1. 教材P48例4·变式 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB$$=90°$,$CD$是斜边$AB$上的中线,若$CD=2.5$,则$AB$的长为().

A.2.5
B.4
C.5
D.6

[解析]在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ACB=90°$,$CD$是斜边$AB$上的中线,$\therefore AB=2CD=2×2.5=5$.故选C.
归纳总结 本题主要考查直角三角形的性质,熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键.

2. (2025·苏州西安交大附中月考)将一副三角板按如图所示摆放,点$F$恰好是边$DE$中点,则$∠ DGC$的度数为().

A.$150°$
B.$155°$
C.$160°$
D.$165°$

[解析]
∵点$F$是边$DE$中点,
$\therefore FB=FE,\therefore ∠FBE=∠E=30°$,
$\therefore ∠CFG=∠BFE=120°$.
又$∠C=45°,\therefore ∠DGC=∠C+∠CFG=165°$.
故选D.

3. (2025·徐州期中)如图,在等边
三角形 $ABC$ 中, $AB=6$,
$BD$ 平分 $∠ ABC$, 点 $E$ 在
$BC$ 的延长线上, 且 $∠ E=$$30°$, 则 $CE$ 的长为。

[解析]$\because △ABC$ 是等边三角形,$AB=6$,$BD$ 平分$∠ABC$,
$\therefore AD=CD=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}AB=3$,$∠ACB=60°$.
$\because ∠E=30°,\therefore ∠CDE=∠ACB-∠E=30°$,
$\therefore ∠E=∠CDE=30°,\therefore CE=CD=3$.

4. (2025·江苏扬州江都区期末)如图，$AB=AC=AD$.
(1)若$AD// BC$，
①若$∠ C=80^{\circ }$，则$∠ D$的度数为$°$；
②猜想$∠ C$和$∠ D$的数量关系并证明.
(2)如果$∠ C=2∠ D$，$AD$与$BC$有什么位置关系？请证明你的结论.

(1)②$∠C=2∠D$,理由如下:
$\because AD// BC,\therefore ∠D=∠DBC$.
$\because AB=AD,\therefore ∠D=∠ABD$,
$\therefore ∠ABD=∠DBC=∠D,\therefore ∠ABC=2∠D$.
$\because AB=AC,\therefore ∠C=∠ABC=2∠D$.
(2)$AD// BC$,理由如下:
$\because AB=AC,\therefore ∠ABC=∠C=2∠D$.
$\because AB=AD,\therefore ∠ABD=∠D$.
又$∠ABC=∠ABD+∠DBC,\therefore ∠DBC=∠D$,
$\therefore AD// BC$.

5. (2024·镇江丹阳期末) 如图,在$△ ABC$中,$CD$是$AB$边上的高,$BE$是$AC$边上的中线,且$BD=$$AE$,已知$∠ A=26°$,则$∠ DFE$的度数是().

A.$103°$
B.$104°$
C.$105°$
D.$106°$

[解析]如图,连接 $DE$.
$\because CD$ 是 $AB$ 边上的高,
$\therefore ∠ADC=90°$.
$\because BE$ 是 $AC$ 边上的中线,
$\therefore E$ 是 $AC$ 的中点,
$\therefore DE=\dfrac{1}{2}AC$,
$\therefore DE=AE$,
$\therefore ∠ADE=∠A=26°$.
$\because BD=AE,\therefore DE=BD$,
$\therefore ∠DBE=∠DEB$.
$\because ∠ADE=∠DBE+∠DEB=2∠DBE$,
$\therefore ∠DBE=\dfrac{1}{2}×26°=13°$.
$\because ∠BDF=180°-∠ADC=90°$,
$\therefore ∠DFE=∠BDF+∠DBE=90°+13°=103°$.
故选 A.
思路引导 连接 $DE$,由直角三角形斜边中线的性质得到$DE=\dfrac{1}{2}AC$,因此 $DE=AE$,得到$∠ADE=∠A=26°$,而$BD=AE$,得到 $DE=BD$,因此$∠DBE=∠DEB$,由三角形外角的性质,求出$∠DBE=13°$,于是得到$∠DFE=∠BDF+∠DBE=103°$.

6. (2025·苏州西安交大附中月考)如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD ⊥ AC$交$BC$于点$D$，$BD=1$，则$BC$的长为().

A.1
B.1.5
C.2
D.3

[解析]$\because AB=AC,∠BAC=120°$,
$\therefore ∠C=∠B=(180°-120°)×\dfrac{1}{2}=30°$.
$\because AD⊥AC,\therefore ∠CAD=90°$,
$\therefore ∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°$,
$\therefore ∠DAB=∠B=30°$,
$\therefore BD=AD=1$.
在$\mathrm{Rt}△DAC$中,$∠C=30°$,
$\therefore CD=2AD=2×1=2$,
$\therefore BC=BD+DC=2+1=3$.故选 D.

7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD$是$△ ABC$的角平分线,$CE$是$△ ABC$的中线,连接$DE$,若$AB=6$,则$DE=$.

3

8. (2025·泰州姜堰区期中) 如图, 在 $△ A B C$ 中, $E D //$ $B C, ∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线分别交 $E D$ 于点 $G, F$, 若 $B E=3, C D=4, E D=6$, 则 $F G$ 的长为.

[解析]$\because ED// BC$,
$\therefore ∠EGB=∠GBC,∠DFC=∠FCB$.
$\because ∠GBC=∠GBE,∠FCB=∠FCD$,
$\therefore ∠EGB=∠EBG,∠DCF=∠DFC$,
$\therefore BE=EG,CD=DF$.
$\because BE=3,CD=4,ED=6$,
$\therefore EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+FG$,即$3+4=6+FG,\therefore FG=1$.

9. (2025·镇江丹徒区期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD$ 为 $∠ CAB$ 的平分线, $BE ⊥ AD$ 于点 $E, EF ⊥$ $AB$ 于点 $F, ∠ DBE = ∠ C = 15°, AB = 8$, 则 $AF =$ .

[解析]$\because ∠DBE=15°,∠BED=90°$,
$\therefore ∠BDA=75°$.$\because ∠BDA=∠DAC+∠C,∠C=15°$,
$\therefore ∠DAC=60°$.
$\because AD$ 为$∠CAB$ 的平分线,
$\therefore ∠BAD=∠DAC=60°$.
$\because EF⊥AB$ 于点 $F$,$BE⊥AD$ 于点 $E$,
$\therefore ∠FEA=∠ABE=30°$.
$\because AB=8,\therefore AE=4,\therefore AF=\dfrac{1}{2}AE=2$.