是先确定AB与水平线的夹角，再结合CD的原有夹角计算旋转角度，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
15.若$8^x· 2^y=16$,则$3x+y=$
4
。答案
15.4 【解析】因为$8^x· 2^y=16$，所以$(2^3)^x· 2^y=2^{3x}· 2^y=2^{3x+y}=2^4$。所以$3x+y=4$。
解析
【分析】要解决这个问题，需将等式中不同底数的幂转化为同底数幂，利用幂的运算法则建立关于$3x+y$的等式，进而求出结果。具体思路：先把$8$、$16$转化为以$2$为底的幂，再结合幂的乘方、同底数幂的乘法法则化简等式，最后根据指数相等得到$3x+y$的值。
【解析】解：因为$8^x· 2^y=16$，
将$8=2^3$，$16=2^4$代入原式，得$(2^3)^x· 2^y=2^4$，
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，化简$(2^3)^x$得$2^{3x}$，
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，得$2^{3x}·2^y=2^{3x+y}$，
因此等式变为$2^{3x+y}=2^4$，
由于底数相同且幂相等，故指数相等，即$3x+y=4$。
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】本题考查幂的运算性质的基础应用，核心是将异底数幂转化为同底数幂，需熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘法的运算法则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】解：因为$8^x· 2^y=16$，
将$8=2^3$，$16=2^4$代入原式，得$(2^3)^x· 2^y=2^4$，
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，化简$(2^3)^x$得$2^{3x}$，
再根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，得$2^{3x}·2^y=2^{3x+y}$，
因此等式变为$2^{3x+y}=2^4$，
由于底数相同且幂相等，故指数相等，即$3x+y=4$。
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】本题考查幂的运算性质的基础应用，核心是将异底数幂转化为同底数幂，需熟练掌握幂的乘方、同底数幂乘法的运算法则，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
16.“九宫图”又称“龟背图”。数学上的“九宫图”所体现的是一个$3×3$表格,每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等,也称为三阶幻方。如图所示为一个满足条件的三阶幻方的一部分,则$x$的值为________。
答案
16.2 【解析】如图，设第二行第二个方格中的数字为a，则第一行第二个方格中的数为2a+4，第二行第一个方格中的数为2a−8，第三行第三个方格中的数为2a−x。根据题意得x+2a−8=−4+2a−x，解得x=2。所以x的值为2。
解析
【分析】
要解决这个三阶幻方问题，需利用“每行、每列、斜对角三个数之和相等”的核心性质。首先设中间方格的数为$a$，根据幻方的和相等的特点，找到包含$x$的等量关系，通过列一元一次方程求解$x$的值。
【解析】
设第二行中间方格的数字为$a$，根据三阶幻方的性质，每行、每列、斜对角的三个数之和相等。
根据幻方的和相等列方程：
$x + (2a - 8) = -4 + (2a - x)$
解方程：
移项得：$x + x = -4 + 8$，
合并同类项得：$2x = 4$，
解得：$x = 2$。
【答案】
16.2
【知识点】
三阶幻方、一元一次方程
【点评】
本题考查三阶幻方的性质，解题关键是利用“幻方中所有行/列/斜对角的和相等”的特点，通过设中间数建立方程求解，属于基础应用类题目，需要掌握幻方的基本性质。
【难度系数】
0.5
要解决这个三阶幻方问题，需利用“每行、每列、斜对角三个数之和相等”的核心性质。首先设中间方格的数为$a$，根据幻方的和相等的特点，找到包含$x$的等量关系，通过列一元一次方程求解$x$的值。
【解析】
设第二行中间方格的数字为$a$，根据三阶幻方的性质，每行、每列、斜对角的三个数之和相等。
根据幻方的和相等列方程：
$x + (2a - 8) = -4 + (2a - x)$
解方程：
移项得：$x + x = -4 + 8$，
合并同类项得：$2x = 4$，
解得：$x = 2$。
【答案】
16.2
【知识点】
三阶幻方、一元一次方程
【点评】
本题考查三阶幻方的性质，解题关键是利用“幻方中所有行/列/斜对角的和相等”的特点，通过设中间数建立方程求解，属于基础应用类题目，需要掌握幻方的基本性质。
【难度系数】
0.5
17.(8分)计算：$(\dfrac{1}{2})^{-2}+(-1)^{3}-(π - 3.14)^{0}$。
答案
17.原式=2。
解析
【分析】
本题需分别计算负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂三项，再进行加减运算。先回忆对应运算法则：负整数指数幂公式为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；负数的奇次幂为负数；非零数的零次幂为1，据此分别计算每一项后合并结果。
【解析】
解：根据幂的运算法则逐项计算：
1. 负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$；
2. 有理数的乘方：$(-1)^3=-1$；
3. 零指数幂：因为$π-3.14≠0$，所以$(π-3.14)^0=1$；
代入原式计算：
原式$=4 + (-1) -1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】
本题为基础运算题，考察幂运算的基本法则，只要牢记相关公式即可正确计算，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.8
本题需分别计算负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂三项，再进行加减运算。先回忆对应运算法则：负整数指数幂公式为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$；负数的奇次幂为负数；非零数的零次幂为1，据此分别计算每一项后合并结果。
【解析】
解：根据幂的运算法则逐项计算：
1. 负整数指数幂：$(\frac{1}{2})^{-2}=2^2=4$；
2. 有理数的乘方：$(-1)^3=-1$；
3. 零指数幂：因为$π-3.14≠0$，所以$(π-3.14)^0=1$；
代入原式计算：
原式$=4 + (-1) -1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】
本题为基础运算题，考察幂运算的基本法则，只要牢记相关公式即可正确计算，属于易得分的基础题型。
【难度系数】
0.8
