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8.已知 $ a\sqrt{\frac{2}{a}} + 2\sqrt{\frac{a}{2}} + \sqrt{18a} = 20 $，则a等于（
A.8
B.±8
C.16
D.±16
A
）A.8
B.±8
C.16
D.±16
答案
8.A
解析
【分析】
首先根据二次根式有意义的条件：被开方数非负且分母不为0，可确定a＞0，直接排除含负数的选项B、D。接下来只需将等式左边的三个二次根式都化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到关于a的简易方程，求解后对比剩余选项就能得到答案。
【解析】
要使原式中的二次根式有意义，需满足$\frac{2}{a}＞0$，解得$a＞0$，因此排除B、D选项。
对等式左边各项逐一化简：
1. $a\sqrt{\frac{2}{a}} = a · \frac{\sqrt{2a}}{a} = \sqrt{2a}$（$a＞0$可直接约去分母的a）
2. $2\sqrt{\frac{a}{2}} = 2 · \frac{\sqrt{2a}}{2} = \sqrt{2a}$
3. $\sqrt{18a} = \sqrt{9 × 2a} = 3\sqrt{2a}$
将化简后的结果代入原式：
$\sqrt{2a} + \sqrt{2a} + 3\sqrt{2a} = 20$
合并同类二次根式得：$5\sqrt{2a}=20$
两边同时除以5得：$\sqrt{2a}=4$
两边同时平方得：$2a=16$，解得$a=8$，符合$a＞0$的要求。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的化简 3.同类二次根式的合并
【点评】
本题解题的关键是先挖掘隐含的a的取值范围，排除干扰选项，再通过二次根式的化简、合并运算求解，计算时要注意遵守二次根式的化简规则，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先根据二次根式有意义的条件：被开方数非负且分母不为0，可确定a＞0，直接排除含负数的选项B、D。接下来只需将等式左边的三个二次根式都化为最简二次根式，再合并同类二次根式，即可得到关于a的简易方程，求解后对比剩余选项就能得到答案。
【解析】
要使原式中的二次根式有意义，需满足$\frac{2}{a}＞0$，解得$a＞0$，因此排除B、D选项。
对等式左边各项逐一化简：
1. $a\sqrt{\frac{2}{a}} = a · \frac{\sqrt{2a}}{a} = \sqrt{2a}$（$a＞0$可直接约去分母的a）
2. $2\sqrt{\frac{a}{2}} = 2 · \frac{\sqrt{2a}}{2} = \sqrt{2a}$
3. $\sqrt{18a} = \sqrt{9 × 2a} = 3\sqrt{2a}$
将化简后的结果代入原式：
$\sqrt{2a} + \sqrt{2a} + 3\sqrt{2a} = 20$
合并同类二次根式得：$5\sqrt{2a}=20$
两边同时除以5得：$\sqrt{2a}=4$
两边同时平方得：$2a=16$，解得$a=8$，符合$a＞0$的要求。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式的化简 3.同类二次根式的合并
【点评】
本题解题的关键是先挖掘隐含的a的取值范围，排除干扰选项，再通过二次根式的化简、合并运算求解，计算时要注意遵守二次根式的化简规则，避免出错。
【难度系数】
0.7
9.如图,从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形,则剩下阴影部分的面积为（
A.36
B.24
C.$18\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
A
）A.36
B.24
C.$18\sqrt{3}$
D.$12\sqrt{3}$
答案
9.A
解析
【分析】要计算阴影部分面积，可先通过小正方形的面积求出各自的边长，再结合图形得出大正方形的边长等于两个小正方形边长之和，求出大正方形面积后，减去两个小正方形的面积就得到阴影部分的面积。
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为12的小正方形边长为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
面积为27的小正方形边长为$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
由图可知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，即$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，
∴大正方形的面积为$(5\sqrt{3})^2=25×3=75$，
∴阴影部分的面积=大正方形面积-两个小正方形的面积和=$75-(12+27)=36$。
【答案】A
【知识点】二次根式化简，正方形面积计算
【点评】本题结合图形考查二次根式的应用，解题的关键是明确大正方形边长与两个小正方形边长的关系，计算过程中注意二次根式化简的规则即可。
【难度系数】0.7
【解析】
解：
∵正方形的面积等于边长的平方，
∴面积为12的小正方形边长为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，
面积为27的小正方形边长为$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，
由图可知，大正方形的边长为两个小正方形的边长之和，即$2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}$，
∴大正方形的面积为$(5\sqrt{3})^2=25×3=75$，
∴阴影部分的面积=大正方形面积-两个小正方形的面积和=$75-(12+27)=36$。
【答案】A
【知识点】二次根式化简，正方形面积计算
【点评】本题结合图形考查二次根式的应用，解题的关键是明确大正方形边长与两个小正方形边长的关系，计算过程中注意二次根式化简的规则即可。
【难度系数】0.7
10.计算$(4\sqrt{3}+7)^{2029}(4\sqrt{3}-7)^{2030}$的结果是
$7-4\sqrt{3}$
。答案
10.$7-4\sqrt{3}$
解析
【分析】
观察算式中两个底数的特征，发现$4\sqrt{3}+7$与$4\sqrt{3}-7$符合平方差公式的结构，且两个幂的指数仅相差1。解题时先利用同底数幂的乘法的逆运算，将指数为2030的项拆为指数2029加1的形式，再逆用积的乘方的运算性质，把同指数的两个幂合并，先计算底数的乘积，再计算高次幂，最后化简即可得到结果，避免直接计算高次幂的繁琐。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(4\sqrt{3}+7)^{2029}(4\sqrt{3}-7)^{2030}\\=&(4\sqrt{3}+7)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&[(4\sqrt{3}+7)(4\sqrt{3}-7)]^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&[(4\sqrt{3})^2 - 7^2]^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&(48 - 49)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&(-1)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&-1×(4\sqrt{3}-7)\\=&7 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$7-4\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式，积的乘方运算，二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算和幂的运算的综合题，解题核心是通过观察底数的结构特征，灵活运用运算公式和性质简化计算，能有效考查学生对运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
观察算式中两个底数的特征，发现$4\sqrt{3}+7$与$4\sqrt{3}-7$符合平方差公式的结构，且两个幂的指数仅相差1。解题时先利用同底数幂的乘法的逆运算，将指数为2030的项拆为指数2029加1的形式，再逆用积的乘方的运算性质，把同指数的两个幂合并，先计算底数的乘积，再计算高次幂，最后化简即可得到结果，避免直接计算高次幂的繁琐。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(4\sqrt{3}+7)^{2029}(4\sqrt{3}-7)^{2030}\\=&(4\sqrt{3}+7)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&[(4\sqrt{3}+7)(4\sqrt{3}-7)]^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&[(4\sqrt{3})^2 - 7^2]^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&(48 - 49)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&(-1)^{2029}×(4\sqrt{3}-7)\\=&-1×(4\sqrt{3}-7)\\=&7 - 4\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$7-4\sqrt{3}$
【知识点】
平方差公式，积的乘方运算，二次根式的运算
【点评】
本题是二次根式运算和幂的运算的综合题，解题核心是通过观察底数的结构特征，灵活运用运算公式和性质简化计算，能有效考查学生对运算公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
11.对于任意的正数$m$,$n$,定义运算※:$m※n=\begin{cases}\sqrt{m}-\sqrt{n} & (m≥ n), \\ \sqrt{m}+\sqrt{n} & (m＜ n).\end{cases}$计算$(3※2)×(8※12)$的结果为 ______ .
答案
11.2
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解运算※的规则，即先比较运算前后两个数的大小，再选择对应的运算公式；第二步分别计算出括号内3※2和8※12的结果；第三步将两个结果相乘，结合二次根式的运算法则和乘法公式简化计算即可得到最终结果。
【解析】
首先计算3※2：
∵3≥2，根据运算规则，可得$3※2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
再计算8※12：
∵8＜12，根据运算规则，可得$8※12=\sqrt{8}+\sqrt{12}$
对二次根式化简：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$8※12=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
接下来计算乘积：
$(3※2)×(8※12)=(\sqrt{3}-\sqrt{2})×2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
原式$=2×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2]=2×(3-2)=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、平方差公式
【点评】
本题核心考察对新定义规则的理解和二次根式的运算能力，解题的关键是先根据大小关系正确套用运算规则，计算时合理使用平方差公式可大幅简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题是新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解运算※的规则，即先比较运算前后两个数的大小，再选择对应的运算公式；第二步分别计算出括号内3※2和8※12的结果；第三步将两个结果相乘，结合二次根式的运算法则和乘法公式简化计算即可得到最终结果。
【解析】
首先计算3※2：
∵3≥2，根据运算规则，可得$3※2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
再计算8※12：
∵8＜12，根据运算规则，可得$8※12=\sqrt{8}+\sqrt{12}$
对二次根式化简：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因此$8※12=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
接下来计算乘积：
$(3※2)×(8※12)=(\sqrt{3}-\sqrt{2})×2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算：
原式$=2×[(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2]=2×(3-2)=2×1=2$
【答案】
2
【知识点】
新定义运算、二次根式化简、平方差公式
【点评】
本题核心考察对新定义规则的理解和二次根式的运算能力，解题的关键是先根据大小关系正确套用运算规则，计算时合理使用平方差公式可大幅简化运算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
12.计算：
(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2)$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 2)^2$；
(3)$3\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ 6\sqrt{\frac{1}{28}} × (-5\sqrt{2\frac{2}{7}})$；
(4)$(1 - π)^0 - (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + |-\sqrt{24}| + (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1}$。
(1)$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12} + \sqrt{24}$；
(2)$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - 2)^2$；
(3)$3\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ 6\sqrt{\frac{1}{28}} × (-5\sqrt{2\frac{2}{7}})$；
(4)$(1 - π)^0 - (\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + |-\sqrt{24}| + (\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1}$。
答案
12.解:(1)原式=$4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$；
(2)原式=$(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}+3-4\sqrt{3}+4=10-4\sqrt{3}$；
(3)原式=$3÷6×(-5)×\sqrt{\frac{1}{2}÷\frac{1}{28}×\frac{16}{7}}=-10\sqrt{2}$；
(4)原式=$1-(2-2\sqrt{6}+3)+2\sqrt{6}+\sqrt{6}=1-2+2\sqrt{6}-3+3\sqrt{6}=-4+5\sqrt{6}$。
(2)原式=$(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{2})^{2}+3-4\sqrt{3}+4=10-4\sqrt{3}$；
(3)原式=$3÷6×(-5)×\sqrt{\frac{1}{2}÷\frac{1}{28}×\frac{16}{7}}=-10\sqrt{2}$；
(4)原式=$1-(2-2\sqrt{6}+3)+2\sqrt{6}+\sqrt{6}=1-2+2\sqrt{6}-3+3\sqrt{6}=-4+5\sqrt{6}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题时需遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，结合相关运算性质简化计算：
(1)先分别计算二次根式的乘除运算，再将结果化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
(2)前半部分用平方差公式计算，后半部分用完全平方公式展开，再合并同类项；
(3)属于二次根式的连乘除运算，可将系数、二次根式部分分别运算，注意负号的处理，最后化简结果；
(4)先分别计算零指数幂、完全平方、绝对值、负整数指数幂，再去括号合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1)先计算乘除运算：
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
∴原式$=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$；
(2)用乘法公式展开计算：
$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2=5-2=3$，
$(\sqrt{3} - 2)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×2+2^2=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}$，
∴原式$=3+7-4\sqrt{3}=10-4\sqrt{3}$；
(3)系数、二次根式分别运算：
原式=$[3÷6×(-5)]×\sqrt{\frac{1}{2}÷\frac{1}{28}×\frac{16}{7}}$
=$-\frac{5}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}×28×\frac{16}{7}}$
=$-\frac{5}{2}×\sqrt{32}=-\frac{5}{2}×4\sqrt{2}=-10\sqrt{2}$；
(4)先计算各专项运算：
$(1 - π)^0=1$，$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}$，
$|-\sqrt{24}|=2\sqrt{6}$，$(\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1}=\sqrt{6}$，
∴原式$=1-(5-2\sqrt{6})+2\sqrt{6}+\sqrt{6}=1-5+2\sqrt{6}+2\sqrt{6}+\sqrt{6}=-4+5\sqrt{6}$。
【答案】
(1)$4+\sqrt{6}$；(2)$10-4\sqrt{3}$；(3)$-10\sqrt{2}$；(4)$-4+5\sqrt{6}$
【知识点】
1.二次根式的混合运算 2.乘法公式的应用 3.实数指数幂与绝对值运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，覆盖了二次根式运算的常见考法，解题时要注意运算顺序和运算公式的正确使用，计算时需留意符号、化简是否正确，避免漏项、错算同类二次根式。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的混合运算，解题时需遵循先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序，结合相关运算性质简化计算：
(1)先分别计算二次根式的乘除运算，再将结果化简为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可；
(2)前半部分用平方差公式计算，后半部分用完全平方公式展开，再合并同类项；
(3)属于二次根式的连乘除运算，可将系数、二次根式部分分别运算，注意负号的处理，最后化简结果；
(4)先分别计算零指数幂、完全平方、绝对值、负整数指数幂，再去括号合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
(1)先计算乘除运算：
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$，
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{12}=\sqrt{\frac{1}{2}×12}=\sqrt{6}$，$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，
∴原式$=4-\sqrt{6}+2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}$；
(2)用乘法公式展开计算：
$(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{2})^2=5-2=3$，
$(\sqrt{3} - 2)^2=(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×2+2^2=3-4\sqrt{3}+4=7-4\sqrt{3}$，
∴原式$=3+7-4\sqrt{3}=10-4\sqrt{3}$；
(3)系数、二次根式分别运算：
原式=$[3÷6×(-5)]×\sqrt{\frac{1}{2}÷\frac{1}{28}×\frac{16}{7}}$
=$-\frac{5}{2}×\sqrt{\frac{1}{2}×28×\frac{16}{7}}$
=$-\frac{5}{2}×\sqrt{32}=-\frac{5}{2}×4\sqrt{2}=-10\sqrt{2}$；
(4)先计算各专项运算：
$(1 - π)^0=1$，$(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2=2-2\sqrt{6}+3=5-2\sqrt{6}$，
$|-\sqrt{24}|=2\sqrt{6}$，$(\frac{1}{\sqrt{6}})^{-1}=\sqrt{6}$，
∴原式$=1-(5-2\sqrt{6})+2\sqrt{6}+\sqrt{6}=1-5+2\sqrt{6}+2\sqrt{6}+\sqrt{6}=-4+5\sqrt{6}$。
【答案】
(1)$4+\sqrt{6}$；(2)$10-4\sqrt{3}$；(3)$-10\sqrt{2}$；(4)$-4+5\sqrt{6}$
【知识点】
1.二次根式的混合运算 2.乘法公式的应用 3.实数指数幂与绝对值运算
【点评】
本题是二次根式运算的常规题型，覆盖了二次根式运算的常见考法，解题时要注意运算顺序和运算公式的正确使用，计算时需留意符号、化简是否正确，避免漏项、错算同类二次根式。
【难度系数】
0.7
