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24. 已知$2m+2$的算术平方根是2，$2m+n-8$的立方根是$-2$.
(1)求$5m-10n$的平方根；
(2)若代数式$(nx+a)(mx^2+x+b)$中不含$x^2$项和$x$项，且$a^y=16b$，求$y$的值.
(1)求$5m-10n$的平方根；
(2)若代数式$(nx+a)(mx^2+x+b)$中不含$x^2$项和$x$项，且$a^y=16b$，求$y$的值.
答案
24.(1)$\pm5$ (2)4
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 首先根据算术平方根和立方根的定义，分别列出关于m、n的方程，求解得到m、n的数值，再代入5m-10n计算出结果，最后求该结果的平方根即可；(2) 先将m、n代入代数式，按照多项式乘多项式的法则展开并合并同类项，根据“代数式不含x²项和x项”可知这两项的系数为0，据此列方程求出a、b的值，最后代入$a^y=16b$求解y即可。
【解析】
(1) 由题意可知：
∵ $2m+2$的算术平方根是2，算术平方根为2的数是$2^2=4$，
∴ $2m+2 = 4$，解得$m=1$；
∵ $2m+n-8$的立方根是$-2$，立方根为$-2$的数是$(-2)^3=-8$，
∴ $2m+n-8 = -8$，将$m=1$代入得：$2×1 +n -8 = -8$，解得$n=-2$。
将$m=1$，$n=-2$代入$5m-10n$得：
$5×1 - 10×(-2) = 5 +20 =25$，
∵ 25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
∴ $5m-10n$的平方根是$\pm5$。
(2) 将$m=1$，$n=-2$代入代数式$(nx+a)(mx^2+x+b)$得：
$(-2x+a)(x^2+x+b)$
展开计算：
$= -2x· x^2 + (-2x)· x + (-2x)· b + a· x^2 +a· x +a· b$
$= -2x^3 -2x^2 -2bx +ax^2 +ax +ab$
合并同类项后，$x^2$项的系数为$(a-2)$，$x$项的系数为$(a-2b)$，
∵ 代数式不含$x^2$项和$x$项，
∴ 这两项的系数均为0，即：
$\begin{cases} a-2=0 \\ a-2b=0 \end{cases}$
解得$a=2$，$b=1$。
将$a=2$，$b=1$代入$a^y=16b$得：
$2^y = 16×1=16$，
∵ $16=2^4$，
∴ $y=4$。
【答案】
(1) $\pm5$；(2) $4$
【知识点】
平方根与立方根定义；整式乘法；代数式不含项的条件
【点评】
本题综合考查了根式基础概念和整式乘法的应用，解题的核心是熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义，以及多项式不含某项时对应项系数为0的性质，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 首先根据算术平方根和立方根的定义，分别列出关于m、n的方程，求解得到m、n的数值，再代入5m-10n计算出结果，最后求该结果的平方根即可；(2) 先将m、n代入代数式，按照多项式乘多项式的法则展开并合并同类项，根据“代数式不含x²项和x项”可知这两项的系数为0，据此列方程求出a、b的值，最后代入$a^y=16b$求解y即可。
【解析】
(1) 由题意可知：
∵ $2m+2$的算术平方根是2，算术平方根为2的数是$2^2=4$，
∴ $2m+2 = 4$，解得$m=1$；
∵ $2m+n-8$的立方根是$-2$，立方根为$-2$的数是$(-2)^3=-8$，
∴ $2m+n-8 = -8$，将$m=1$代入得：$2×1 +n -8 = -8$，解得$n=-2$。
将$m=1$，$n=-2$代入$5m-10n$得：
$5×1 - 10×(-2) = 5 +20 =25$，
∵ 25的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$，
∴ $5m-10n$的平方根是$\pm5$。
(2) 将$m=1$，$n=-2$代入代数式$(nx+a)(mx^2+x+b)$得：
$(-2x+a)(x^2+x+b)$
展开计算：
$= -2x· x^2 + (-2x)· x + (-2x)· b + a· x^2 +a· x +a· b$
$= -2x^3 -2x^2 -2bx +ax^2 +ax +ab$
合并同类项后，$x^2$项的系数为$(a-2)$，$x$项的系数为$(a-2b)$，
∵ 代数式不含$x^2$项和$x$项，
∴ 这两项的系数均为0，即：
$\begin{cases} a-2=0 \\ a-2b=0 \end{cases}$
解得$a=2$，$b=1$。
将$a=2$，$b=1$代入$a^y=16b$得：
$2^y = 16×1=16$，
∵ $16=2^4$，
∴ $y=4$。
【答案】
(1) $\pm5$；(2) $4$
【知识点】
平方根与立方根定义；整式乘法；代数式不含项的条件
【点评】
本题综合考查了根式基础概念和整式乘法的应用，解题的核心是熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义，以及多项式不含某项时对应项系数为0的性质，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】
0.7
25. 对于实数$a$，$b$，$c$，$d$，若$|a-n| + |b-n| = d$，则称$a$和$b$关于$n$的“相对关系值”为$d$，例如$|2-1| + |3-1| = 3$，则2和3关于1的“相对关系值”为3.
(1)①$-4$和6关于1的“相对关系值”是
(2)若$a$和3关于1的“相对关系值”为7，求$a$的值；
(3)若$a_0$和$a_1$关于1的“相对关系值”为1，求$a_0+a_1$的最大值.
(1)①$-4$和6关于1的“相对关系值”是
10
；②求$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$关于2的“相对关系值”是$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
；(保留根号)(2)若$a$和3关于1的“相对关系值”为7，求$a$的值；
(3)若$a_0$和$a_1$关于1的“相对关系值”为1，求$a_0+a_1$的最大值.
答案
25.(1)①10 ②$\sqrt{5}-\sqrt{2}$ (2)$a=6$或$a=-4$ (3)3
解析
【分析】
首先准确理解“相对关系值”的新定义：若a和b关于n的相对关系值为d，则满足$|a-n|+|b-n|=d$，解题时只需将对应数值代入公式，结合绝对值的性质求解即可。
(1)两小问均为基础代入计算，直接将对应a、b、n的值代入公式，化简绝对值即可得到结果；
(2)根据新定义列含绝对值的一元一次方程，利用“若$|x|=m(m＞0)$，则$x=\pm m$”求解即可；
(3)先根据定义列出等式$|a_0-1|+|a_1-1|=1$，要使$a_0+a_1$最大，需让$a_0$、$a_1$尽可能大，分情况讨论绝对值的化简，找到$a_0+a_1$的最大值即可。
【解析】
(1)①根据新定义，代入$a=-4$，$b=6$，$n=1$：
$|-4 - 1| + |6 - 1| = |-5| + |5| = 5 + 5 = 10$
②代入$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{5}$，$n=2$：
∵$\sqrt{2}＜2$，$\sqrt{5}＞2$
∴$|\sqrt{2} - 2| + |\sqrt{5} - 2| = (2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} - \sqrt{2}$
(2)根据题意，a和3关于1的相对关系值为7，代入公式得：
$|a - 1| + |3 - 1| = 7$
化简得$|a - 1| + 2 = 7$，即$|a - 1| = 5$
∴$a - 1 = 5$或$a - 1 = -5$
解得$a=6$或$a=-4$
(3)由题意得$|a_0 - 1| + |a_1 - 1| = 1$，分情况讨论：
①当$a_0≥1$，$a_1≥1$时，原式化简为：
$(a_0 - 1) + (a_1 - 1) = 1$，即$a_0 + a_1 = 3$
②当其中一个数小于1，另一个数大于等于1时，例如$a_0＜1$，$a_1≥1$，原式化简为：
$(1 - a_0) + (a_1 - 1) = 1$，即$a_1 - a_0 = 1$，$a_0 + a_1 = 2a_0 + 1$
∵$a_0＜1$，
∴$2a_0 + 1 ＜ 3$
③当$a_0＜1$，$a_1＜1$时，原式化简为：
$(1 - a_0) + (1 - a_1) = 1$，即$a_0 + a_1 = 1 ＜ 3$
综上，$a_0 + a_1$的最大值为3
【答案】
(1)①$10$；②$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
(2)$a=6$或$a=-4$
(3)$3$
【知识点】
新定义运算，绝对值的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查绝对值的化简、含绝对值的方程求解及最值问题，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，灵活运用绝对值的性质分类讨论求解，能够有效考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
首先准确理解“相对关系值”的新定义：若a和b关于n的相对关系值为d，则满足$|a-n|+|b-n|=d$，解题时只需将对应数值代入公式，结合绝对值的性质求解即可。
(1)两小问均为基础代入计算，直接将对应a、b、n的值代入公式，化简绝对值即可得到结果；
(2)根据新定义列含绝对值的一元一次方程，利用“若$|x|=m(m＞0)$，则$x=\pm m$”求解即可；
(3)先根据定义列出等式$|a_0-1|+|a_1-1|=1$，要使$a_0+a_1$最大，需让$a_0$、$a_1$尽可能大，分情况讨论绝对值的化简，找到$a_0+a_1$的最大值即可。
【解析】
(1)①根据新定义，代入$a=-4$，$b=6$，$n=1$：
$|-4 - 1| + |6 - 1| = |-5| + |5| = 5 + 5 = 10$
②代入$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{5}$，$n=2$：
∵$\sqrt{2}＜2$，$\sqrt{5}＞2$
∴$|\sqrt{2} - 2| + |\sqrt{5} - 2| = (2 - \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} - \sqrt{2}$
(2)根据题意，a和3关于1的相对关系值为7，代入公式得：
$|a - 1| + |3 - 1| = 7$
化简得$|a - 1| + 2 = 7$，即$|a - 1| = 5$
∴$a - 1 = 5$或$a - 1 = -5$
解得$a=6$或$a=-4$
(3)由题意得$|a_0 - 1| + |a_1 - 1| = 1$，分情况讨论：
①当$a_0≥1$，$a_1≥1$时，原式化简为：
$(a_0 - 1) + (a_1 - 1) = 1$，即$a_0 + a_1 = 3$
②当其中一个数小于1，另一个数大于等于1时，例如$a_0＜1$，$a_1≥1$，原式化简为：
$(1 - a_0) + (a_1 - 1) = 1$，即$a_1 - a_0 = 1$，$a_0 + a_1 = 2a_0 + 1$
∵$a_0＜1$，
∴$2a_0 + 1 ＜ 3$
③当$a_0＜1$，$a_1＜1$时，原式化简为：
$(1 - a_0) + (1 - a_1) = 1$，即$a_0 + a_1 = 1 ＜ 3$
综上，$a_0 + a_1$的最大值为3
【答案】
(1)①$10$；②$\sqrt{5}-\sqrt{2}$
(2)$a=6$或$a=-4$
(3)$3$
【知识点】
新定义运算，绝对值的性质，一元一次方程求解
【点评】
本题以新定义为载体，综合考查绝对值的化简、含绝对值的方程求解及最值问题，解题的关键是准确理解新定义的运算规则，灵活运用绝对值的性质分类讨论求解，能够有效考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.7
