1.下列各组二次根式，不可以合并的是 （）

A.$\sqrt{8}$与$\sqrt{32}$
B.$\sqrt{45}$与$\sqrt{20}$
C.$\sqrt{27}$与$\sqrt{75}$
D.$\sqrt{24}$与$\sqrt{80}$

1.D

【分析】
要判断二次根式能否合并，核心是判断它们是否为同类二次根式。解题思路为：先将每个选项中的两个二次根式都化为最简二次根式，再对比它们的被开方数，若被开方数相同则可以合并，若不同则不能合并，逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
判断二次根式能否合并的前提是将二次根式化为最简形式，再判断被开方数是否相同：
A选项：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，二者被开方数均为2，是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
B选项：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$，二者被开方数均为5，是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
C选项：$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，$\sqrt{75}=\sqrt{25×3}=5\sqrt{3}$，二者被开方数均为3，是同类二次根式，可以合并，不符合题意；
D选项：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，$\sqrt{80}=\sqrt{16×5}=4\sqrt{5}$，二者被开方数分别为6和5，不是同类二次根式，不可以合并，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简，同类二次根式识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类二次根式的判定方法，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简规则，化为最简后再对比被开方数即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2.计算$\sqrt{8}+\sqrt{2}$的结果为（）

A.5
B.$\sqrt{10}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4+\sqrt{2}$

2.C

【分析】
解决二次根式加减类问题，首先要将算式中所有非最简二次根式化为最简二次根式，再判断是否为同类二次根式（即被开方数相同的二次根式），只有同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加，被开方数保持不变。本题先化简$\sqrt{8}$，再合并同类二次根式即可得到结果。
【解析】
第一步：化简非最简二次根式$\sqrt{8}$：
$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=\sqrt{4}×\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
第二步：合并同类二次根式：
$\sqrt{8}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}+\sqrt{2}=(2+1)\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
因此结果为$3\sqrt{2}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次根式化简
2.二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心是掌握二次根式加减的运算顺序：先化简再合并，注意只有被开方数相同的同类二次根式才能直接合并，不要直接将被开方数相加，避免出现$\sqrt{8}+\sqrt{2}=\sqrt{10}$这类错误。
【难度系数】
0.9

3.一个三角形的三边长分别是$\sqrt{12}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{48}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{75}\ \mathrm{cm}$，则此三角形的周长为（）

A.$9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
B.$10\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
C.$11\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
D.$12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$

3.C

【分析】
要计算三角形的周长，首先明确三角形周长等于三边长度之和，因此只需将三边对应的二次根式相加即可。计算时需要先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式就能得到最终结果。
【解析】
三角形的周长为三边长之和，据此列式计算：
$\begin{aligned}周长&=\sqrt{12}+\sqrt{48}+\sqrt{75}\\&=\sqrt{4×3}+\sqrt{16×3}+\sqrt{25×3}\\&=2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+5\sqrt{3}\\&=(2+4+5)\sqrt{3}\\&=11\sqrt{3}\ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形周长计算，二次根式化简，同类二次根式合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的加减运算，掌握最简二次根式的化简方法和同类二次根式的合并法则是解题的关键，计算时注意仔细化简每个根式，避免化简错误。
【难度系数】
0.8

4.已知$(4+\sqrt{7})a=b$，b是整数，则a的值可能是（）

A.$\sqrt{7}$
B.$4+\sqrt{7}$
C.$4-\sqrt{7}$
D.$2-\sqrt{7}$

4.C

【分析】
要使$(4+\sqrt{7})$与$a$的乘积为整数，需要消去乘积中的二次根式$\sqrt{7}$。我们可以利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的特点，找到$4+\sqrt{7}$的有理化因式（即和$4+\sqrt{7}$相乘后不含二次根式的代数式），也可以将各选项逐一代入计算，判断乘积是否为整数，两种方法都可以快速解题。
【解析】
方法一：利用有理化因式求解
根据平方差公式，形如$m+\sqrt{n}$的二次根式的有理化因式为$m-\sqrt{n}$，因此$4+\sqrt{7}$的有理化因式为$4-\sqrt{7}$，代入计算得：
$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=4^2 - (\sqrt{7})^2=16-7=9$，9是整数，符合要求。
方法二：代入选项逐一验证
A. 代入$a=\sqrt{7}$：$(4+\sqrt{7})×\sqrt{7}=4\sqrt{7}+7$，含有二次根式，不是整数，排除；
B. 代入$a=4+\sqrt{7}$：$(4+\sqrt{7})(4+\sqrt{7})=16+8\sqrt{7}+7=23+8\sqrt{7}$，含有二次根式，不是整数，排除；
C. 代入$a=4-\sqrt{7}$：$(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})=16-7=9$，是整数，符合要求；
D. 代入$a=2-\sqrt{7}$：$(4+\sqrt{7})(2-\sqrt{7})=8-4\sqrt{7}+2\sqrt{7}-7=1-2\sqrt{7}$，含有二次根式，不是整数，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有理化、平方差公式、二次根式乘法运算
【点评】
本题是二次根式部分的常规考题，核心考查利用平方差公式对二次根式进行有理化的方法，既可以通过有理化因式的特点直接锁定答案，也可以用代入排除法降低解题难度，掌握二次根式有理化的规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5.若最简二次根式$\sqrt{2a - 3}$与$2\sqrt{a + 1}$可以合并，则$a$的值为。

5.4

【分析】
要解决这道题，首先需要明确：几个最简二次根式如果可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数完全相同。解题思路如下：第一步，根据同类最简二次根式的性质，令两个根式的被开方数相等，列出关于a的一元一次方程；第二步，解方程求出a的初步值；第三步，验证求出的a是否能让两个二次根式都有意义（被开方数≥0），最终得到正确结果。
【解析】
∵ 最简二次根式$\sqrt{2a - 3}$与$2\sqrt{a + 1}$可以合并
∴ 二者的被开方数相等，可列方程：
$2a - 3 = a + 1$
移项得：$2a - a = 1 + 3$
解得：$a = 4$
验证：当$a=4$时，$2a-3=2×4-3=5＞0$，$a+1=4+1=5＞0$，两个二次根式均有意义，符合要求。
【答案】
4
【知识点】
同类二次根式；最简二次根式；二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，核心考查同类最简二次根式的性质，解题时要注意：只有最简二次根式可合并时才能直接令被开方数相等，求出结果后必须验证被开方数非负，避免得到使根式无意义的错误解。
【难度系数】
0.8

6.计算$\sqrt{12}-\sqrt{8}×\sqrt{6}$的结果为.

6.$-2\sqrt{3}$

【分析】
这是一道二次根式的混合运算题，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算二次根式的乘法部分，依据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）计算；第二步将所有二次根式化为最简二次根式；第三步合并同类二次根式得到最终结果。
【解析】
解：按照二次根式混合运算顺序逐步计算：
1. 先计算乘法项：
$\sqrt{8} × \sqrt{6} = \sqrt{8 × 6} = \sqrt{48}$
2. 化简所有二次根式：
$\sqrt{12} = \sqrt{4 × 3} = 2\sqrt{3}$，$\sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = 4\sqrt{3}$
3. 合并同类二次根式：
$\sqrt{12} - \sqrt{8} × \sqrt{6} = 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$
【答案】
$-2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式乘法运算，最简二次根式化简，二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，重点考查二次根式的运算法则和运算顺序，计算时注意先将各二次根式化为最简形式再合并，避免因化简错误失分。
【难度系数】
0.8

7.计算：
(1)$\sqrt{12} - \sqrt{6} × \frac{1}{\sqrt{2}}$；
(2)$\sqrt{50} ÷ \sqrt{2} - \sqrt{8} × \sqrt{2}$；
(3)$(3\sqrt{27} - 2\sqrt{12}) ÷ \sqrt{3}$；
(4)$(\sqrt{2} + 3) × (\sqrt{2} - 5)$。

7.解:(1)原式=$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}$；
(2)原式=$\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1$；
(3)原式=$(9\sqrt{3}-4\sqrt{3})÷\sqrt{3}=5\sqrt{3}÷\sqrt{3}=5$；
(4)原式=$2-5\sqrt{2}+3\sqrt{2}-15=-13-2\sqrt{2}$。

【分析】
这组题目是二次根式的混合运算，解题思路遵循和整式运算一致的运算顺序：先算乘除，后算加减，有括号先算括号内的内容。①计算乘除时，运用二次根式的乘除法则：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），$\sqrt{a} ÷ \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），计算后先化为最简二次根式；②加减运算时，合并同类二次根式即可；③涉及多项式乘法时，类比整式多项式的乘法法则，用分配律逐项相乘后再合并。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{12}$，再计算乘法，最后做减法：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{6} × \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{6 ÷ 2} = \sqrt{3}$
原式$=2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
(2) 先分别计算除法和乘法，再做减法：
$\sqrt{50} ÷ \sqrt{2} = \sqrt{50 ÷ 2} = \sqrt{25}=5$，$\sqrt{8} × \sqrt{2} = \sqrt{8 × 2} = \sqrt{16}=4$
原式$=5 - 4 = 1$
(3) 先化简括号内的二次根式，合并同类二次根式后再算除法：
$3\sqrt{27}=3 × 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，$2\sqrt{12}=2 × 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$
原式$=(9\sqrt{3} - 4\sqrt{3}) ÷ \sqrt{3} = 5\sqrt{3} ÷ \sqrt{3} = 5$
(4) 用多项式乘多项式法则展开，再合并同类项：
原式$=\sqrt{2} × \sqrt{2} + \sqrt{2} × (-5) + 3 × \sqrt{2} + 3 × (-5) = 2 - 5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 15 = -13 - 2\sqrt{2}$
【答案】
(1)$\sqrt{3}$；(2)$1$；(3)$5$；(4)$-13-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式的混合运算，二次根式的化简，同类二次根式合并
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式的运算法则和运算顺序，解题时要注意先将二次根式化为最简形式，运算过程中注意符号的准确性，多项式乘法展开时不要漏乘项。
【难度系数】
0.7