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20. $\sqrt{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{26}{27} -1} + |\sqrt{3} -2| - (-2)^2 +2\sqrt{3}$
答案
20.$-\frac{4}{3}+\sqrt{3}$
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时按照“先算乘方、开方，再化简绝对值，最后合并同类项”的顺序逐步计算即可：第一步先分别计算每一项的数值，注意开立方的符号、绝对值化简时先判断内部式子的正负、乘方运算的优先级；第二步把所有化简后的项合并，常数项和常数项合并，含根号的同类项合并，计算时注意不要弄错符号。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{3} - \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} + (2 - \sqrt{3}) - 4 + 2\sqrt{3}$
$=\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) + 2 - \sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3}$
$=\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 2 - 4 + (-\sqrt{3} + 2\sqrt{3})$
$=\frac{2}{3} - 2 + \sqrt{3}$
$=-\frac{4}{3} + \sqrt{3}$
【答案】
$-\frac{4}{3}+\sqrt{3}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，开方运算
【点评】
本题侧重考察基础运算能力，解题的核心是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值、乘方的运算法则，计算时要特别注意符号问题，合并同类二次根式时不要混淆同类项。
【难度系数】
0.7
这是一道实数混合运算题，解题时按照“先算乘方、开方，再化简绝对值，最后合并同类项”的顺序逐步计算即可：第一步先分别计算每一项的数值，注意开立方的符号、绝对值化简时先判断内部式子的正负、乘方运算的优先级；第二步把所有化简后的项合并，常数项和常数项合并，含根号的同类项合并，计算时注意不要弄错符号。
【解析】
解：原式$=\frac{1}{3} - \sqrt[3]{-\frac{1}{27}} + (2 - \sqrt{3}) - 4 + 2\sqrt{3}$
$=\frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) + 2 - \sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3}$
$=\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + 2 - 4 + (-\sqrt{3} + 2\sqrt{3})$
$=\frac{2}{3} - 2 + \sqrt{3}$
$=-\frac{4}{3} + \sqrt{3}$
【答案】
$-\frac{4}{3}+\sqrt{3}$
【知识点】
实数混合运算，绝对值化简，开方运算
【点评】
本题侧重考察基础运算能力，解题的核心是熟练掌握算术平方根、立方根、绝对值、乘方的运算法则，计算时要特别注意符号问题，合并同类二次根式时不要混淆同类项。
【难度系数】
0.7
21. $-\sqrt{64}+\sqrt[3]{-8}-|\sqrt{11}-3|$
答案
21.$-7-\sqrt{11}$
解析
【分析】
本题属于实数的混合运算题，解题时可分步拆解计算：①先分别计算算术平方根、立方根，②再判断绝对值内式子的正负性，正确去掉绝对值符号，③最后合并计算得到结果。思考时要注意每一步的符号规则：正数的算术平方根是正数，负数的立方根是负数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
【解析】
解：先分别计算每一项：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，因此$-\sqrt{64}=-8$；
2. 计算立方根：$\sqrt[3]{-8}=-2$（因为$(-2)^3=-8$）；
3. 化简绝对值：因为$11＞9$，所以$\sqrt{11}＞\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{11}-3＞0$，因此$|\sqrt{11}-3|=\sqrt{11}-3$；
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}-\sqrt{64}+\sqrt[3]{-8}-|\sqrt{11}-3|&=-8 + (-2) - (\sqrt{11}-3)\\&=-8-2-\sqrt{11}+3\\&=-7-\sqrt{11}\end{aligned}$
【答案】
$-7-\sqrt{11}$
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的常规题型，核心考查基础运算能力，易错点在于去绝对值时容易弄错符号，解题时要先判断绝对值内代数式的正负，再依据绝对值的性质化简。
【难度系数】
0.7
本题属于实数的混合运算题，解题时可分步拆解计算：①先分别计算算术平方根、立方根，②再判断绝对值内式子的正负性，正确去掉绝对值符号，③最后合并计算得到结果。思考时要注意每一步的符号规则：正数的算术平方根是正数，负数的立方根是负数，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。
【解析】
解：先分别计算每一项：
1. 计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，因此$-\sqrt{64}=-8$；
2. 计算立方根：$\sqrt[3]{-8}=-2$（因为$(-2)^3=-8$）；
3. 化简绝对值：因为$11＞9$，所以$\sqrt{11}＞\sqrt{9}=3$，即$\sqrt{11}-3＞0$，因此$|\sqrt{11}-3|=\sqrt{11}-3$；
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}-\sqrt{64}+\sqrt[3]{-8}-|\sqrt{11}-3|&=-8 + (-2) - (\sqrt{11}-3)\\&=-8-2-\sqrt{11}+3\\&=-7-\sqrt{11}\end{aligned}$
【答案】
$-7-\sqrt{11}$
【知识点】
算术平方根运算；立方根运算；绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的常规题型，核心考查基础运算能力，易错点在于去绝对值时容易弄错符号，解题时要先判断绝对值内代数式的正负，再依据绝对值的性质化简。
【难度系数】
0.7
22. 化简：$(3x-y)^2 - (3x+y)(3x-y)$
答案
22.$2y^2-6xy$
解析
【分析】
要化简该整式，首先观察式子结构：式子包含两个整式乘法项，其中$(3x-y)^2$可利用完全平方差公式展开，$(3x+y)(3x-y)$可利用平方差公式展开。展开后先去括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(9x^2 - 6xy + y^2) - (9x^2 - y^2)\\&=9x^2 - 6xy + y^2 - 9x^2 + y^2\\&=2y^2 - 6xy\end{aligned}$
【答案】
$2y^2-6xy$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题是整式化简的基础题型，重点考查乘法公式的应用，解题时要格外注意去括号的符号变化规则，熟练掌握乘法公式能有效简化运算，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
要化简该整式，首先观察式子结构：式子包含两个整式乘法项，其中$(3x-y)^2$可利用完全平方差公式展开，$(3x+y)(3x-y)$可利用平方差公式展开。展开后先去括号，注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}原式&=(9x^2 - 6xy + y^2) - (9x^2 - y^2)\\&=9x^2 - 6xy + y^2 - 9x^2 + y^2\\&=2y^2 - 6xy\end{aligned}$
【答案】
$2y^2-6xy$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，合并同类项
【点评】
本题是整式化简的基础题型，重点考查乘法公式的应用，解题时要格外注意去括号的符号变化规则，熟练掌握乘法公式能有效简化运算，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
四、解答题
23. 定义：若点$P(m, n)$满足$am+bn=c$，则称点$P$为关于$x$，$y$的二元一次方程$ax+by=c$的“精优点”。
(1)若点$A(3, p)$为方程$2x-y=1$的“精优点”，则$p=$
(2)若$u$，$v$为正整数，且点$B(u+v, 13-u)$为方程$2x-y=u-v$的“精优点”，求$u$，$v$的值；
(3)$m$，$s$，$t$，$k$为实数，点$C(m, s)$与点$D(2m+k, t)$都是方程$2x+3y=1$的“精优点”，且$2s-t=\frac{1}{3}(k^2+2k-2)$，求$k$的值。
23. 定义：若点$P(m, n)$满足$am+bn=c$，则称点$P$为关于$x$，$y$的二元一次方程$ax+by=c$的“精优点”。
(1)若点$A(3, p)$为方程$2x-y=1$的“精优点”，则$p=$
5
；(直接写出答案)(2)若$u$，$v$为正整数，且点$B(u+v, 13-u)$为方程$2x-y=u-v$的“精优点”，求$u$，$v$的值；
(3)$m$，$s$，$t$，$k$为实数，点$C(m, s)$与点$D(2m+k, t)$都是方程$2x+3y=1$的“精优点”，且$2s-t=\frac{1}{3}(k^2+2k-2)$，求$k$的值。
答案
23.(1)$p=5$ (2)$\begin{cases} u=2 \\ v=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} u=5 \\ v=1 \end{cases}$ (3)$k=\pm\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题围绕新定义“精优点”展开，解题核心是根据定义将点坐标代入对应二元一次方程列式求解：
(1) 直接将点A坐标代入对应方程，解一元一次方程即可得p的值；
(2) 先将点B坐标代入对应方程，整理得到u和v的关系式，再结合u、v是正整数的条件，枚举求出所有符合要求的解；
(3) 先把点C、D分别代入对应方程，用含m、k的式子表示出s和t，再代入给出的2s-t的等式，化简消去m后即可求解k的值。
【解析】
(1) 已知点$A(3,p)$是方程$2x-y=1$的“精优点”，将$x=3,y=p$代入方程得：
$2×3 - p = 1$
$6-p=1$
解得$p=5$。
(2) 点$B(u+v,13-u)$是方程$2x-y=u-v$的“精优点”，将$x=u+v,y=13-u$代入方程得：
$2(u+v) - (13-u) = u - v$
展开左边：$2u+2v-13+u = 3u+2v-13$
整理等式：$3u+2v-13 = u - v$
移项合并同类项得：$2u + 3v =13$
因为$u,v$是正整数，所以对$v$枚举正整数值：
当$v=1$时，$2u=13-3×1=10$，解得$u=5$，符合要求；
当$v=2$时，$2u=13-3×2=7$，$u=3.5$不是正整数，舍去；
当$v=3$时，$2u=13-3×3=4$，解得$u=2$，符合要求；
当$v≥4$时，$3v≥12$，$2u=13-3v≤1$，$u$不是正整数，舍去。
所以$u,v$的取值为$\begin{cases} u=2 \\ v=3 \end{cases}$或$\begin{cases} u=5 \\ v=1 \end{cases}$。
(3) 点$C(m,s)$是方程$2x+3y=1$的“精优点”，代入得：
$2m + 3s =1$，整理得$s=\frac{1-2m}{3}$。
点$D(2m+k,t)$是方程$2x+3y=1$的“精优点”，代入得：
$2(2m+k) + 3t =1$，展开得$4m+2k+3t=1$，整理得$t=\frac{1-4m-2k}{3}$。
将$s、t$代入$2s-t=\frac{1}{3}(k^2+2k-2)$：
左边$=2×\frac{1-2m}{3} - \frac{1-4m-2k}{3} = \frac{2-4m -1 +4m +2k}{3} = \frac{1+2k}{3}$
所以$\frac{1+2k}{3} = \frac{k^2+2k-2}{3}$，两边同乘3得：
$1+2k = k^2 +2k -2$
移项化简得$k^2=3$，解得$k=\pm\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$p=5$；(2)$\begin{cases} u=2 \\ v=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} u=5 \\ v=1 \end{cases}$；(3)$k=\pm\sqrt{3}$
【知识点】
新定义问题、二元一次方程的解、代数式化简求值
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了二元一次方程解的应用，解题关键是准确理解新定义并正确代入列式，第二问需要结合正整数的限制条件筛选解，第三问通过消元去掉无关参数m即可求解，整体设问层层递进，能有效考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕新定义“精优点”展开，解题核心是根据定义将点坐标代入对应二元一次方程列式求解：
(1) 直接将点A坐标代入对应方程，解一元一次方程即可得p的值；
(2) 先将点B坐标代入对应方程，整理得到u和v的关系式，再结合u、v是正整数的条件，枚举求出所有符合要求的解；
(3) 先把点C、D分别代入对应方程，用含m、k的式子表示出s和t，再代入给出的2s-t的等式，化简消去m后即可求解k的值。
【解析】
(1) 已知点$A(3,p)$是方程$2x-y=1$的“精优点”，将$x=3,y=p$代入方程得：
$2×3 - p = 1$
$6-p=1$
解得$p=5$。
(2) 点$B(u+v,13-u)$是方程$2x-y=u-v$的“精优点”，将$x=u+v,y=13-u$代入方程得：
$2(u+v) - (13-u) = u - v$
展开左边：$2u+2v-13+u = 3u+2v-13$
整理等式：$3u+2v-13 = u - v$
移项合并同类项得：$2u + 3v =13$
因为$u,v$是正整数，所以对$v$枚举正整数值：
当$v=1$时，$2u=13-3×1=10$，解得$u=5$，符合要求；
当$v=2$时，$2u=13-3×2=7$，$u=3.5$不是正整数，舍去；
当$v=3$时，$2u=13-3×3=4$，解得$u=2$，符合要求；
当$v≥4$时，$3v≥12$，$2u=13-3v≤1$，$u$不是正整数，舍去。
所以$u,v$的取值为$\begin{cases} u=2 \\ v=3 \end{cases}$或$\begin{cases} u=5 \\ v=1 \end{cases}$。
(3) 点$C(m,s)$是方程$2x+3y=1$的“精优点”，代入得：
$2m + 3s =1$，整理得$s=\frac{1-2m}{3}$。
点$D(2m+k,t)$是方程$2x+3y=1$的“精优点”，代入得：
$2(2m+k) + 3t =1$，展开得$4m+2k+3t=1$，整理得$t=\frac{1-4m-2k}{3}$。
将$s、t$代入$2s-t=\frac{1}{3}(k^2+2k-2)$：
左边$=2×\frac{1-2m}{3} - \frac{1-4m-2k}{3} = \frac{2-4m -1 +4m +2k}{3} = \frac{1+2k}{3}$
所以$\frac{1+2k}{3} = \frac{k^2+2k-2}{3}$，两边同乘3得：
$1+2k = k^2 +2k -2$
移项化简得$k^2=3$，解得$k=\pm\sqrt{3}$。
【答案】
(1)$p=5$；(2)$\begin{cases} u=2 \\ v=3 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} u=5 \\ v=1 \end{cases}$；(3)$k=\pm\sqrt{3}$
【知识点】
新定义问题、二元一次方程的解、代数式化简求值
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查了二元一次方程解的应用，解题关键是准确理解新定义并正确代入列式，第二问需要结合正整数的限制条件筛选解，第三问通过消元去掉无关参数m即可求解，整体设问层层递进，能有效考查知识迁移和运算能力。
【难度系数】
0.6
