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15. 如图所示，已知△ABC.
(1)过BC上的任意一点P，画AB的平行线，交AC于点T；
(2)过点C画MN//AB；
(3)直线PT，MN是何种位置关系？试说明.
(1)过BC上的任意一点P，画AB的平行线，交AC于点T；
(2)过点C画MN//AB；
(3)直线PT，MN是何种位置关系？试说明.
答案
15. 解:(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3) $PT// MN. \because PT// AB,$
$MN// AB, \therefore$ 根据“平行于同一条直线的两直线平行”,知$PT// MN.$
解析
【分析】
本题前两问为平行线作图题，可采用平移法完成作图：将三角板一边对齐已知直线AB，配合直尺平移三角板，当对齐AB的边分别经过指定点P、C时，沿该边画线即可得到所求平行线；第三问判断两条直线的位置关系，结合前两问得到的两条直线均与AB平行的条件，调用平行公理的推论即可得出结论。
【解析】
(1) 作平行线PT：把三角板的一条直角边与AB重合，用直尺紧贴三角板的另一条直角边，沿直尺平移三角板，使原来和AB重合的直角边经过点P，沿该边画直线，与AC交于点T，直线PT即为所求；
(2) 作平行线MN：采用与(1)相同的平移作图方法，使与AB重合的三角板边经过点C，沿该边画直线MN，直线MN即为所求；
(3) 直线PT与MN的位置关系为平行，理由如下：
由作图可知$PT// AB$，$MN// AB$，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$PT// MN$。
【答案】
(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3) $PT// MN. \because PT// AB,$
$MN// AB, \therefore$ 根据“平行于同一条直线的两直线平行”,知$PT// MN.$
【知识点】
平行线的画法，平行公理推论
【点评】
本题考查基础的平行线作图与平行公理推论的应用，作图需掌握平移法画平行线的操作规范，第三问属于基础的平行线性质应用，熟记相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题前两问为平行线作图题，可采用平移法完成作图：将三角板一边对齐已知直线AB，配合直尺平移三角板，当对齐AB的边分别经过指定点P、C时，沿该边画线即可得到所求平行线；第三问判断两条直线的位置关系，结合前两问得到的两条直线均与AB平行的条件，调用平行公理的推论即可得出结论。
【解析】
(1) 作平行线PT：把三角板的一条直角边与AB重合，用直尺紧贴三角板的另一条直角边，沿直尺平移三角板，使原来和AB重合的直角边经过点P，沿该边画直线，与AC交于点T，直线PT即为所求；
(2) 作平行线MN：采用与(1)相同的平移作图方法，使与AB重合的三角板边经过点C，沿该边画直线MN，直线MN即为所求；
(3) 直线PT与MN的位置关系为平行，理由如下：
由作图可知$PT// AB$，$MN// AB$，根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，可得$PT// MN$。
【答案】
(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3) $PT// MN. \because PT// AB,$
$MN// AB, \therefore$ 根据“平行于同一条直线的两直线平行”,知$PT// MN.$
【知识点】
平行线的画法，平行公理推论
【点评】
本题考查基础的平行线作图与平行公理推论的应用，作图需掌握平移法画平行线的操作规范，第三问属于基础的平行线性质应用，熟记相关结论即可快速解题。
【难度系数】
0.85
16. 如图所示,在$△ ACB$中,$CD$平分$∠ ACB$,$AC// DE$,$CD// EF$,试说明$EF$平分$∠ DEB$的理由.
答案
证明：
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD = ∠DCE（角平分线的定义）。
∵ AC//DE，
∴ ∠ACD = ∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DCE = ∠CDE（等量代换）。
∵ CD//EF，
∴ ∠DCE = ∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∠CDE = ∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠FEB = ∠DEF（等量代换），
∴ EF平分∠DEB（角平分线的定义）。
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD = ∠DCE（角平分线的定义）。
∵ AC//DE，
∴ ∠ACD = ∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DCE = ∠CDE（等量代换）。
∵ CD//EF，
∴ ∠DCE = ∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∠CDE = ∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠FEB = ∠DEF（等量代换），
∴ EF平分∠DEB（角平分线的定义）。
解析
【分析】
要说明EF平分∠DEB，本质是要证明∠DEF=∠FEB。解题时可从已知条件出发，逐步推导角的等量关系：首先利用角平分线的定义得到∠ACD=∠DCE，再结合AC//DE的平行线性质，推导出∠DCE=∠CDE；之后结合CD//EF的平行线性质，将∠DCE、∠CDE分别和∠FEB、∠DEF建立相等关系，最后通过等量代换得到∠DEF=∠FEB，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD = ∠DCE（角平分线的定义）。
∵ AC//DE，
∴ ∠ACD = ∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DCE = ∠CDE（等量代换）。
∵ CD//EF，
∴ ∠DCE = ∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∠CDE = ∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠FEB = ∠DEF（等量代换），
∴ EF平分∠DEB（角平分线的定义）。
【答案】
EF平分∠DEB，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题是几何推理的基础典型题，核心考查平行线性质和角平分线定义的综合运用，解题关键是通过平行线的性质实现角的等量关系传递，能够帮助学生熟悉几何证明的逻辑推导思路，锻炼推理的严谨性。
【难度系数】
0.8
要说明EF平分∠DEB，本质是要证明∠DEF=∠FEB。解题时可从已知条件出发，逐步推导角的等量关系：首先利用角平分线的定义得到∠ACD=∠DCE，再结合AC//DE的平行线性质，推导出∠DCE=∠CDE；之后结合CD//EF的平行线性质，将∠DCE、∠CDE分别和∠FEB、∠DEF建立相等关系，最后通过等量代换得到∠DEF=∠FEB，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠ACD = ∠DCE（角平分线的定义）。
∵ AC//DE，
∴ ∠ACD = ∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠DCE = ∠CDE（等量代换）。
∵ CD//EF，
∴ ∠DCE = ∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∠CDE = ∠DEF（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠FEB = ∠DEF（等量代换），
∴ EF平分∠DEB（角平分线的定义）。
【答案】
EF平分∠DEB，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义、平行线的性质、等量代换
【点评】
本题是几何推理的基础典型题，核心考查平行线性质和角平分线定义的综合运用，解题关键是通过平行线的性质实现角的等量关系传递，能够帮助学生熟悉几何证明的逻辑推导思路，锻炼推理的严谨性。
【难度系数】
0.8
17. 如图所示,在$△ ABC$中,E,F分别为AB,AC边上的点,$EF// BC$,将线段EB平移,使E点移到F点.
(1)作出EB平移后得到的线段FG;
(2)$∠ FGC = ∠ B$吗?请说明你判断的理由.
(1)作出EB平移后得到的线段FG;
(2)$∠ FGC = ∠ B$吗?请说明你判断的理由.
答案
17. 解:(1)如右图所示.
(2) $∠FGC = ∠B.$ 理由:线段 EB 平移到 FG,则有$BE// FG$,所以$∠FGC = ∠B.$
解析
【分析】
(1) 解决平移作图问题，首先回忆平移的核心性质：平移后得到的线段与原线段平行且相等。本题中E是平移的对应点之一，平移后E对应F，因此只需过F作FG平行且等于EB，交BC于点G，就能得到所求的平移后线段。
(2) 判断两个角是否相等时，先结合已知的平移条件，利用平移性质得到对应线段平行，再观察两个角的位置关系：∠FGC和∠B是直线BE、FG被BC所截得到的同位角，结合平行线的性质即可得出两角的关系。
【解析】
(1) 作图过程：根据平移的特征，过点F作FG//EB，且FG长度与EB相等，FG与BC相交于点G，线段FG就是EB平移后得到的线段。
(2) ∠FGC = ∠B，理由如下：
因为线段EB平移得到FG，根据平移的性质，平移前后的对应线段互相平行，所以BE//FG。
BE和FG被直线BC所截，∠FGC与∠B是一组同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠FGC = ∠B。
【答案】
(1) 如右图所示
(2) $∠FGC = ∠B.$ 理由:线段 EB 平移到 FG,则有$BE// FG$,所以$∠FGC = ∠B.$
【知识点】
平移的性质，平移作图，平行线的性质
【点评】
本题是几何入门的基础题，主要考察平移性质和平行线性质的简单应用，作图难度低，说理过程逻辑清晰简短，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 解决平移作图问题，首先回忆平移的核心性质：平移后得到的线段与原线段平行且相等。本题中E是平移的对应点之一，平移后E对应F，因此只需过F作FG平行且等于EB，交BC于点G，就能得到所求的平移后线段。
(2) 判断两个角是否相等时，先结合已知的平移条件，利用平移性质得到对应线段平行，再观察两个角的位置关系：∠FGC和∠B是直线BE、FG被BC所截得到的同位角，结合平行线的性质即可得出两角的关系。
【解析】
(1) 作图过程：根据平移的特征，过点F作FG//EB，且FG长度与EB相等，FG与BC相交于点G，线段FG就是EB平移后得到的线段。
(2) ∠FGC = ∠B，理由如下：
因为线段EB平移得到FG，根据平移的性质，平移前后的对应线段互相平行，所以BE//FG。
BE和FG被直线BC所截，∠FGC与∠B是一组同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠FGC = ∠B。
【答案】
(1) 如右图所示
(2) $∠FGC = ∠B.$ 理由:线段 EB 平移到 FG,则有$BE// FG$,所以$∠FGC = ∠B.$
【知识点】
平移的性质，平移作图，平行线的性质
【点评】
本题是几何入门的基础题，主要考察平移性质和平行线性质的简单应用，作图难度低，说理过程逻辑清晰简短，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
