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9. 某超市有 A,B,C,D,E 五种冷饮销售,它们的单价依次是 5 元,3 元,2 元,1 元,0.5 元,某天的冷饮销售情况如图所示,那么这天该超市销售冷饮的单价的平均值是
1.74
元.答案
9. 1.74
解析
【分析】
这道题要求计算销售冷饮单价的平均值，观察给出的扇形统计图，图中各部分的百分比就是对应冷饮销量的权重，因此我们可以用加权平均数的方法求解：第一步先明确五种冷饮各自的单价和对应的销售占比，第二步将每个冷饮的单价乘以它对应的销售占比，最后把所有乘积相加，就能得到加权平均后的单价平均值。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，结合扇形图给出的各冷饮销售占比，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{平均单价}&=5×8\% + 3×16\% + 2×22\% + 1×30\% + 0.5×24\%\\&=5×0.08 + 3×0.16 + 2×0.22 + 1×0.3 + 0.5×0.24\\&=0.4 + 0.48 + 0.44 + 0.3 + 0.12\\&=1.74\end{aligned}$
【答案】
1.74
【知识点】
加权平均数，扇形统计图
【点评】
本题属于加权平均数的实际应用题型，结合扇形统计图的占比信息直接计算即可，解题的核心是理解扇形图中的百分比就是对应数据的权重，计算时注意将百分比正确转化为小数，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
这道题要求计算销售冷饮单价的平均值，观察给出的扇形统计图，图中各部分的百分比就是对应冷饮销量的权重，因此我们可以用加权平均数的方法求解：第一步先明确五种冷饮各自的单价和对应的销售占比，第二步将每个冷饮的单价乘以它对应的销售占比，最后把所有乘积相加，就能得到加权平均后的单价平均值。
【解析】
根据加权平均数的计算公式，结合扇形图给出的各冷饮销售占比，代入数据计算：
$\begin{aligned}\mathrm{平均单价}&=5×8\% + 3×16\% + 2×22\% + 1×30\% + 0.5×24\%\\&=5×0.08 + 3×0.16 + 2×0.22 + 1×0.3 + 0.5×0.24\\&=0.4 + 0.48 + 0.44 + 0.3 + 0.12\\&=1.74\end{aligned}$
【答案】
1.74
【知识点】
加权平均数，扇形统计图
【点评】
本题属于加权平均数的实际应用题型，结合扇形统计图的占比信息直接计算即可，解题的核心是理解扇形图中的百分比就是对应数据的权重，计算时注意将百分比正确转化为小数，避免运算失误。
【难度系数】
0.8
10. 已知$x_{1},x_{2},x_{3},··· ,x_{10}$的平均数是$a$，$x_{11},x_{12},x_{13},··· ,x_{50}$的平均数是$b$，则$x_{1},x_{2},x_{3},··· ,x_{50}$的平均数是
$\dfrac{a+4b}{5}$
。答案
10. $\dfrac{a+4b}{5}$
解析
【分析】
这道题考查平均数的核心定义，我们的解题思路是：首先明确平均数的计算公式为“数据总和÷数据总个数”，第一步先根据第一组10个数据的平均数a，求出前10个数据的总和；第二步先算出第二组数据的总个数，再结合它们的平均数b，求出第二组40个数据的总和；最后把两组数据的总和相加得到全部50个数据的总和，除以总数据个数50，化简后就能得到最终的平均数。这里要注意不能直接把a和b取算术平均，因为两组数据的数量不相等。
【解析】
1. 计算前10个数据的总和：
已知$x_1,x_2,\dots,x_{10}$的平均数是$a$，根据平均数定义，可得这10个数据的总和为：$S_1 = 10a$。
2. 计算后40个数据的总和：
$x_{11},x_{12},\dots,x_{50}$的总个数为$50-10=40$，它们的平均数是$b$，因此这40个数据的总和为：$S_2 = 40b$。
3. 计算全部50个数据的平均数：
全部50个数据的总和为$S = S_1 + S_2 = 10a + 40b$，总数据个数为50，因此平均数为：
$\bar{x} = \frac{10a + 40b}{50} = \frac{a + 4b}{5}$
【答案】
$\dfrac{a+4b}{5}$
【知识点】
算术平均数，加权平均数
【点评】
本题属于平均数的基础应用题，易错点是直接将两个平均数a和b取算术平均得到$\frac{a+b}{2}$，忽略了两组数据的样本容量不同，只有两组数据个数相等时才能直接对平均数取平均，本题能帮助学生加深对平均数定义的理解。
【难度系数】
0.7
这道题考查平均数的核心定义，我们的解题思路是：首先明确平均数的计算公式为“数据总和÷数据总个数”，第一步先根据第一组10个数据的平均数a，求出前10个数据的总和；第二步先算出第二组数据的总个数，再结合它们的平均数b，求出第二组40个数据的总和；最后把两组数据的总和相加得到全部50个数据的总和，除以总数据个数50，化简后就能得到最终的平均数。这里要注意不能直接把a和b取算术平均，因为两组数据的数量不相等。
【解析】
1. 计算前10个数据的总和：
已知$x_1,x_2,\dots,x_{10}$的平均数是$a$，根据平均数定义，可得这10个数据的总和为：$S_1 = 10a$。
2. 计算后40个数据的总和：
$x_{11},x_{12},\dots,x_{50}$的总个数为$50-10=40$，它们的平均数是$b$，因此这40个数据的总和为：$S_2 = 40b$。
3. 计算全部50个数据的平均数：
全部50个数据的总和为$S = S_1 + S_2 = 10a + 40b$，总数据个数为50，因此平均数为：
$\bar{x} = \frac{10a + 40b}{50} = \frac{a + 4b}{5}$
【答案】
$\dfrac{a+4b}{5}$
【知识点】
算术平均数，加权平均数
【点评】
本题属于平均数的基础应用题，易错点是直接将两个平均数a和b取算术平均得到$\frac{a+b}{2}$，忽略了两组数据的样本容量不同，只有两组数据个数相等时才能直接对平均数取平均，本题能帮助学生加深对平均数定义的理解。
【难度系数】
0.7
11. 已知一组正整数 $a,1,b,b,3$ 有唯一众数 8, 中位数是 5, 则这一组数据的平均数为
5
.答案
11. 5
解析
【分析】
我们可以从题目给出的两个核心条件反向推导未知参数：第一步先利用唯一众数是8的条件推导b的值，这组数据共5个元素，目前b已经出现2次，其余数仅出现1次，要让8成为出现次数最多的唯一众数，说明b只能是8，这样8一共出现2次，满足唯一众数的要求。第二步利用中位数是5的条件推导a的值，5个数据的中位数是从小到大排序后第3位的数，已知的数1、3都小于5，两个b都是8大于5，因此排在第3位的数只能是a，即可得到a=5。最后把所有数求和除以总个数就能算出平均数。
【解析】
1. 推导b的值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，题目说明该组数据的唯一众数是8，原数据中b已经出现2次，其余元素a、1、3均仅出现1次，要让8成为唯一出现次数最多的数，可得b=8，此时8共出现2次，其余数最多出现1次，符合唯一众数的要求。
2. 推导a的值：
该组数据共有5个正整数，将数据从小到大排序后，中位数对应第3位的数值，已知中位数为5。将已知的1、3和两个8整理后，排序的前两位必然是1和3，排在第3位的数只能是未知参数a，因此a=5。
3. 计算平均数：
完整的数据集为1、3、5、8、8，数据总和为1+3+5+8+8=25，平均数=25÷5=5。
【答案】
5
【知识点】
众数定义，中位数定义，平均数计算
【点评】
本题属于统计基础概念的反向应用题，需要根据给定的众数、中位数条件反推未知参数，要注意“唯一众数”的限制，避免出现多个数出现次数相同的错误情况，推导完参数后再代入计算平均数即可，整体考察对三个统计量概念的理解。
【难度系数】
0.6
我们可以从题目给出的两个核心条件反向推导未知参数：第一步先利用唯一众数是8的条件推导b的值，这组数据共5个元素，目前b已经出现2次，其余数仅出现1次，要让8成为出现次数最多的唯一众数，说明b只能是8，这样8一共出现2次，满足唯一众数的要求。第二步利用中位数是5的条件推导a的值，5个数据的中位数是从小到大排序后第3位的数，已知的数1、3都小于5，两个b都是8大于5，因此排在第3位的数只能是a，即可得到a=5。最后把所有数求和除以总个数就能算出平均数。
【解析】
1. 推导b的值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，题目说明该组数据的唯一众数是8，原数据中b已经出现2次，其余元素a、1、3均仅出现1次，要让8成为唯一出现次数最多的数，可得b=8，此时8共出现2次，其余数最多出现1次，符合唯一众数的要求。
2. 推导a的值：
该组数据共有5个正整数，将数据从小到大排序后，中位数对应第3位的数值，已知中位数为5。将已知的1、3和两个8整理后，排序的前两位必然是1和3，排在第3位的数只能是未知参数a，因此a=5。
3. 计算平均数：
完整的数据集为1、3、5、8、8，数据总和为1+3+5+8+8=25，平均数=25÷5=5。
【答案】
5
【知识点】
众数定义，中位数定义，平均数计算
【点评】
本题属于统计基础概念的反向应用题，需要根据给定的众数、中位数条件反推未知参数，要注意“唯一众数”的限制，避免出现多个数出现次数相同的错误情况，推导完参数后再代入计算平均数即可，整体考察对三个统计量概念的理解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(共34分)
12. (2025·连云港一模)某校七年级和八年级开展了一次综合实践知识竞赛活动,按10分制进行评分,成绩(单位:分)均为不低于6的整数.为了解这次竞赛的情况,现从这两个年级各随机抽取20名学生竞赛成绩作为样本进行整理,并绘制不完整的统计图表,部分信息如下:
八年级20名学生竞赛成绩统计表
已知八年级20名学生成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)所给的样本中,七年级竞赛成绩的众数为
(2)$m=$
(3)若认定竞赛成绩不低于9分为“优秀”,根据样本数据,判断本次竞赛中优秀率高的年级是否平均成绩也高,并说明理由.
12. (2025·连云港一模)某校七年级和八年级开展了一次综合实践知识竞赛活动,按10分制进行评分,成绩(单位:分)均为不低于6的整数.为了解这次竞赛的情况,现从这两个年级各随机抽取20名学生竞赛成绩作为样本进行整理,并绘制不完整的统计图表,部分信息如下:
八年级20名学生竞赛成绩统计表
已知八年级20名学生成绩的中位数为8.5分.
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)所给的样本中,七年级竞赛成绩的众数为
8
分,七年级竞赛成绩为9分的学生人数是4
;(2)$m=$
3
,$n=$4
;(3)若认定竞赛成绩不低于9分为“优秀”,根据样本数据,判断本次竞赛中优秀率高的年级是否平均成绩也高,并说明理由.
答案
12. (1)8 4 (2)3 4
(3)解:不是,理由如下:
结合(1)(2)中所求可得七年级的优秀率为$\dfrac{4+4}{20}× 100\%=40\%$,八年级的优秀率为$\dfrac{4+6}{20}×100\%=50\%$,
七年级的平均成绩为$(7×2+8×10+9×4+10×4)÷20=8.5$(分),八年级的平均成绩为$(6×4+7×3+8×3+9×4+10×6)÷20=8.25$(分),
$\because40\%＜50\%,8.5＞8.25$,
$\therefore$本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高.
(3)解:不是,理由如下:
结合(1)(2)中所求可得七年级的优秀率为$\dfrac{4+4}{20}× 100\%=40\%$,八年级的优秀率为$\dfrac{4+6}{20}×100\%=50\%$,
七年级的平均成绩为$(7×2+8×10+9×4+10×4)÷20=8.5$(分),八年级的平均成绩为$(6×4+7×3+8×3+9×4+10×6)÷20=8.25$(分),
$\because40\%＜50\%,8.5＞8.25$,
$\therefore$本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高.
解析
【分析】
这是一道统计综合应用题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 第(1)问：先根据众数的定义，找到七年级样本中出现次数最多的成绩，即可得到众数；再利用样本总人数为20，减去其余已知分数段的人数，就能算出9分对应的学生人数。
2. 第(2)问：已知八年级20名学生成绩的中位数是8.5，20个数据的中位数是排序后第10和第11个数据的平均数，由此可推出第10个数据为8、第11个数据为9，即成绩≤8分的总人数为10，结合总人数为20的条件，就能解出m和n的数值。
3. 第(3)问：先分别计算两个年级成绩不低于9分的优秀率，再用加权平均数公式算出两个年级的平均成绩，对比两组数据即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 众数是一组数据中出现次数最多的数值，七年级样本中8分的出现次数最多，因此众数为8分；
七年级抽取的总人数为20，已知成绩为7分的有2人、8分的有10人、10分的有4人，因此成绩为9分的学生人数为：
$20-2-10-4=4$
(2) 八年级共20名学生，中位数为排序后第10、11名成绩的平均数，已知中位数为8.5，说明第10名成绩为8，第11名成绩为9，即成绩≤8分的总人数为10；
结合八年级成绩总人数关系：$4+m+n+4+6=20$，可得$m+n=6$，结合中位数的取值约束，解得$m=3$，$n=4$。
(3) 不是，理由如下：
结合前面所求数据计算：
七年级的优秀率为$\dfrac{4+4}{20}× 100\%=40\%$，
八年级的优秀率为$\dfrac{4+6}{20}×100\%=50\%$，
七年级的平均成绩为$(7×2+8×10+9×4+10×4)÷20=8.5$(分)，
八年级的平均成绩为$(6×4+7×3+8×3+9×4+10×6)÷20=8.25$(分)，
$\because40\%＜50\%,8.5＞8.25$，
$\therefore$本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高。
【答案】
(1)8；4 (2)3；4 (3)不是，理由见上述解析
【知识点】
众数中位数定义；加权平均数计算；样本数据分析
【点评】
本题结合校园竞赛的真实情境考查统计核心知识点，需要学生利用中位数的性质反推未知频数，再通过定量计算对比两个维度的统计量，易错点是对中位数条件的转化，整体能很好地锻炼学生的数据分析能力。
【难度系数】
0.6
这是一道统计综合应用题，我们可以按以下思路逐步推导：
1. 第(1)问：先根据众数的定义，找到七年级样本中出现次数最多的成绩，即可得到众数；再利用样本总人数为20，减去其余已知分数段的人数，就能算出9分对应的学生人数。
2. 第(2)问：已知八年级20名学生成绩的中位数是8.5，20个数据的中位数是排序后第10和第11个数据的平均数，由此可推出第10个数据为8、第11个数据为9，即成绩≤8分的总人数为10，结合总人数为20的条件，就能解出m和n的数值。
3. 第(3)问：先分别计算两个年级成绩不低于9分的优秀率，再用加权平均数公式算出两个年级的平均成绩，对比两组数据即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 众数是一组数据中出现次数最多的数值，七年级样本中8分的出现次数最多，因此众数为8分；
七年级抽取的总人数为20，已知成绩为7分的有2人、8分的有10人、10分的有4人，因此成绩为9分的学生人数为：
$20-2-10-4=4$
(2) 八年级共20名学生，中位数为排序后第10、11名成绩的平均数，已知中位数为8.5，说明第10名成绩为8，第11名成绩为9，即成绩≤8分的总人数为10；
结合八年级成绩总人数关系：$4+m+n+4+6=20$，可得$m+n=6$，结合中位数的取值约束，解得$m=3$，$n=4$。
(3) 不是，理由如下：
结合前面所求数据计算：
七年级的优秀率为$\dfrac{4+4}{20}× 100\%=40\%$，
八年级的优秀率为$\dfrac{4+6}{20}×100\%=50\%$，
七年级的平均成绩为$(7×2+8×10+9×4+10×4)÷20=8.5$(分)，
八年级的平均成绩为$(6×4+7×3+8×3+9×4+10×6)÷20=8.25$(分)，
$\because40\%＜50\%,8.5＞8.25$，
$\therefore$本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高。
【答案】
(1)8；4 (2)3；4 (3)不是，理由见上述解析
【知识点】
众数中位数定义；加权平均数计算；样本数据分析
【点评】
本题结合校园竞赛的真实情境考查统计核心知识点，需要学生利用中位数的性质反推未知频数，再通过定量计算对比两个维度的统计量，易错点是对中位数条件的转化，整体能很好地锻炼学生的数据分析能力。
【难度系数】
0.6
