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1[2025浙江温州调研,中]如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(4,6),(4,0),(-2,3).将点C向右平移n个单位后得到点C'.若点C'落在△AOB内(包括边界),则n的取值范围是(
A.$4≤ n≤6$
B.$4≤ n≤7$
C.$5≤ n≤6$
D.$5≤ n≤7$
A
)A.$4≤ n≤6$
B.$4≤ n≤7$
C.$5≤ n≤6$
D.$5≤ n≤7$
答案
∵点A,B的坐标分别为(4,6),(4,0)，
∴OA中点和AB中点的坐标分别为(2,3),(4,3).
∵点C的坐标为(-2,3)，2-(-2)=4，4-(-2)=6，
∴n的取值范围是$4≤n≤6$. 故选A.
关键点拨
本题考查了平移与坐标变化，理解线段AB的界值的定义以及利用数形结合思想是解题的关键.
2[2025福建福州期末,中]在平面直角坐标系中,将$A(1,m^2)$向下平移$(2m^2+3)$个单位后得到B点.有四个点$M(1,-m^2-4)$,$N(1,-2m^2-3)$,$P(1,-m^2)$,$Q(1,-3m^2)$,则一定在线段AB上的是 (
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
C
)A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案
∵将$A(1,m^2)$向下平移$(2m^2+3)$个单位后得到B点，
∴$B(1,-m^2-3)$，
∴线段AB在y轴右侧，且与y轴平行，距离y轴1个单位.
∵$m^2≥0$，
∴$-m^2-3≤-3$.
∵$-m^2-4≤-4$，
∴$M(1,-m^2-4)$不在线段AB上.
∵$-2m^2-3≤-3$，
∴当$m=0$时，$N(1,-2m^2-3)$在线段AB上，当$m≠0$时，$N(1,-2m^2-3)$不在线段AB上.
∵$-m^2-3＜-m^2$，且$m^2≥-m^2$，
∴$P(1,-m^2)$一定在线段AB上. 当$-3m^2≥-m^2-3$时，$0≤m^2≤\frac{3}{2}$，此时$Q(1,-3m^2)$在线段AB上. 当$-3m^2＜-m^2-3$时，$m^2＞\frac{3}{2}$，此时$Q(1,-3m^2)$不在线段AB上. 综上，一定在线段AB上的是点P. 故选C.
3[2025江苏徐州质检,中]如图,在平面直角坐标系中,将正方形①依次平移后得到正方形②,③,④,…;相应地,顶点A依次平移后得到A₁,A₂,A₃,…,其中点A坐标为(1,0),点A₁坐标为(0,1),则点A₂₀的坐标为
(第3题图)
(第4题图)
(-19,8)
.(第3题图)
(第4题图)
答案
观察题图可知，$A_3(-2,1)$，$A_6(-5,2)$，$A_9(-8,3)$，…
∵$-2=1-3×1$，$-5=1-3×2$，$-8=1-3×3$，
∴点$A_{18}$的横坐标为$1-3×6=-17$，
∴$A_{18}(-17,6)$. 把点$A_{18}$向左平移2个单位，再向上平移2个单位得点$A_{20}$，
∴$A_{20}(-19,8)$. 故答案为$(-19,8)$.
∵$-2=1-3×1$，$-5=1-3×2$，$-8=1-3×3$，
∴点$A_{18}$的横坐标为$1-3×6=-17$，
∴$A_{18}(-17,6)$. 把点$A_{18}$向左平移2个单位，再向上平移2个单位得点$A_{20}$，
∴$A_{20}(-19,8)$. 故答案为$(-19,8)$.
4[中]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,1)，将线段AB平移，使其一个端点到点C(3,2)，则平移后另一端点的坐标为
(1,3)或(5,1)
。答案
①如图(1)，当A平移到点C时，
∵C(3,2)，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,1)，
∴点A的横坐标增加1，纵坐标增加2，
∴平移后的点B坐标为(1,3)；②如图(2)，当B平移到点C时，
∵C(3,2)，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(0,1)，
∴点B的横坐标增加3，纵坐标增加1，
∴平移后的点A的坐标为(5,1). 故答案为(1,3)或(5,1).
5[2026江苏泰州质检,中]如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC的顶点落在边长为1的正方形网格的格点上,点C的坐标为(-1,2).
(1)将三角形ABC在水平方向上平移后得到三角形A'B'C',且A点的对应点为A'(1,1).画出三角形A'B'C',并写出三角形A'B'C'的顶点B',C'的坐标:B'
(2)若点M(a+1,2b-5)是三角形ABC内一点,它随三角形ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为点N(2a+10,4b-12),求a和b的值.
(3)点A''的坐标为(-3,-3),三角形ABC沿AA''方向平移后得到三角形A''B''C'',请你直接写出三角形ABC平移至三角形A''B''C''的过程中扫过的面积.
(1)将三角形ABC在水平方向上平移后得到三角形A'B'C',且A点的对应点为A'(1,1).画出三角形A'B'C',并写出三角形A'B'C'的顶点B',C'的坐标:B'
(2,3)
,C'(4,2)
.(2)若点M(a+1,2b-5)是三角形ABC内一点,它随三角形ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为点N(2a+10,4b-12),求a和b的值.
(3)点A''的坐标为(-3,-3),三角形ABC沿AA''方向平移后得到三角形A''B''C'',请你直接写出三角形ABC平移至三角形A''B''C''的过程中扫过的面积.
答案
(1)如图，△A'B'C'即为所求. B'(2,3)，C'(4,2). 故答案为(2,3)，(4,2).
(2)由(1)可知三角形ABC向右平移5个单位，
∴$\begin{cases} a+1+5=2a+10, \\ 2b-5=4b-12, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a=-4, \\ b=\frac{7}{2}. \end{cases}$
(3)扫过的面积为$4×6-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×4×1-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×4×1-1×1-\frac{1}{2}×2×1=15.5$.
6 思想方法 数形结合 [2025江苏南京期末,难]【定义】若线段AB上所有的点到x轴的距离的最大值为W，W就叫线段AB的界值，记作$W_{AB}$。【理解】如图(1)，线段AB上所有的点到x轴的最大距离是3，则线段AB的界值$W_{AB}=3$。
【应用】(1)如图(2)，已知$A(-1,-3),B(2,-1),C(-1,1)$。
①$W_{AB}=$
②平移线段AB，使点A与点C重合，平移后线段的界值W为
【拓展】(2)如图(3),$A(-3,-7),B(1,-3)$，将线段AB向上平移$m(m＞0)$个单位得到线段CD(C与A为对应点)。
①当$5≤m≤6$时,$W_{CD}$的取值范围为
②当$m＞5$时,用含m的式子表示$W_{CD}$。
【应用】(1)如图(2)，已知$A(-1,-3),B(2,-1),C(-1,1)$。
①$W_{AB}=$
3
。②平移线段AB，使点A与点C重合，平移后线段的界值W为
3
。【拓展】(2)如图(3),$A(-3,-7),B(1,-3)$，将线段AB向上平移$m(m＞0)$个单位得到线段CD(C与A为对应点)。
①当$5≤m≤6$时,$W_{CD}$的取值范围为
$2≤W_{CD}≤3$
。②当$m＞5$时,用含m的式子表示$W_{CD}$。
答案
(1)①
∵A(-1,-3),B(2,-1)，
∴$W_{AB}=3$. 故答案为3.
②
∵平移线段AB，使点A(-1,-3)与点C(-1,1)重合，
∴需将线段AB向上平移4个单位，
∴B(2,-1)平移后的对应点的坐标为(2,3)，
∴平移后线段的界值W为3. 故答案为3.
(2)已知A(-3,-7),B(1,-3)，将线段AB向上平移m(m＞0)个单位得到线段CD，则C(-3,-7+m),D(1,-3+m).
①
∵5≤m≤6，
∴-2≤-7+m≤-1，2≤-3+m≤3，
∴$W_{CD}$的取值范围为$2≤W_{CD}≤3$. 故答案为$2≤W_{CD}≤3$.
②
∵m＞5，
∴-7+m＞-2，-3+m＞2. 又
∵-3+m ＞ -7+m，
∴$W_{CD}=-3+m$.
∵A(-1,-3),B(2,-1)，
∴$W_{AB}=3$. 故答案为3.
②
∵平移线段AB，使点A(-1,-3)与点C(-1,1)重合，
∴需将线段AB向上平移4个单位，
∴B(2,-1)平移后的对应点的坐标为(2,3)，
∴平移后线段的界值W为3. 故答案为3.
(2)已知A(-3,-7),B(1,-3)，将线段AB向上平移m(m＞0)个单位得到线段CD，则C(-3,-7+m),D(1,-3+m).
①
∵5≤m≤6，
∴-2≤-7+m≤-1，2≤-3+m≤3，
∴$W_{CD}$的取值范围为$2≤W_{CD}≤3$. 故答案为$2≤W_{CD}≤3$.
②
∵m＞5，
∴-7+m＞-2，-3+m＞2. 又
∵-3+m ＞ -7+m，
∴$W_{CD}=-3+m$.
